Trinm

Tìm tất cả hàm số $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ liên tục tại $x=0$ thỏa $f(3x)=f(x)$

Cho hàm số $f : [0;+\propto) \rightarrow [0;+\propto)$ liên tục và $\lim_{x \to +\propto }\frac{f(x)}{x} = L < 1$. Chứng minh rằng có ít nhất 1 số $c\geq 0$ sao cho $f(c) = c$

Cho dãy $u_{n}$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_1=sin1\\ u_n=u_{n-1}+\frac{sin(n)}{n^2} ( n\in N,n\geq 2 ) \end{matrix}\right.$. Chứng minh dãy $u_{n}$ bị chặn 

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đường thẳng d vuông góc với (P) tại A, ta lấy điểm S sao cho SA=AB. Gọi C là điểm đối xứng của B qua A. Đường thẳng $\Delta$ di động qua C và cắt (O) tại hai điểm M, N. Gọi $\alpha,\beta$ lần lượt là số đo góc giữa 2 mặt phẳng (SBM) và (SBN) với (P). Chứng minh $cos^{2}\alpha +cos^{2}\beta = 1/2$

Qua đường cao của tứ diện đều kẻ một mặt phẳng cắt các mặt phẳng chứa các mặt bên của tứ diện theo các đường thẳng lần lượt hợp với mặt đáy của tứ diện các góc $\alpha , \beta , \gamma$. Chứng minh $tan^{2}\alpha +tan^{2}\beta+tan^{2}\gamma=12$