quynhlqd2016

ta chứng minh bổ đề sau

  Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ,K thuộc (AOC), đường tròn (K,KA) cắt AB,AD tại M,N,đường tròn (K,KC) cắt CB,CD tại S,T chứng minh MN//ST

 tuần 2 tháng 4 năm 2017.png   52.02K   58 Số lần tải

 cho AC cắt (K,KA),(K,KC),OK tại Q,V,X.$AO\cap AO=Y$

có $\widehat{KVC}=\widehat{KCA}=\widehat{KOA}$ $\Rightarrow$ XVOYnội tiếp

ta có $\widehat{OKC}=\widehat{XCO}$   $\Rightarrow$ $\widehat{KXC}$=$\widehat{KCO}$=$\widehat{KAY}$=$\widehat{KYA}$

$\Rightarrow Y\in (K,KA)$ 

C/M tt QK$\cap$ OC= H  $\Rightarrow$ H$\in$ (K,KC)

Ta có (AB,AC)=(AM,AQ)$\Rightarrow$ (KM,KQ)$\Rightarrow$ (OB,OC) Gọi MK$\cap$ OB=Z$\Rightarrow$ (ZK,ZO)=(HK,HO)$\Rightarrow$ HKOZnội tiếp $\Rightarrow \widehat{KZO}=\widehat{KHO}=\widehat{KCO}=\widehat{OYK}$ $\Rightarrow$ KOYHZ nội tiếp

$\Rightarrow$(KOY)$\cap$ OB=Z

Tương tự (CB,CA)=(CS,CV)$\Rightarrow$ (OB,OA)=(KS,KV).      SK$\cap OB=Z'$ 

dễ dàng chứng minh Z'$\in$ (HKY)$\Rightarrow$ (KOY)$\cap$ OB=Z'$\Rightarrow$ Z$\equiv $Z'$\Rightarrow$ $\overline{S,M,K}$ 

C/m tt $\overline{K,N,T}$

 tuần 2 tháng 4 năm 2017(2).png   57.97K   58 Số lần tải

$\Rightarrow$ MN//ST $\Rightarrow PQ//ST$

$\Rightarrow$ $\overline{L,K,C}$

KC$\cap$ (K,KA)=W   $\Rightarrow$ NW//TC và MW//SC

$\Rightarrow$ $\frac{JN}{NQ}$=$\frac{JW}{WC}$=$\frac{JM}{MP}$ $\Rightarrow$ $\frac{MP}{NQ}$=$\frac{JM}{JN}$

tiếp tuyến của A cắt BC tại S$\Rightarrow$ $\overline{K,S,O}$

Có $\widehat{KLx}=\widehat{KDG}=\widehat{SAK}=\widehat{AOK}$gọi $GL\cap AO=A'$   $\Rightarrow A'LOK $nội tiếp $\Rightarrow A\equiv A'$

$\Rightarrow \overline{A,L,G}$ $\Rightarrow \widehat{OLA}=\widehat{HLA}=90\Rightarrow$ $\overline{H,O,L}$

 tuan1thang4nam2017.png   130.44K   60 Số lần tải

rút gọn bài toán thành 

 tuan1thang4nam2017(1).png   122.5K   57 Số lần tải

QF,QE lần lượt cắt (HFE) tại S,T.áp dụng định lí pasal cho$\binom{AFS}{HTE}$ $\Rightarrow J=FT\cap SE$ thuộc BC

Ta có$ \widehat{FTE}=\widehat{FAE}=\widehat{FDB}$   $\Rightarrow FTDQ$ nội tiếp  

t/tự   $\widehat{ESQ}$=$\widehat{FAE}$=$\widehat{EDC}$  $\Rightarrow SEQD$ nội tiếp

áp dụng định lí MIQUEL trong tứ giác toàn phần JFTEQD$\Rightarrow$ S là điểm miquel$\Rightarrow $JFSD nội tiếp

