E. Galois

Gọi $D'(d_1;d_2)$ là điểm đối xứng của D qua BC. Khi đó $E\left ( \dfrac{d_1}{2};\dfrac{d_2+4}{2} \right )$ nằm trên BC và DD' vuông góc với BC. Dễ thấy $\vec{n} = (2;1)$ là vtcp của BC Ta có:
$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{d_1}{2}-(d_2+4)-2 &=0 \\ \vec{n}.\overrightarrow{DD'}&=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} d_1-2d_2-12 &=0 \\ 2d_1 + d_2 - 4&=0 \end{matrix}\right.$$
Bạn giải hệ này xem có đúng là có nghệm (4;-4) không

1) Bạn ấn tổ hợp phím Crtl + A
2) Ấn Crtl + C để copy hình vẽ.
3) Mở Paint và paste vào đó
4) chỉnh sửa và lưu lại

Được chứ bạn, chỉ có BGK và BTC không được tham gia giải bài thôi.

Mình dự kiến như sau:

I. Mục đích – yêu cầu:

1. Về kiến thức:

- Biết phương trình lôgarit cơ bản.

2. Về kỹ năng:

- Giải được phương trình lôgarit: phương pháp đưa về lôgarit cùng cơ số, phương pháp mũ hoá, phương pháp dùng ẩn số phụ.

3. Về tư duy:

- Khả năng quan sát, dự đoán, suy luận hợp lí và suy luận lôgic;

- Khả năng diễn đạt chính xác, rõ ràng ý tưởng của mình và hiểu được ý tưởng của người khác;

- Các thao tác tư duy: so sánh, tương tự, khái quát hoá, đặc biệt hoá.

4. Về thái độ:

- Có ý thức tự học, hứng thú và tự tin trong học tập;

- Có đức tính trung thực, cần cù, vượt khó, cẩn thận, chính xác, kỉ luật, sáng tạo;

- Có ý thức hợp tác, trân trọng thành quả lao động của mình và của người khác;

- Nhận biết được vẻ đẹp của toán học và yêu thích bộ môn Toán.

II. Phương pháp – phương tiện:

1. Phương tiện:

a. Kiến thức liên quan: học sinh cần ôn lại ở nhà các kiến thức sau:

- Hàm số mũ, hàm số lôgarit, đạo hàm, dạng đồ thị, các tính chất.

- Các tính chất của lũy thừa và lôgarit;

- phương trình mũ.

b. Công cụ cần chuẩn bị:

- HS: máy tính CASIO fx – 570 MS, SGK GT12, thước kẻ.

- GV: Phấn viết, thước kẻ.

2. Phương pháp chủ yếu: Gợi mở vấn đáp + thuyểt trình.

III.Tiến trình dạy học:

1. Ổn định trật tự:(1’).

2. Kiểm tra bài cũ (7’).

a. Nội dung:  Nêu công thức nghiệm của phương trình mũ cơ bản, có khi nào phương trình mũ vô nghiệm không.

b. Hình thức: Gọi 1 HS đứng tại chỗ

c. Đối tượng: HS yếu.

3. Nội dung bài mới:

Tiết 33. §5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT (tiết 2)

II – Phương trình lôgarit:
1. Phương trình lôgarit cơ bản:
a) Định nghĩa: $log_ax = b (1 \neq a > 0)$.
ĐK: $x > 0$.

b) Cách giải:
* Minh họa đồ thị:
- GV chiếu hình minh họa đồ thị hàm số $y = log_ax$ và đường thẳng $y=b$, cho đường thẳng $y=b$ chuyển động rồi đặt câu hỏi:
+ Em hãy quan sát đồ thị và cho biết hai đồ thị trên cắt nhau tại mấy điểm,
+ So sánh hoành độ giao điểm với 0

* Cách giải:
$$log_ax=b\Leftrightarrow x=a^b$$

Tổng quát:
$$log_af(x)=b\Leftrightarrow f(x)=a^b$$
Chú ý: Khi giải pt trên, ta không cần đặt điều kiện dạng $f(x) > 0$

* Ví dụ 1: (phiếu học tập) giải các phương trình sau:
(a) $log_2x = 512$
(b) $ln x = 0$
© $logx=-1$
(d) $log_2(x^2 - 3x + 6) = 4$

Chia lớp thành 3 nhóm.


