redfox

Cho đồ thị có $n$ đỉnh. Ta gọi cạnh $(u,v)$ là cạnh không cân bằng nếu bậc của $u$ và $v$ khác nhau. Tính số lớn nhất các cạnh không cân bằng.

Cho $a\leq b\leq c$ nguyên dương. Chứng minh $\left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor+1\geq \left \lfloor \frac{b-1}{a} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor$

Chứng minh rằng phương trình $a+2b=n,ab=\binom{c}{2}, n\in \mathbb{N}$ không có nghiệm nguyên dương $a,b,c$ khi và chỉ khi $n^2+1$ là số nguyên tố.

Cho $n\geq 2,m$ nguyên dương, $d_1,d_2,...,d_m$ là các ước nguyên dương của $n$, nhỏ hơn $n$ (không nhất thiết phân biệt). Giải pt nghiệm nguyên dương: $x^n-1=\sum_{k=1}^{m}\frac{x^n-1}{x^{d_k}-1}+x-1$

Cho đa thức $P\left ( x \right )\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ có bậc là $k$, hệ số cao nhất là $a$ và số nguyên dương $m$.

a) Biết rằng $m|P(x),\forall x\in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng $m|ak!$.

b) Cho $m|ak!$. Chứng minh tồn tại đa thức $P\left ( x \right )\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ có bậc là $k$, hệ số cao nhất là $a$ thỏa mãn $m|P(x),\forall x\in \mathbb{Z}$.