$\Rightarrow QD.QJ=QS.QF=QL.QA\Rightarrow $ALDJ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{JLA}=\widehat{JDA}=90$   $\Rightarrow$ J$\in HO$ 

xét phep nghịch đảo $N_{J}^{k}:T\rightarrow F$,$S\rightarrow E,Q\rightarrow D\Rightarrow (STQ)\rightarrow (FED)$ $\Rightarrow$ tâm G của(STQ)$\rightarrow$ tâm W của (FED)

$\Rightarrow \overline{J,W,H,O,,G}$ 

Ta có $\overline{MD}.\overline{MF}=\overline{MQ}.\overline{MT}$ 

          $\overline{ND}.\overline{NE}=\overline{NS}.\overline{NQ}$

$\Rightarrow $MN là trục đẳng phương của (G),(W)$\Rightarrow MN$ vg góc với HO

$\Rightarrow MN//QL$

Vẽ KS vuông góc với AR. Ta có KSR=KIR=90   $\Rightarrow RSKI$ nội tiếp$\Rightarrow \widehat{RSI}=\widehat{RKI}$

mặt khác $AR\cap (K)=W$   suy ra $\widehat{AKS}=\widehat{AQW}$=$\widehat{AIP}$=$\widehat{ABC}$=$\widehat{ACB}$

$KS\cap BC=T$   $\Rightarrow$ AKCT nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AKN}=\widehat{ATI}$(1)

Vì ASIT nôi  tiếp $\Rightarrow \widehat{RSI}=\widehat{ATI}=\widehat{RKI}$(2)

TỪ (1),(2)$\Rightarrow \widehat{AKM}=\widehat{RKI}$

$\Rightarrow KN=KM$

Lời giải bài toán.

Bổ đề 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có tâm nội tiếp $I,L,K$ lần lượt là đối xứng của $C,B$ qua $IB,IC.$ Khi đó $KL \perp OI.$

Chứng minh. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $U,V,G.$

Đặt $(a,b,c)=(AG,BG,UC).$ Vì $BL=BC,BG=BU$ nên $GL=UC=c.$

Ta có: $LO^{2}-LI^{2}=LA.LB+R^{2}-(GL^{2}+r^{2})=(LA-GA).LB-GL^{2}+R^{2}-r^{2}=(c-a)(b+c)-c^{2}+(R^{2}-r^{2})=bc-a(b+c)+(R^{2}-r^{2}).$

Tương tự: $KO^{2}-KI^{2}=bc-a(b+c)+(R^{2}-r^{2})$ nên $LO^{2}-LI^{2}=KO^{2}-KI^{2}.$

Theo định lí Carnot, $LK \perp OI.$

 TUÁN 4 THÁNG 2.png   116.69K   66 Số lần tải

Bổ đề 2. Gọi $P,Q$ là tâm đường tròn bàng tiếp $C,B$. Khi đó $PL,QK$ cắt nhau tại điểm nằm trên $OI.$

Chứng minh. $PL$ cắt $(ABI)$ tại $E,KQ$ cắt $(AIC)$ tại $F.LK\cap IO$ tại $T.$ Theo bổ đề 1 thì $\widehat{LTI}=90^0.$

Mặt khác ta có $\widehat{LEI}=\widehat{LTI}=90^0 \Rightarrow LEIT$ nội tiếp. (1)

Tương tự     $\widehat{KFI}=\widehat{KTI}=90$   $\Rightarrow FKIT$ nội tiếp. (2)

Ta có $(FL,FK)=(IL,IQ)=(IQ,IC)=(IB,IP)=(IP,IK)=(EL,EK)\Rightarrow ELFK$ nội tiếp. (3)

(1)(2)(3) $\Rightarrow EL,FK,IT$ đồng quy, đpcm.

 tuần 4 month 2.png   123.91K   65 Số lần tải

Trở lại bài toán ban đầu.

 tuần 4 month 2 tổng kết.png   113.57K   66 Số lần tải

Gọi $K,L$ lần lượt là tâm bàng tiếp góc $C,B.$ Theo bổ đề 2 $JM,LP,OI$ đồng quy suy ra $P,E,L$ thẳng hàng. Tương tự $K,F,Q$ thẳng hàng.

Áp dụng định lí Desargues cho 2 tam giác $KFB$ và $ELC \Rightarrow \overline{S,J,T }.$