Đến nội dung

tenlamgi

tenlamgi

Đăng ký: 06-11-2016
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#722335 Có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử của A mà tổng bằng 90?

Gửi bởi tenlamgi trong 18-05-2019 - 14:13

Dùng partition function:

$Q(90, 3) = P(90 - C^2_3, 3) = \text{round}\left(\frac{87 ^ 2}{12}\right) = 631$

 

Tham khảo thêm tại:

http://mathworld.wol...nFunctionQ.html




#678745 giải phương trình $x^{2}+\sqrt{(1-x^{2})^...

Gửi bởi tenlamgi trong 27-04-2017 - 13:42

1, $x^{2}+\sqrt{(1-x^{2})^{3}} =2x\sqrt{1-x^{2}}$

2, $\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}.\left ( \sqrt{(1-x)^{3}}- \right\sqrt{(1+x)^{3}} ) =2+\sqrt{1-x^{2}}$

3, $\sqrt{1-x}-2x\sqrt{1-x^{2}}-2x^{2}+1=0$

4, $64x^{6}-112x^{4}+56x^{2}-7=2\sqrt{1-x^{2}}$

5, $x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{35}{12}$

6, $(x-3)(x+1)+4(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=-3$

Câu 4:Do ĐK: $-1\leq x\leq 1$ nên ta có thể đặt: $x=\cos a$ với $a \in [0;\pi]$

PT $\Leftrightarrow 2(32\cos ^6a-48\cos^4a+18\cos^2a-1)-2(8\cos^4a-8\cos^2a+1)+2(2\cos^2a-1)-1=2\sin a$

$\Leftrightarrow 2\cos 6a-2\cos 4a+2\cos 2a-1=2\sin a$

$\Leftrightarrow \cos 6a -1/2=\cos 4a -\cos 2a + \sin a$

$\Leftrightarrow 2(1/4-\sin^2 3a)=\sin a(1-2\sin 3a)$

$\Leftrightarrow (1-2\sin 3a)(1/2+\sin 3a)=\sin a(1-2\sin 3a)$

hoặc $\sin 3a =1/2\Leftrightarrow a \in {\pi/18;5\pi/18;13\pi/18;17\pi/18}$

hoặc $4\sin^3 a -2\sin a-1=0\Rightarrow a \in {3\pi/10;7\pi/10}$

Vậy  phương trình đầu có 6 nghiệm:

$x=\pm \cos(3\pi/10)=\pm \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

$x=\pm \cos (\pi/18)$

$x=\pm \cos(5\pi/18)$




#678404 Chứng minh rằng AF vuông góc với BX

Gửi bởi tenlamgi trong 23-04-2017 - 17:06

Cho hình vuông ABCD. E là điểm thuộc cạnh CD. Đường phân giác góc BAE cắt đoạn BC tại điểm F. Trên tia BF lấy điểm G sao cho FG=2DE. Gọi O là trung điểm FG. Từ B kẻ hai tiếp tuyến BH, BK tới đường tròn (O), H nằm ở miền trong của hình vuông ABCD (với (O) là đường tròn tâm O, bán kính OF).

a) Chứng minh rằng ABH là tam giác cân.

b) Đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt AH tại điểm X. Chứng minh rằng AF vuông góc với BX.

Gọi độ dài cạnh hình vuông là $a$:

Ta có:

a)$tan(2\angle BAF )=tan(\angle BAE)=cot(\angle EAD)=\frac{a}{\left \| DE \right \|}$

$\Rightarrow tan(\angle BAF)=\frac{\sqrt{1+\frac{a^2}{\left \| DE \right \|^2}}-1}{\frac{a}{\left \| DE \right \|}}\Rightarrow \left \| BF \right \|=atan(\angle BAF)=\sqrt{\left \| DE \right \|^2+a^2}-\left\|DE \right\|=\left \| AE \right \|-\left \| DE \right \|$

$\Rightarrow \left \| BO \right \|=\left \| BF \right \|+\left \| DE \right \|=\left \| AE \right \|$

mà:

$\left \| OH \right \|=\left \| ED \right \|\Rightarrow \Delta OHB=\Delta EDA\Rightarrow \left \| BH \right \|=\left \| AD \right \|=\left \| AB \right \|$

$\Rightarrow \Delta ABH$ cân.

b)Gọi $I$ là trung điểm $AB$, Xét tích vô hướng:$\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{BX}$

$\overrightarrow{BX}\cdot \overrightarrow{AF}=(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IX})\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF})=\overrightarrow{BI}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IX}\cdot \overrightarrow{BF}=-\left \| BI \right \|\left \| AB \right \|+\left \| IX \right \|\left \| BF \right \|=-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}a^2tan(\angle BAF)tan(\angle BAH)$

Ta sẽ chứng minh: $tan(\angle BAF)tan(\angle BAH)=1$

Thật vậy do tứ giác $ABFH$ nội tiếp nên $\angle BAF+\angle BAH=\frac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{BX}=\frac{-a^2}{2}(1-tan(\angle BAF)tan(\angle BAH))=0$

do đó $AF$ vuông góc $BX$




#669922 Cho $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$. CMR: $(b-a)(...

