Nesbit

We have $a^2+b^2 = c^2$.

Align:

\begin{align}  
S_{ABCD} & =-R^2\int_{t_1}^{t_2}\frac{dt}{\sqrt{1+\cot^2\varphi _o-t^2}} \\
&=R^2\int_{t_2}^{t_1}\frac{dt}{\sqrt{\frac{1}{\sin^2\varphi _o}-t^2}} \\
&=R^2\left [  \arcsin(t.\sin \varphi _o) \right ] _{\cos \theta _B}^{\cos \theta _A} \\
&=R^2\left [ \arcsin(\sin \varphi _o\cos \theta _A)-\arcsin(\sin \varphi _o\cos \theta _B) \right ]
\end{align}

Equation with boxed:

\begin{equation} \label{eq:1} \boxed{\cos \left ( \overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OS} \right ) = \frac{\overrightarrow{OP}. \overrightarrow{OS}}{OP.OS} = \cos \varphi_P \cos \varphi_S \cos (\lambda_P - \lambda_S) +\sin \varphi_P\sin \varphi_S} \end{equation}

$$\boxed{\cos \left ( \overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OS} \right ) = \frac{\overrightarrow{OP}. \overrightarrow{OS}}{OP.OS} = \cos \varphi_P \cos \varphi_S \cos (\lambda_P - \lambda_S) +\sin \varphi_P\sin \varphi_S} $$

\begin{align}  
S_{ABCD} & =-R^2\int_{t_1}^{t_2}\frac{dt}{\sqrt{1+\cot^2\varphi _o-t^2}} \\
&=R^2\int_{t_2}^{t_1}\frac{dt}{\sqrt{\frac{1}{\sin^2\varphi _o}-t^2}} \\
&=R^2\left [  \arcsin(t.\sin \varphi _o) \right ] _{\cos \theta _B}^{\cos \theta _A} \\
&=R^2\left [ \arcsin(\sin \varphi _o\cos \theta _A)-\arcsin(\sin \varphi _o\cos \theta _B) \right ] \label{eq:6}
\end{align}

Chào em, anh cũng từng là một thành viên mới như em lúc mới vào diễn đàn cách đây 12 năm  . Hôm nay tự nhiên thấy cái tên diễn đàn trên google, thử vào không ngờ nick của anh vẫn còn sống    nên lại làm thành viên mới lần nữa cho vui 

Welcome back anh Quý !!!   Anh giờ làm ở đâu rồi ạ ?

Xin giới thiệu với các bạn, đây là anh Lê Hồng Quý, cựu học sinh THPT Chuyên Đại Học Vinh, giải nhất VMO 2006 với số điểm tuyệt đối 40/40, Huy Chương Đồng IMO 2006 tại Slovenia Anh Quý từng là một ĐHV Olympic rất tích cực của Diễn đàn Toán học. 

Bình luận của thầy Nam Dũng đăng trên FB (không bỏ trong thẻ trích dẫn cho dễ đọc):

Các đội cập nhật tình hình làm bài phát nhỉ ? 

Những lời khuyên quý giá của thầy Trần Nam Dũng:

 

Ngày mai các bạn học sinh sẽ bước vào kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm học 2015-2016. Môn toán sẽ gọi tắt là VMO 2016. Thầy chúc tất cả các em học sinh bình tĩnh, tự tin để có thể tập trung thi triển những điều mình đã ôn luyện được trong thời gian qua, đạt được kết quả tốt nhất.

Sau đây là một số lời khuyên kinh điển.
1. Bình tĩnh, đừng quá hồi hộp và đặc biệt là đừng tạo áp lực cho chính mình. Ăn sáng và đi bộ là hai cách tốt để lấy sự bình tĩnh.
2. Ăn uống. Chú ý đến ăn uống: Ăn sáng vừa đủ no, các món ăn an toàn. Tránh nhiều bột ngọt và đường. Ăn uống đầy đủ sẽ giúp bạn tỉnh táo và không bị lạnh.
3. Tự tin. Bạn đã ôn tập khá kỹ rồi, bây giờ là lúc sử dụng nó thôi. Nếu gặp bài khó thì chắc các bạn khác cũng khó. Vậy thì việc gì phải xoắn nhỉ? Việc gì mà không tự tin nhỉ. 
4. Đúng giờ. Đi thi đúng giờ. Bạn cần canh để đừng đi muộn quá nhưng cũng đừng đến sớm quá. Nhiều khi đến sớm bạn sẽ cảm thấy mệt và lo lắng. Còn đến trễ thì cả pháp lý lẫn tâm lý đều tai hại.
5. Tăng tốc. Phải tăng tốc ngay từ đầu. 180 phút trôi qua rất nhanh. Nếu bạn cứ nhởn nhơ là hết thời gian đấy. 60 phút đầu rất quan trọng. Đầu tiên bạn hãy xử lý những câu hỏi dễ và quen. Sau đó để nó sang một bên để tập trung cho các câu hỏi khó hơn. Chú ý 60 phút cuối sẽ trôi qua rất nhanh đấy. 
6. Có chiến lược. Hãy tấn công đề thi một cách có chiến lược, dựa vào việc đọc qua đề bài, chọn chiến lược dựa trên điểm mạnh, điểm yếu của mình. Làm xong bài nào trình bày ngay vào, kiểm tra kỹ lại rồi cất nó sang một bên. Với những bài chưa làm hoàn chỉnh hãy ghi những ý tưởng và các phần mình làm được để kiếm điểm thành phần. Luôn chú ý tận dụng tối đa cơ hội để kiếm điểm và không để mất điểm vì những sai sót ngớ ngẩn.
7. Trung thực. Đừng loay hoay tìm kiếm sự giúp đỡ như hỏi bạn, liếc bài bạn, giở tài liệu (he he, thi HSG thì cái này ít dùng) ... Những suy nghĩ như vậy tha hóa bạn về mọi phương diện, khiến bạn không tập trung tự suy nghĩ.

