Tìm kiếm
Bí mật
Đặt $a_i=\sqrt{24}x_i,$ khi đó yêu cầu bài toán tương đương với: Chứng minh rằng $C=10$ là hằng số lớn nhất sao cho nếu có $17$ số thực dương $x_1,\,x_2,\, \ldots,\, x_{17}$ thỏa mãn $$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{17}^2=1$$ và $$24(x_1^3+x_2^3+\cdots +x_{17}^3)+(x_1+x_2+\cdots +x_{17}) <C$$ thì với mọi $i,\, j,\, k$ thỏa mãn $1 \le i <j<k\le 17,$ ta có $x_i,\, x_j,\, x_k$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Trước hết, ta sẽ chứng minh yêu cầu bài toán thỏa với $C=10.$ Không mất tính tổng quát, ta chỉ cần chứng minh $x_1,\,x_2,\, x_3$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Để ý rằng với mọi $0<t<1,$ ta có $$24t^3+t -(16t^4+9t^2)=t(1-t)(4t-1)^2 \ge 0.$$ Do đó, từ giả thiết ta suy ra $$16(x_1^4+x_2^4+\cdots +x_{17}^4)+9(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{17}^2) <10,$$ hay $$16(x_1^4+x_2^4+\cdots +x_{17}^4)<1=(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{17}^2)^2.$$ Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $$16(x_1^4+x_2^4+\cdots +x_{17}^4)=\left(2+\underset{14 \text{ số}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}\right)\left[(x_1^4+x_2^4+x_3^4)+(x_4^4+x_5^4+\cdots +x_{17}^4)\right] \ge \left[ \sqrt{2(x_1^4+x_2^4+x_3^4)}+x_4^2+x_5^2+\cdots +x_{17}^2\right]^2.$$ Do đó, kết hợp với trên, ta thu được $$\sqrt{2(x_1^4+x_2^4+x_3^4)} <x_1^2+x_2^2+x_3^2,$$ hay $$2(x_1^4+x_2^4+x_3^4)<(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^2.$$ Mặt khác, ta có đồng nhất thức $$\begin{aligned} (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^2&- 2(x_1^4+x_2^4+x_3^4)= \\ &=2(x_1+x_2+x_3)(x_1+x_2-x_3)(x_2+x_3-x_1)(x_3+x_1-x_2). \end{aligned} $$ Do vậy, kết hợp với bất đẳng thức ở trên, ta suy ra $x_1,\,x_2,\,x_3$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Phần chứng minh $10$ là hằng số lớn nhất khá dễ nên xin dành lại cho bà con. Giờ mình phải đi dạy tiếp đây.
