Họ và tên:Nguyễn Mạnh Trùng Dương
Đang học lớp 8/1 THCS Long Định Châu Thành Tiền Giang
Đề:Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ đường cao $CH$. Đường tròn $(I;r)$ nội tiếp $ABC$ tiếp xúc với $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Giao điểm của $CH$ và $PQ$ là $N$. Gọi $K$ là trung điểm của $BC, KI$ cắt $AC$ tại $M$
chứng minh:$CM=CN$
Đáp án: Qua $C$ kẻ đường thẳng vuông góc $NH$ cắt $PQ$ tại $E$
Ta cần chứng minh tam giác $CEN$ và tam giác $PIA$ bằng nhau$
Ta có $CE$ song song $AB$ (cùng vuông $NH$
nên tam giác $CEP$ và tam giác $AQP$ đồng dạng
do đó tam giác $CEP$ cân tại $C$
Suy ra $CE=CP=IP(1)$
Và góc $CEP=$ góc $AQP=$ góc $AIP(2)$
Từ (1) và (2) ta có tam giác $CEN$ và tam giác $PIA$ bằng nhau
Do đó $CN=PA$ mặt khác ta chứng minh được rằng $AM=PC=r$
Suy ra $AP=CM$
suy ra $CM=CN$