2. Cách giải một số phương trình lôgarit đơn giản:
a) Đưa về cùng cơ số:
...

Để chứng minh điều trên đây, ta làm 3 bước:
- Bước 1. Chứng minh dãy $u_n$ với $u_n=\left(1+\dfrac{1}{n} \right )^n$ là dãy số tăng.
- Bước 2. Chứng minh dãy $v_n$ với $u_n=\left(1+\dfrac{1}{n} \right )^{n+1}$ là dãy số giảm
- Bước 3. Dễ thấy: $u_n<v_n$ với mọi $n$. Do đó dãy các đoạn thẳng $[u_n;v_n]$ thỏa mãn hai tiêu chuẩn của dãy các đoạn thắt:
(a) $\left [ u_{n+1};v_{n+1} \right ]\subset \left [ u_n;v_n \right ]$ với mọi n

(b) $\lim_{n\rightarrow +\infty }\left ( v_n-u_n \right )=0$

Nên theo định lý về dãy các đoạn thắt, tồn tại số thực duy nhất là giới hạn của dãy $u_n$. Và người ta gọi số đó là $e$

Xét hàm số:
$$f(t)=t\left ( 2+\sqrt{t^2+3} \right )$$
Ta có:
$$f'(t)=2+\sqrt{t^2+3} + \dfrac{t^2}{\sqrt{t^2+3}} > 0, \forall t$$
Do đó hàm số $f(t)$ đồng biến trên $R$
$$PT\Leftrightarrow f(x+1)=f(2x)\Leftrightarrow x+1=2x\Leftrightarrow x=1$$

Dời hệ tọa độ $Oxy$ về hệ tọa độ $IXY$ với $I$ là điểm uốn của đồ thị © và $IX//Ox, IY//Oy$.
Với hệ tọa độ $IXY$, © có phương trình:
$$Y = \alpha X^3 + \beta X$$
Đặt $Y = f(X)$. Dễ thấy hàm số $f(X)$ là hàm số lẻ. Ta có:
$$f'(X) = 3\alpha X^2 + \beta$$

Do $f'(X)$ là hàm chẵn nên:
$$\forall M\left ( X_0;Y_0 \right )\in ©,\exists M'\left ( -X_0;-Y_0 \right )\in ©: f'(X_0) = f'(-X_0)$$
Tức là tiếp tuyến tại chúng song song. Hiển nhiên có vô số cặp điểm như thế.
Do cặp điểm $M, M'$ có tọa độ như trên nên chúng đối xứng với nhau qua $I$. Vậy đường thẳng nối các cặp điểmđó đồng quy tại $I$.
Ta có điều phải chứng minh

Ta có các đường tiệm cận của (C) là: $d: x = -3m$ và $d':y=mx-2$

1) Vì góc giữa $d$ và trục $Ox$ luôn là $90^o$ nên điều kiện cần và đủ để góc giữa $d,d'$ bằng $45^o$ là góc giữa $d'$ và $Ox$ bằng $45^o$ hoặc $135^o$. Điều này tương đương với $m=\pm 1$

2) ĐK cần và đủ để (C) có tiệm cận xiên là $ m\neq 0$
Với điều kiện trên, $d'$ cắt trục $Ox,Oy$ tại $ A\left ( \dfrac{2}{m};0 \right ),B\left ( 0;-2 \right )$
Vì tam giác OAB vuông tại O nên
$$ S_{OAB}=4\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}OA.OB=4\Leftrightarrow \left | \dfrac{2}{m} \right |=4\Leftrightarrow m=\pm \dfrac{1}{2}$$

Hai đường tiệm cận của đồ thị là $d: x = - 2$ và $d': y=-x+6$. Giả sử $M\left ( m;6-m-\dfrac{9}{m+2} \right ),m\neq -2$ là một điểm trên đồ thị.
$$ d_{(M,d)}=\left | m+2 \right |$$
$$d_{(M,d')}=\dfrac{9}{|m+2|\sqrt{2}}$$
Do đó:
$$ d_{(M,d')}.d_{(M,d)}=\dfrac{9}{\sqrt{2}}$$
Ta có đpcm

