Nga Messi

đoạn này chứng minh thế nào vậy ạ?

đoạn này chứng minh thế nào vậy ạ?

Bài này vận dụng 4 BĐT cơ bản sau:

 

• $x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)$
• $\frac{(x+y)^{2}}{a+b}\leq \frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}$
• $4xy\leq (x+y)^{2}$
• $\frac{4}{x+y}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Mình trình bày khá chi tiết mà bạn! =)) Mà mình cũng thích Messi đấy 

  Chị là người duy nhất em biết trên diễn đàn thích Messi =))

$xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$

 

Lại có: $x^{3}+ y^{3}\geq x^{2}y+xy^{2}(\Leftrightarrow (x+y)(x-y)^{2}\geq 0)$

 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz & Am-Gm:

 

$\frac{xy}{x^{^{3}}+ y^{{3}}+ x^{2}z + y^{2}z} + \frac{yz}{y^{3}+ z^{3} + y^{2}x + z^{2}x } + \frac{zx}{x^{3} + z^{3} + z^{2}y +x^{2}y} \leq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{4xy}{x^{^{3}}+ y^{{3}}+ x^{2}z + y^{2}z} + \frac{4yz}{y^{3}+ z^{3} + y^{2}x + z^{2}x } + \frac{4zx}{x^{3} + z^{3} + z^{2}y +x^{2}y} \leq 3$

 

• $\frac{4xy}{x^{3}+ y^{3}+ x^{2}z + y^{2}z} \leq \frac{4xy}{x^{2}y+xy^{2}+x^{2}z+y^{2}z}\leq \frac{(x+y)^{2}}{x^{2}(y+z)+y^{2}(z+x)}\leq \frac{x^{2}}{x^{2}(y+z)}+\frac{y^{2}}{y^{2}(z+x)}=\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}$

Tương tự với: $\frac{4yz}{y^{3}+ z^{3} + y^{2}x + z^{2}x };\frac{4zx}{x^{3} + z^{3} + z^{2}y +x^{2}y}$

 

$\Rightarrow \frac{4xy}{x^{^{3}}+ y^{{3}}+ x^{2}z + y^{2}z} + \frac{4yz}{y^{3}+ z^{3} + y^{2}x + z^{2}x } + \frac{4zx}{x^{3} + z^{3} + z^{2}y +x^{2}y}\leq \frac{1}{2}(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x})\leq\frac{1}{2}\left [ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}) \right ] =3$

Chứng minh đoạn cuối này là dùng bất đẳng thức gì vậy ạ?

Bài này khá dài đấy