Gửi bởi tenlamgi trong 25-01-2017 - 21:42

Bạn có thể nói cụ thể hơn chỗ $\frac{121^5-1}{600}=\frac{120(\sum_{x=0}^{4}121^x)}{600}=\frac{\sum_{x=0}^{4}121^x}{5}$ đc không

với mọi số nguyên dương n ta có: $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$

Vì vậy $121^5-1=(121-1)(121^4+121^3+121^2+121+1)=120(\sum_{x=0}^{4}121^x)$


  • 013 yêu thích


#669915 Cho $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$. CMR: $(b-a)(...

Gửi bởi tenlamgi trong 25-01-2017 - 21:31

CMR: A = 1110 - 1 chia hết cho 600.

$\frac{11^{10}-1}{600}=\frac{121^5-1}{600}=\frac{120(\sum_{x=0}^{4}121^x)}{600}=\frac{\sum_{x=0}^{4}121^x}{5}$

dễ thấy $\sum_{x=0}^{4}121^x\equiv 5(mod 10)\Rightarrow (11^{10}-1)\vdots 600$


  • 013 yêu thích


#669863 Cho góc xOy có số đo góc là 30o... tính độ dài cạnh của hình vuông thứ 2017

Gửi bởi tenlamgi trong 25-01-2017 - 12:50

 

Cho góc xOy có số đo góc là 30o, người ta sắp xếp các hình vuông vào góc xOy sao cho góc trên, bên trái của các hình vuông phải tiếp xúc với tia Ox và các hình vuông phải liên tiếp nhau, không chồng chéo (như hình vẽ dưới). Biết rằng hình vuông nhỏ nhất H1 có độ dài cạnh là 1. Hình vuông H2 gần hình vuông H1, hình vuông H3 gần hình vuông H2…  Hỏi hình vuông thứ 2017 H2017 có độ dài cạnh là bao nhiêu? :wacko:

 

Hình vuông thứ 2 có cạnh là:

$a_{2}=a_{1}+a_{1}.tan(\pi/6)$

Tương tự hình vuông thứ 3 và hình vuông thứ n có cạnh là:

$a_{3}=a_{2}+a_{2}tan(\pi/6)$

$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-1}tan(\pi/6)=(1+tan(\pi/6))^{n-1}a_{1}=(1+tan(\pi/6))^{n-1}$

Vậy hình vuông thứ 2017 có cạnh là:

$(1+tan(\pi/6))^{2016}=\frac{(3+\sqrt{3})^{2016}}{3^{2016}}$


  • 013 yêu thích


#669353 Giải pt: $\frac{1}{x^{2}-x+1}+\f...

Gửi bởi tenlamgi trong 22-01-2017 - 15:09

Giải pt: $\frac{1}{x^{2}-x+1}+\frac{1}{x^{2}-x+2}+\frac{1}{x^{2}-x+3}+...+\frac{1}{x^{2}-x+2017}=2017$

:wacko: :blink:  :botay

$x^2-x\geq -1/4\Rightarrow \sum_{i=1}^{2017}\frac{1}{x^2-x+i}\leq \sum_{i=1}^{2017}\frac{1}{i-1/4}= \sum_{i=1}^{2017}\frac{4}{4i-1}< 4H_{8067}< 4ln(8067)+4< 2017\Rightarrow$ PT vô nghiệm


  • 013 yêu thích


#669292 Số bi trong hộp sau 60 ngày được bỏ vào theo quy luật

Gửi bởi tenlamgi trong 22-01-2017 - 10:20

Vậy sau 50 ngày An có bao nhiêu viên bi?

có $\frac{\varphi^2(1-\varphi^{50})}{(1-\varphi)\sqrt{5}}-\frac{(1-\varphi)^2(1-(1-\varphi)^{50})}{\sqrt{5}\varphi}=53316291171$ bạn nhé.