Các bạn giáo viên hãy cùng trao đổi tại topic này các ý tưởng của các bạn về cách dạy bài phương trình mũ và phương trình logarit (tiết 2). (GT12 cơ bản, chương II)
Bài này gồm phần II - Phương trình lôgarit

Ta có
$$y'=x^2 - (sina + cosa)x + \dfrac{3}{4}sin2a$$
Điều kiện cần và đủ để hàm số có 2 điểm cực trị là:
$$ (sina+cosa)^2 - 3sin2a \geq 0\Leftrightarrow sin2a \leq \dfrac{1}{2}$$ (*)
Với điều kiện trên đây, Vì $x_1, x_2$ là các nghiệm của pt $y' = 0$ nên theo định lí Vi-et ta có:
$$ x_1+x_2 = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$
$$\Leftrightarrow sina+cosa = (sina+cosa)^2-\dfrac{3}{2}sin2a$$
$$ \Leftrightarrow sina+cosa = 1-\dfrac{1}{2}sin2a$$
Đặt $ t=sina + cosa$, đk: $ \left | t \right |\leq \sqrt{2}$ ta có:
$$ t=1- \dfrac{1}{2}(t^2-1)\Leftrightarrow t^2+2t-3=0 \Leftrightarrow t = 1$$
với t = 1, ta có:

\[
\cos a + \sin a = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0 \\
a = \dfrac{\pi }{2} \\
\end{array} \right.
\]
Cả hai giá trị trên đều thỏa mãn (*) nên chúng là các nghiệm của bài toán

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc $(0;1)$
$4(log_2 \sqrt{x})^2-log_\dfrac{1}{2}x+m=0$(1)

$$ (1)\Leftrightarrow - log_{2}^{2}x - log_2x = m $$
Ta có $ log_2x < 0, \forall x\in (0;1)$. Đặt $ t = log_2x < 0$. Xét hàm số $f(t)= - t^2 - t$ trên $ \left ( -\infty ;0 \right )$, ta có:
$$ maxf(t)= f\left ( -\dfrac{1}{2} \right )=\dfrac{1}{4}$$
$$ \lim_{t\rightarrow -\infty }f(t)= -\infty$$

Do đó, điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm thộc (0;1) là:
$$ -\infty < m \leq \dfrac{1}{4}$$

Số nhỏ nhất có 10 chữ số chia hết cho 11111 là 1000001111.
Từ 1000001111 đến 9.999.999.999 có 8999998888 số. Vậy có: 8999998888: 11111 = 810008 số chia hết cho 11111.

a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta tạo được $5^4$ số. Giả sử số cần tạo có dạng ABCD.
Do các chữ số đều bình đẳng như nhau nên mỗi chữ số có $5^4:5$ lần đứng ở vị trí A.
Tổng ở vị trí A là:
$$S_A = 1.5^3 + 2.5^3 + ... + 5.5^3 = 15.5^3$$
Tương tự ở các vị trí khác.
Vậy tổng cần tìm là
$$S = S_D + 10.S_C + 100S_B + 1000S_A = 15.5^3.1111 = 2083125$$

b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 ta tạo được $4.5^3$ số. Giả sử số cần tạo có dạng ABCD.

Ở vị trí A, các chữ số 1, 2, 3, 4 bình đẳng như nhau nên mỗi chữ số đứng ở vị trí A $5^3$ lần.Tổng ở vị trí A là:
$$S_A = 1.5^3 + 2.5^3 + 3.5^3 + 4.5^3 = 10.5^3$$
Do các chữ số đều bình đẳng như nhau ở các vị trí còn lại nên nên mỗi chữ số có $4.5^2$ lần đứng ở vị trí B hoặc C. Ta có
$$S_B = S_C = S_D = (1+2+3+4).4.5^2 = 40.5^2$$

Vậy tổng cần tìm là
$$S = S_D + 10.S_C + 100S_B + 1000S_A = 5^3.10000 + 40.5^2.111 = 1361000$$

ta có:
$$ x^{x^{x}-1} \geq x^2, \forall x \geq 2$$

Mà:
$$ \lim_{x\rightarrow +\infty }x^2 = +\infty$$

Nên
$$\lim_{x \to +\infty}x^{x^{x}-1}= +\infty$$