captain luffy7

chán quá làm được có 5 câu cơ mà cấu hình ngày 1 có bạn nào dùng tích vô hướng không???  

"Có" 5 câu hả bạn ?  

Câu b hình có thể cm BP,CQ qua trung điểm EF bằng cách gọi J là trung điểm EF và dung ceva sin cho tam giác ABE và ACF biến đổi đưa về tỉ số các cạnh và dùng tam giác đồng dạng 1 xí là xong. Bài này có trong tập Red Geometry của thầy Hùng thì phải    . Hoặc có thể tìm trong chuyên đề của thầy Hùng trong Epsilon 3

Câu I. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$$\left\{\begin{matrix} u_1\in(1;2)\\u_{n+1}=1+u_n-\dfrac{u_n^2}{2},\forall n=1,2,..  \end{matrix}\right.$$

Chứng minh rằng $u_n$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

 

Câu II. Cho các số thưc dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1.$ Chứng minh rằng :

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a^3+b^3+c^3+3}}.$$

 

Câu III. Cho tam giác nhọn $ABC( AB<AC).$ có $M$ là trung điểm cạnh $BC,$ ; các đường cao $AD,BE,CF.$ Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC, K$ là trung điểm $AH,$ và $L$ là giao điểm $EF$ và $AH.$ Gọi $N$ là giao điểm của đoạn $AM$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCH.$

1/ Chứng minh rằng $5$ điểm $A,E,N,H,F$ cùng thuộc 1 đường tròn.

2/ Chứng minh rằng $\widehat{HMA}=\widehat{LNK}.$

 

Câu IV. Có bao nhiêu hoán vị $(a_1,a_2,..,a_{10})$ của các số $1,2,3,..,10$ sao cho $a_i>a_{2i}$ với $1\leq i  \leq 5$ và $a_j>a_{2j+1}$ với $1\leq i  \leq 4$.

 

Câu V. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$$f(x^2-2yf(x))+f(y^2)=f^2(x-y),\forall x,y\in\mathbb{R}$$

 

Câu VI. Gọi $O,I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác $ABC$ không đều. Chứng minh rằng :

$$\widehat{AIO}\leq 90^0\Leftrightarrow 2BC\leq AB+AC$$

 

Câu VII. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho : Với $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_n$ đôi một khác nhau , luôn tồn tại hai chỉ số $i,j\in\begin{Bmatrix}1,2,3,..,n \end{Bmatrix}$ để $a_i+a_j\geq 2017(a_i,a_j)$

với $(a,b)$ là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương $a,b.$

III, V .... Old problems  

Bài này là đề nghị của Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng em ạ không khác một từ. Bài $3$ ngày một dùng bất biến thì có lẽ tác giả cũng đã đổi đi cho phù hợp với địa phương thì có thể ổn. Nhưng đến bài $7$ tổ hợp ngày $2$ nếu ai có đọc qua tài liệu về phương pháp song ánh thì cũng sẽ biết ngay đây là một bài trong $Romani TST 2002$. 

PS. Theo quan điểm của mình có lẽ vấn đề này cũng nên chấm dứt tại đây 

Bạn có thể dẫn nguồn file phương pháp song ánh ấy được không?

Bài 3 ngày 1 là một bài quen thuộc về bất biến và từng xuất hiện trong topic đề thi mẫu hướng tới VMO 2016 tại đây.

 

Bài 6 ngày 2 có thể giải không cần sử dụng định lí Thebault mà chỉ cần sử dụng phương tích với định lí Thales là được, cụ thể :

Gọi $X,Y$ lần lượt là tiếp điểm của $\odot (O_1),\odot (O_2)$ với $BC$. $Z,T$ lần lượt là tiếp điểm của $\odot (O_1),\odot (O_2)$ với $\odot (O)$.

Theo định lí Thales $ZX,TY$ đi qua điểm chính giữa cung $AB$ không chứa $C$. Gọi điểm đó là $D$.

Theo định lí về tâm đẳng phương thì $CT,ZX,TY$ đồng quy nên $C,T,D$ thẳng hàng.

Ta có $DT^2=\overline{DX}\cdot \overline{DZ}=DA^2$ nên $T$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$.

 

PS. Mình nghĩ có thể đây là bài đề nghị của THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ cho cuộc thi Duyên Hải 2016 nên không thể nói là sao chép được!

Bài này là bài đề nghị của Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng