- Nguyên Lê -

Giải phương trình ( dấu ngoặc có nghĩa là lấy phần nguyên):

1/$ x^3 - [x] = 3 $
2/$ \left[ {\dfrac{{2x - 1}}{3}} \right] - [x^2 ] = [ - x^2 ]$
3/$ 1 - [x + 1] = \dfrac{{[x] - x}}{{[x - 1]}} $

1/ Ta có $[x]=x^3-3\in\mathbb Z$ nên $x^3\in\mathbb Z$
Mặt khác $x^3-x-3=\{x\}$ nên $0<x^3-x-3<1$
Giải BPT này suy ra [x]=1.
Từ đó tìm được 1 nghiệm thỏa mãn là $\sqrt[3]4$

2/ $[x^2]+[-x^2]\in\{0;-1\}$
Tách ra hai trường hợp.

Đọc sáng tạo BĐT PKH có ghi:
$x^2 + y^2 \ge 2xy \Rightarrow x^5 + y^5 \ge x^2 y^2 \left( {x + y} \right)$
với x, y dướng.
Cho em hỏi vì sao vậy?

Hai cái này đều đúng với x, y dương, nên viết "Mệnh đề thứ nhất => Mệnh đề thứ hai" thì nó hiển nhiên đúng.

Giúp em bài này với ạ, em cũng chỉ là người mới học thôi ạ.
$\dfrac{\sqrt[3]{2x+2}.\sqrt{x+1}-4}{x^2-4x+3}$
Thử nhân liên hợp nhưng bậc quá cao (?)

Em hoàn toàn chưa có tài liệu và các bài tập về phần tính giới hạn này. Các bạn, anh chị có thì có thể chia sẻ được không ạ?

Cho a,b,c 0. Chứng minh rằng
$ \sum a^{3} b \leq \dfrac{16 (a+b+c)^{5} }{243(ab+bc+ca)}$
(Trần Quốc Anh)

Không đồng bậc hả bạn?

Cho $ a,b,c $ là các số thực dương, CM:
$ \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9 + 3\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \dfrac{a}{b}} \right)}^2}{{\left( {1 - \dfrac{b}{c}} \right)}^2}{{\left( {1 - \dfrac{c}{a}} \right)}^2}}} $

Ta sẽ chứng minh BĐT sau:
$(a+b+c)\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)-9\ge\sum\left(1-\dfrac ab\right)\left(1-\dfrac bc\right)$ (1)
Từ BĐT này ta sẽ suy ra trực tiếp BĐT cần chứng minh bằng cách áp dụng AM - GM cho ba số.

Thật vậy, sau khi khai triển ra thì (1) tương đương với $3\left(\dfrac ab+\dfrac bc+\dfrac ca\right)\ge9$, BĐT này đúng với AM - GM ba số.
=> đpcm