Topic này là nơi để thảo luận về kì thi HSG Quốc Gia môn Toán sẽ diễn ra vào ngày mai, 6/1/2016. Lưu ý việc thảo luận đề thi và lời giải sẽ diễn ra trong một topic khác: Đề thi và lời giải VMO 2016 

Rất mong chờ những cập nhật về tình hình bài làm của các đội sau buổi thi. Việc tốt nhất cần làm tối nay, đó là thư giãn và nghỉ ngơi. 

BQT chúc tất cả các bạn làm bài thật tốt !

Ngày 1.

 
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi thứ nhất:6/1/2016
 
Bài 1 (5 điểm). Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}6x-y+z^2=3 & & & \\ x^2-y^2-2z=-1 & & & \\ 6x^2-3y^2-y-2z^2=0 & & & \end{matrix}\right.(x,y,z\in\mathbb{R})$
 
Bài 2 (5 điểm).
 
a)Cho dãy số $a(n)$ xác định bởi $a_{n}=\ln(2n^2+1)-\ln(n^2+n+1)$ với $n=1,2...$.Chứng minh chỉ có hữu hạn số $n$ sao cho $\left \{ a_{n} \right \}< \frac{1}{2}$
 
b)Cho dãy số $b(n)$ xác định bởi $b_{n}=\ln(2n^2+1)+\ln(n^2+n+1)$ với $n=1,2...$.Chứng minh tồn tại vô hạn số $n$ sao cho $\left \{ b_n \right \}<\frac{1}{2016}$
 
Bài 3 (5 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $B,C$ cố định,$A$ thay đổi sao cho tam giác $ABC$ nhọn.Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ và $E,F$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $AB,AC$
 
a)Gọi $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.$EF$ cắt $AO$ và $BC$ lần lượt tại $M$ và $N$.Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ đi qua điểm cố định
 
b)Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ tại $E,F$ cắt nhau tại $T$.Chứng minh $T$ thuộc đường thẳng cố định
 
Bài 4 (5 điểm). Người ta trồng hai loại cây khác nhau trên một miếng đất hình chữ nhật kích thước $m\times n$ ô vuông (mỗi ô trồng một cây).Một cách trồng được gọi là ấn tượng nếu như:
 
i)Số lượng cây được trồng của hai loại cây bằng nhau
 
ii)Số lượng chênh lệnh của hai loại cây trên mỗi hàng không nhỏ hơn một nửa số ô của hàng đó và số lượng chênh lệnh của hai loại cây trên mỗi cột không nhỏ hơn một nửa số ô của cột đó
 
a)Hãy chỉ ra cách trồng ấn tượng khi $m=n=2016$
 
b)Chứng minh nếu có một cách trồng ấn tượng thì cả $m$ và $n$ đều là bội của $4$
 

Ngày 2.

 
Bài 5 (6 điểm). Tìm tất cả các số thực $\alpha$ để tồn tại hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn 
i) $f(1)=2016$.
ii) $f \left( x+y+f(y) \right) = f(x)+ \alpha y$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$.
 
Bài 6 (7 điểm). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ (với tâm $O$) có các góc ở đỉnh $B,C$ đều nhọn. Lấy điểm $M$ trên cung $BC$ không chứ $A$ sao cho $AM$ không vuông góc với $BC$. $AM$ cắt trung trực $BC$ tại $T$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOT$ cắt $(O)$ tại $N$ ($N \ne A$).

