Đến nội dung

An Infinitesimal

An Infinitesimal

Đăng ký: 25-05-2005
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#732640 Chứng minh $P(x)$ chia hết cho đa thức $x-1$

Gửi bởi An Infinitesimal trong 10-02-2022 - 21:57

Bạn cho mình hỏi làm sao để chứng minh các nghiệm phức đó đều phân biệt vậy bạn?

 

Ta có $\epsilon_k= \cos\left(\frac{2k \pi}{5}\right)+i \sin\left(\frac{2k \pi}{5}\right), k=\overline{1,5}.$

Đến đây được rồi phải không bạn?

-----------

Đổi $i$ thành $k$ để tránh nhầm lẫn với số phức đơn vị.




#732638 Xét sự hội tụ của tích phân $K=\int_{1}^{+\infty }\frac{...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 10-02-2022 - 21:51

Xét sự hội tụ của tích phân sau:

$K=\int_{1}^{+\infty }\frac{\sqrt{x}.ln(x)}{\sqrt{x+1}\sqrt[5]{x^7+1}}dx$

Em cảm ơn.

Dùng tiêu chuẩn so sánh với hàm phụ là $f(x)=\frac{1}{x^{7/6}}.$ Ta có thể thay thế $\frac{7}{6}$ bởi bất kỳ số thực nào thuộc $\left(1;\frac{7}{5}\right).$




#732637 Chứng minh $P(x)$ chia hết cho đa thức $x-1$

Gửi bởi An Infinitesimal trong 10-02-2022 - 21:48

Giả sử $P(x), Q(x), R(x), S(x)$ là các đa thức thỏa: $P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5)=(x^4+x^3+x^2+x+1)S(x)$. Chứng minh $P(x)$ chia hết cho đa thức $x-1$.

 

Gọi $\varepsilon_i, i=1, 2, \cdots 5,$ là các nghiệm phức phân biệt của phương trình $x^5=1.$ Khi đó, ta có 

$$P(1)+\varepsilon_i Q(1)+\varepsilon_i^2R(1)=0$$ với mọi $i=\overline{1,5}.$

Đa thức bậc không vượt quá hai $P(1)+Q(1)z+R(1)z^2$ có hơn 2 nghiệm. Do đó, đa thức này chính là đa thức $0$. Vì thế $P(1)=0.$ Từ đó, ta suy ra điều cần chứng minh.




#732612 GPTVP: $(x+1)y'-1= 3y+x(x+2)$

Gửi bởi An Infinitesimal trong 06-02-2022 - 11:32

Giải phương trình vi phân:

\[ (x+1)y'-1= 3y+x(x+2). \]

 

PTVP này thiếu thông tin khiến cho việc giải quyết trở nên khó khăn. Ở đây, ta xem xét PTVP trên $\mathbb{R}.$

Phương trình vi phân được viết lại như sau

 

$$[(x+1)^{-3}y]^{\prime}=(x+1)^{-2},\ \forall x\in \mathbb{R}\setminus\{-1\}.$$

Do đó $(x+1)^{-3}y=-\frac{1}{(x+1)^2}+C_1$ với mọi $x>-1$

Do đó, $y= x+1+C_1(x+1)^3.$ với mọi $x> -1$.

Tương tự vậy, ta có $y= x+1+C_2(x+1)^3.$ với mọi $x< -1$. Nhờ tính liên tục, ta có $y(-1)=0=(-1)+1+C_1(-1+1).$

Do đó các hàm số $y(x)=\begin{cases} \begin{matrix} x+1+C_1(x+1)^3\quad if x\ge -1,\\ x+1+C_2(x+1)^3\quad if x<-1,\end{matrix}\end{cases}$

trong đó $C_1, C_2$ là các số thực tùy ý. Ở đây, ta đã kiểm những hàm số này thỏa các điều kiện về sự khả vi lẫn phương trình vi phân.




#732611 $xf'(x) +2f(x) =0 \, \forall x\in (-1:1)$

Gửi bởi An Infinitesimal trong 06-02-2022 - 11:21

Câu hỏi : Tìm tất cả các hàm f(x) xác định trên (-1;1) và thỏa mãn 
                $$xf'(x) +2f(x) =0 \, \forall x\in  (-1:1)$$

Ta có $(x^2 f(x))^{\prime}=0$  với mọi $x\in (0;1).$

Do đó, tồn tại hằng số $C$ sao cho $x^2 f(x)=C$ với mọi $x\in  (0;1).$

Với $x=0$, ta có $C=0.$ Do đó $f(x)=0$ với mọi $x\in (-1;1)\setminus\{0\}.$ 

Hơn nữa, nhờ tính liên tục của hàm $f$, ta có $f(0)=0.$ 

Vậy có duy nhất hàm $f=0$  (đã được kiểm tra thỏa các điều kiện).




#723333 vấn đề ở định nghĩa 7

Gửi bởi An Infinitesimal trong 26-06-2019 - 17:46

mình thấy (-1)^n có giới hạn mà sao nó nói dãy số này không có giới hạn. Ai giải thích được không? 

 

Bạn nên đọc kỹ hơn! Nếu bạn nghĩa dãy đó hội tụ thì hội tụ về đâu?




