dark templar

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z+xyz=4$,chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \left ( \frac{17\sqrt{17}-47}{8} \right )(x+y+z)+\frac{165-51\sqrt{17}}{8}$$

Hôm nay đi dạo trên AoPS thì thấy bài này cũng hay nên post lên đây cho các bạn tham khảo.Bài này có hẳn 1 bài tổng quát cho $n$ biến nhưng mình lấy 3 biến để dễ tiếp cận

Với $a,b,c>0$ ,chứng minh rằng :

$$3\sqrt[9]{\frac{9a(a+b)}{2(a+b+c)^{2}}}+\sqrt[6]{\frac{6bc}{(b+c)(a+b+c)}}\leqslant 4$$

Cho dãy $(a_n)$ với $a_1=3,a_2=17;a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n$.Tìm $\lim \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}-3(-1)^{k}}$

Cho $n$ số thực thoả $\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}=1$.Tìm GTLN của :

$$P=\sum_{k=1}^{n}kx_{k}^{2} +\sum_{1\leq i<j\leq n } (i+j)x_{i}x_{j}$$

Bài toán: Chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}(n+1)^{n^{2}}}{e^{n}n^{n^{2}}}$ hội tụ hay phân kỳ ?