hqdh96

Bài 5: Đẳng thức $(x-1)(x-2)...(x-2016)=(x-1)(x-2)...(x-2016)$ được viết trên bảng với 2016 thừa số ở mỗi vế. Xác định giá trị nhỏ nhất có thể của $k$ để ta có thể xoá $k$ trong số 4032 thừa số trên, với điều kiện là mỗi vế còn lại ít nhất một thừa số, để phương trình nhận được sau phép biến đổi là vô nghiệm.

 

Giải: Ta sẽ chứng minh rằng $k=2016$ là giá trị nhỏ nhất cần tìm.

 

Nếu như ta xoá ít hơn 2016 thừa số, thì đẳng thức nhận được chứa ít nhất 2017 thừa số. Do có 2016 loại thừa số là $x-1$, $x-2$,..., $x-2016$ nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại một thừa số xuất hiện 2 lần. Thừa số ấy xuất hiện ở cả 2 vế của đẳng thức, dẫn đến việc phương trình nhận được sẽ có nghiệm. Do đó $k\geqslant 2016$

 

Xét phương trình $(x-1)(x-3)...(x-2015)=(x-2)(x-4)...(x-2016)$ $(1)$ nhận được sau khi xoá $k=2016$ thừa số từ đẳng thức ban đầu.

 

Trường hợp $x\in \left \{ 1;2;...;2016 \right \}$ thì phương trình hiển nhiên vô nghiệm.

 

Với $x< 1$ thì $2015-x<2016-x$ ,..., $1-x<2-x$. Cả 2 vế của các bất đẳng thức trên đều dương nên nhân vế theo vế, $VT(1)<VP(1)$. Phương trình vô nghiệm.

 

Với $1<x<2$ thì $VT(1)<0<VP(1)$ nên phương trình cũng vô nghiệm.

 

Với $2<x<3$ thì $2015-x<2016-x$ ,..., $3-x<4-x$, $x-1<x-2$. Cả 2 vế các BĐT trên đều dương nên nhân vế theo vế và đổi dấu, $VT(1)>VP(1)$. Phương trình vô nghiệm.

 

Với $3<x<4$ thì $VT(1)>0>VP(1)$ nên phương trình cũng vô nghiệm.

 

Các trường hợp còn lại ta chứng minh tương tự.

 

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của k là 2016.

Mình nghĩ lời giải này chưa đúng, vì sau khi khai triển hết ra thì hệ số của $x^{1008}$ triệt tiêu, so sánh hệ số của $x^{1007}$ 2 vế thì ta thấy $1+3+\ldots+2015< 2+4+\ldots+2016$, do đó đây là phương trình bậc $1007$ và có nghiệm thực. 

Lời giải của mình thì xét phương trình $\prod \limits_{i=0}^{503} (x-4i-1)(x-4i-4)=\prod \limits_{i=0}^{503}(x-4i-2)(x-4i-3)$ (1). 

Ta chứng minh rằng $VT(1)<VP(1)$. Chú ý rằng nếu $x<1$, $x>2016$ hoặc $4k<x<4k+1$ thì tất cả các giá trị $(x-4i-1)(x-4i-4)$ và $(x-4i-2)(x-4i-3)$ đều dương, do đó áp dụng bất đẳng thức $(x-4i-1)(x-4i-4)<(x-4i-2)(x-4i-3)$ với mọi $0 \leq i \leq 503$ ta suy ra đpcm.

Ngoài ra, nếu $4k+1<x<4k+2$ hay $4k+3<x<4k+4$ thì dễ thấy $VT(1)<0<VP(1)$. Như vậy ta chỉ cần xét trường hợp tồn tại $k$ sao cho $4k+2<x<4k+3$. Đến đây ta sử dụng bất đẳng thức khác $(x-4i-3)(x-4i-6)<(x-4i-4)(x-4i-5)$ (lúc này tất cả các giá trị $(x-4i-3)(x-4i-6)$ và $(x-4i-4)(x-4i-5)$ đều dương). (2)

Lưu ý là không như trường hợp ở trên, BDT này không quét hết được tất cả các giá trị, mà còn sót lại $(x-1)(x-1008)$ và $(x-2)(x-1007)$. Lúc này do tồn tại $k$ để $4k+2<x<4k+3$ nên $0>(x-2)(x-1007)>(x-1)(x-1008)$. Từ đó ta suy ra $0<\frac{(x-2)(x-1007)}{(x-1)(x-1008)}<1$. (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra $0<\frac{VP(1)}{VT(1)}<1$. Tuy nhiên do $4k+2<x<4k+3$ nên cả $VT$ và $VP$ đều âm, từ đó ta suy ra $VT(1)<VP(1)$. 

Vậy $2016$ là giá trị cần tìm.