#722302 Giải phương trình vi phân ${y}'= \left ( 3x- 5+ y...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 16-05-2019 - 21:58

Giải phương trình vi phân: $y'=(3x-5+y)^{2}$

 

Đổi ẩn hàm $u=3x-5+y.$

 

PTVP: $u'=u^2+3.$




#721397 Dãy số - giới hạn

Gửi bởi An Infinitesimal trong 13-04-2019 - 21:26

mn giúp em bài 2,4,5,6 với cả nhà iu !!!

 

Em đã quen với cấp số cộng (CSC) và cấp số nhân (CSN):  tổng của chung?

 

Bài 2: Lập hiệu $2S_{n}-S_n$ (trừ các số hạng tương ứng), xuất hiện tổng CSN.

 

Bài 4: $\{u_n^2\}$ là một CSC.

 

Bài 5: Dãy tăng và $u_n \le \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n-1)}= 2+ \left( 1-\frac{1}{n}\right)<3.$

 

Bài 6: Đặt $v_n= u_n-\frac{n(n-1)}{2}$. Ta có $v_{n+1}=v_n+2^n.$

Từ đây, suy ra $v_n$ (tổng một CSN).
 




#721074 Giới hạn "lạ" $\lim_{x\rightarrow -\infty...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 25-03-2019 - 19:13

Tính giới hạn: $\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} +\sqrt{x^{2}+2x}\right )$

 

Chú ý:

  $$\sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} +\sqrt{x^{2}+2x}= \left ( \sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} -x\right )+\left (\sqrt{x^{2}+2x}+x\right ).$$

 

Nhân lượng liên hiệp, ta sẽ xử lý được giới hạn.




#721073 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Gửi bởi An Infinitesimal trong 25-03-2019 - 19:08

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y= \dfrac{4}{1-x}+ \dfrac{1}{x}$, với $0<x<1$.

 

Dùng BĐT: với các số thực dương $u,\, v$ và các số thực $a,\, b$, ta có 

$$\frac{a^2}{u}+\frac{b^2}{v}\ge \frac{(a+b)^2}{u+v}.$$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{u}=\frac{b}{v}.$




#721004 $4x^{3}f(x)=[f'(x)]^{3}-x^{3}$. T...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 20-03-2019 - 22:38

Ta có $$f'(x)= x\sqrt[3]{4f(x)+1}\Rightarrow \frac{f '(x)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}=x.$$

 

Do đó, $$\int \frac{d f(x)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}=\frac{x^2}{2}+C.$$ 

Suy ra  $f(x)=...$




#720712 $x_{1} = \frac{2020}{2019}; x_{n...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 08-03-2019 - 16:17

Cho dãy số xác định bởi $x_{1} = \frac{2020}{2019}; x_{n+1} = 2019x_{n}^{2} + x_{n}.$ với mọi x $\geq 1$.

đặt $y_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{x_{k}}{x_{k+1}}$.   tìm lim $y_{n}$.

 

Ta có $\frac{x_{k}}{x_{k+1}}=\frac{1}{2019x_{k}+1}$ và

$$\frac{1}{x_{k+1}}=\frac{1}{x_{k}}-\frac{2019}{2019x_{k}+1}.$$

Do đó,
$$2019 y_{n}= \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{x_{k}}-\frac{1}{x_{k+1}}\right)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{n+1}}.$$

...




#720659 Cho dãy số: $x_{1}=1;x_{n+1}=\frac{1}...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 05-03-2019 - 21:45

anh ơi chứng minh nó là dãy đơn điệu kiểu gì ùng

 

Em dùng các gợi ý sau:

1) $x_n\in (0,1] \forall n\in \mathbb{N},$

 

2) $x_{n+1}= f(x_n)$ với $f(x)=\frac{1}{x+1}$ là hàm giảm trên $(0,1].$

 

Chứng minh bằng qui nạp: $\{x_{2n+1}\}$ là dãy giảm; $\{x_{2n}\}$ là dãy tăng.

 

$$x_3<x_1 \Rightarrow x_4=f(x_3)> f(x_1)=x_2\Rightarrow  x_5=f(x_4)<f(x_2)=x_3, ...$$




#720603 Cho dãy số: $x_{1}=1;x_{n+1}=\frac{1}...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 02-03-2019 - 21:30

Cho dãy số: $x_{1}=1;x_{n+1}=\frac{1}{x_{n}+1}$ với n>=1. Cmr: dãy số trên giới hạn hữu hạn

 $\{x_{2n}\} , \{x_{2n+1}\}$ là các dãy đơn điệu và bị chặn. Do đó, chúng hội tụ; và hội tụ cùng một giới hạn. Suy ra ĐCPCM. 




#720341 tính $limy_n$ , với $y_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{kx_k}{1...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 19-02-2019 - 23:26

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{1}{2};\\ x_{n+1}=\frac{nx_n^2}{1+(n+1)x_n} \end{matrix}\right. ,\forall n\in \mathbb{N}^\ast$

 

Chứng minh rằng $x_n\leqslant\frac{1}{n(n+1)}$ và tính $limy_n$ , với $y_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{kx_k}{1+(k+1)x_k}$

 

Giúp em với ạ, có thể chỉ mỗi phần chứng minh đầu tiên là được rồi ạ.

 

Em thử dùng qui nạp kết hợp với khảo sát hàm số!