• Chứng minh $\angle BAM= \angle CAN$.
• Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $G$ là chân phân giác trong góc $A$ của tam giác $ABC$. $AI,MI,NI$ cắt $(O)$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $P,Q$ tương ứng là giao điểm của $DF$ với $AM$ và $DE$ với $AN$. Đường tròn đi qua $P$ và tiếp xúc với $AD$ tại $I$ cắt $DF$ tại $H$ ($H \ne D$), đường tròn đi qua $Q$ và tiếp xúc với $AD$ tại $I$ cắt $DE$ tại $K$ ($K \ne D$). Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $GHK$ tiếp xúc với $BC$.

Bài 7 (7 điểm). Số nguyên dương $n$ được gọi là số hoàn chỉnh nếu $n$ bằng tổng các ước số dương của nó (không kể chính nó).

• Chứng minh rằng nếu $n$ là số hoàn chỉnh lẻ thì $n$ có dạng $$n=p^sm^2$$ trong đó $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+1$, $s$ là số nguyên dương có dạng $4h+1$ và $m$ là số nguyên dương không chia hết cho $p$.
• Tìm tất cả các số nguyên dương $n>1$ sao cho $n-1$ và $\frac{n(n+1)}{2}$ đều là các số hoàn chỉnh.

-------------------

Update: Nhóm các thầy Trần Nam Dũng, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quang Hùng và Lê Phúc Lữ vừa cho ra mắt tài liệu Lời giải và Bình luận Đề thi VMO 2016. Các bạn có thể xem ở link này (hoặc tải trực tiếp ở link dự phòng này).

Cái này thì nên post vào mục box ẩn của BTC thì tốt hơn, vì nó giống như 1 hình thức họp nội bộ, kỷ luật đảng viên ... tránh làm cho lòng dân dao động (mà dù sao thì mấy vụ "thâm cung bí sử" này cũng hay phết, hấp dẫn hơn cuộc thi nhiều - my opinion)

Và tất nhiên, "điều tương tự" hay "rút kinh nghiệm" thì chắc là nói với mấy bạn BTC rồi

Đây là thí sinh gian lận, còn người của BTC thì không xác định được. Phiền bạn đọc kĩ. 

Cá nhân Nesbit nghĩ rằng thaivinhdam là một giáo viên nên không có chuyện tiếp tay cho thí sinh, nhưng có thể chiemtienvuong bằng cách nào đấy đã lấy được mật khẩu, hoặc vào diễn đàn trên máy của thaivinhdam mà người này không biết. 

Các bạn cần lưu ý rằng BQT không quy chụp cho thaivinhdam, nhưng việc loại thaivinhdam ra khỏi BTC là cần thiết vì việc lời giải bị lộ có liên quan đến thaivinhdam là điều rõ ràng.

Thay đổi quan trọng là những thay đổi gì ạ?

Tạm thời chưa thể tiết lộ với các em, nhưng một trong những điểm mới sẽ là: lướt diễn đàn trên di động sẽ rất sướng 

Các bạn thân mến,

Sau một thời gian nghi ngờ, BQT đã theo dõi điều tra, và bây giờ có thể khẳng định rằng thí sinh chiemtienvuong đã gian lận trong kì thi VMEO IV đang diễn ra. BQT không muốn công bố chi tiết, nhưng có thể tóm tắt như sau: 

• Những bài post của chiemtienvuong trùng địa chỉ IP với một thành viên trong BTC, đó là thaivinhdam. 
• Nhiều lời giải của chiemtienvuong giống một cách bất thường những lời giải được ra ra thảo luận trong box ẩn của BTC (kể cả những hướng đi sai).

BQT không khẳng định thaivinhdam tiếp tay cho chiemtienvuong gian lận, nhưng việc gian lận của chiemtienvuong cũng như mối liên hệ giữa chiemtienvuong và thaivinhdam là chắc chắn. Do vậy, BQT quyết định loại thí sinh chiemtienvuong ra khỏi kì thi, đồng thời rút thaivinhdam ra khỏi danh sách BTC. 

Thật không ngờ tiêu cực lại xảy ra trong một cuộc thi mang tính chất thử sức như VMEO. BQT cảm thấy thực sự thất vọng. Hi vọng rằng điều tương tự sẽ không xảy ra nữa.

P/s: tên thật của thành viên không được ghi ra ở thông báo này vì lí do dễ hiểu, mong các bạn rút kinh nghiệm.

Em rất hay đăng nhập bằng điện thoại và cũng thấy hơi bất tiện mong diễn đàn phát triển 1 ứng dụng cho android để dễ dàng truy cập

Sang năm diễn đàn sẽ có nhiều thay đổi quan trọng, chưa biết lúc nào, nhưng hi vọng là sớm. 

Vẫn còn lỗi ở trang cá nhân, em có thói quen lưu link trang cá nhân nhưng ấn vào thì lại vô trang chủ.

Anh mới chỉnh thêm, em xem lại đã được chưa nhé. 

Lỗi đã được sửa. Cảm ơn các bạn đã thông báo.