  • 013 yêu thích


#668743 Số bi trong hộp sau 60 ngày được bỏ vào theo quy luật

Gửi bởi tenlamgi trong 18-01-2017 - 00:18

An bỏ một lượng bi vào hộp theo nguyên tắc: ngày thứ nhất bỏ vào 1 viên bi, ngày thứ 2 bỏ vào 2 viên bi, từ ngày thứ 3 trở đi mỗi ngày bỏ vào số bi bằng tổng số bi đã bỏ vào 2 ngày trước đó. Hỏi sau 2 tháng (60 ngày) trong hộp của An có bao nhiêu viên bi? :wacko:  Trình bày cụ thể :wacko:

Theo đề bài, số viên bi bỏ vào hộp trong ngày thứ n là số hạng thứ n+1 trong dãy Fibonacci vì vậy số bi có trong hộp sau n ngày là:

$S_{n}=\sum_{x=1}^{n}\frac{\varphi^{x+1}-(1-\varphi)^{x+1}}{\sqrt{5}}$

Số viên bi có trong hộp sau 60 ngày: $S_{60}=\sum_{x=1}^{60}\frac{\varphi^{x+1}-(1-\varphi)^{x+1}}{\sqrt{5}}=\frac{\varphi^2(1-\varphi^{60})}{(1-\varphi)\sqrt{5}}-\frac{(1-\varphi)^2(1-(1-\varphi)^{60})}{\sqrt{5}\varphi}=6557470319840$

Câu hỏi phụ: $S_{n}\geq 10^9\Leftrightarrow \frac{\varphi^2(1-\varphi^{n})}{(1-\varphi)\sqrt{5}}-\frac{(1-\varphi)^2(1-(1-\varphi)^{n})}{\sqrt{5}\varphi}\geq 10^9\Leftrightarrow \varphi^{n+3}\geq 2236067982$$\Leftrightarrow n\geq log_{\varphi}(2236067982)-3\simeq 42$

Vậy An có hơn 1 tỷ viên bi sau 42 ngày.


  • 013 yêu thích


#668720 $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2...

Gửi bởi tenlamgi trong 17-01-2017 - 21:26

Tìm công thức tổng quát của $u_{n}$ biết $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2\\ u_{n+1}=u_{n}^3+3u_n^2-3 \end{matrix}\right.$

$u_{n+1}=u_{n}^3+3u_{n}-3\Leftrightarrow u_{n+1}+1=(u_{n}+1)^3-3(u_{n}+1)$

Ở đây nếu đặt $v_{n}=u_{n}+1$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} v_{1}=3\\ v_{n+1}=v_{n}^3-3v_{n} \end{matrix}\right.$

Đặt $v_{1}=2coshx\Rightarrow v_{2}=2cosh3x\Rightarrow v_{3}=2cosh9x\Rightarrow ...v_{n+1}=2cosh(3^{n}x)$$(x=arcosh(3/2))$

Vậy công thức tổng quát:

$u_{n}=v_{n}-1=2cosh(3^{n-1}arcosh(3/2))-1$




#668047 $\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^\frac{1}{n...

Gửi bởi tenlamgi trong 12-01-2017 - 12:34

Vì bất đẳng thức thuần nhất nên chuẩn hóa: $a+b+c=1$

Bất đẳng thức trở thành:

$\sum (\frac{a}{1-a})^{1/n}\geq 2$

Xét hàm: $f(x)=(\frac{x}{1-x})^{1/n}$ ta có: $f''(x)\geq 0\forall x \in(0;1)$ và n>1

Vậy theo BDT Jensen ta có:

$\sum (\frac{a}{1-a})^{1/n}= f(a)+f(b)+f(c)\geq 3f(\frac{a+b+c}{3})=3f(1/3)=3\sqrt[n]{1/2}\geq 3\sqrt{1/2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}> 2$

Vậy đẳng thức không xảy ra.




#666066 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=$\frac{sqrt{x-2016...

Gửi bởi tenlamgi trong 28-12-2016 - 18:18

đoạn màu đỏ là sao bạn . mình không hiểu ? bạn có thể làm cách khác không ?

đạo hàm đó bạn.


#666042 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=$\frac{sqrt{x-2016...

Gửi bởi tenlamgi trong 28-12-2016 - 13:05

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 

y =$\frac{\sqrt{x-2016}}{x+2}+\frac{\sqrt{x-2017}}{x}$

Đặt $y=f(x)$

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=4034$

Ta có: $f''(4034)<0$$\Rightarrow f(x)\leq f(4034)=\frac{\sqrt{2018}}{4036}+\frac{\sqrt{2017}}{4034}$




#665912 $I=\int_{0}^{1}sin(ln(-ln(x)))$

Gửi bởi tenlamgi trong 26-12-2016 - 18:40

Tính

$I=\int_{0}^{1}sin(ln(-ln(x)))dx$




#665323 tìm $lim\sqrt[n]{x}$

Gửi bởi tenlamgi trong 21-12-2016 - 09:30

tìm $lim\sqrt[n]{2}$

$lim\sqrt[n]{2}=lim2^{1/n}=lime^{\frac{1}{n}ln2}=1$