Nguyenhuyen_AG

anh dùng phần mềm gì phân tích cái cuối thế ạ, cho em xin link tải với :3

Anh dùng Maple để tách hệ số, nhưng phải có code riêng do anh viết mới phân tích được như thế chứ maple thuần túy không làm được.

Cho $a,b,c >0$ thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$ \sum_{cyc} \sqrt{ \dfrac{a}{3b^{2}+1}} \geq \dfrac{3}{2}$$
Trịnh Đình Triển (Dinh De Tai) nhờ mình post bài này.

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có

\[\left(\sum \sqrt{ \dfrac{a}{3b^{2}+1}}\right)^2 \sum a^2(3b^2+1)(a+b+3c)^3 \geqslant \left[\sum a(a+b+3c)\right]^3.\]

Như vậy ta cần chứng minh

\[\left[\sum a(a+b+3c)\right]^3 \geqslant \frac94\sum a^2(3b^2+1)(a+b+3c)^3,\]

hay là

\[\frac13\left[\sum a(a+b+3c)\right]^3(a+b+c) \geqslant \frac94\sum a^2\left[3b^2+\frac19(a+b+c)^2\right] (a+b+3c)^3,\]

\[\begin{aligned}\sum \frac{1}{132}a\left[11a^6+11(37b+19c)a^5+2(127b^2+2178bc+165c^2)a^4+308c^3a^3+440c^4a^2+7c^4(735b+58c)a\\+b^2c^2(2709b^2+7898bc+7788c^2)-30261ab^2c^3\right]  \geqslant  0.\end{aligned}\]

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức AM-GM suy rộng.

Chứng minh sao ạ

Anh tính nhầm một chỗ nên bất đẳng thức anh nêu ra bị sau, còn bài toán của bạn cristianoronaldo ta có thể chứng minh như sau

Dùng phép thế Ravi ta đưa bài toán về dạng

\[\sum \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \geqslant \frac{\sqrt2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}, \quad \forall a,b,c > 0.\]

Bất đẳng thức này được suy ra từ hai đánh giá liên tiếp sau đây

\[\left(\sum \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 \geqslant \frac{(a+b+c)^3}{\displaystyle \sum c(a^2+b^2)} \geqslant \frac{2(a+b+c)^4}{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}.\]

Vế trái chính là bất đẳng thức Holder còn vế phải sau khi khai triển và thu gọn sẽ được một bất đẳng thức hiển nhiên $\sum a^4 \geqslant \sum b^2c^2.$

Bài 2:a,b,c>=0:a+b+c=2.CM $\sum a^2b^2+abc\leq 2$

Bất đẳng thức chặt hơn sau đây vẫn đúng

\[a^2b^2 + b^2c^2+c^2a^2+\frac{11}8abc \leqslant 2.\]

1,Tìm Min: $P = 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc+8 - 5(a+b+c) \geqslant 0 (DK:a,b,c\geq 0)$

Giả sử $c(a-1)(b-1) \geqslant 0,$ khi đó

\[P = c(a-1)(b-1) + \frac{(4a+c-5)^2 + (4b+c-5)^2 + 14(c-1)^2}{8} \geqslant 0.\]

Tìm Min: $\frac{4bc}{(b+c)^{2}}+\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}}$ ($a,b,c>0$)

Có thể tách

\[a + b + c = a + \frac{b+c}2 + \frac{b+c}2,\;ab + bc +ca = bc +\frac{a(b+c)}2+\frac{a(b+c)}2.\]

sau đó dùng bất đẳng thức AM-GM để quy bài toán về 1 biến.

$\boxed{\text{Bài toán}}$ ( cristianoronaldo )

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a(c+a-b)^2}{(a+b-c)[3a^2+(b-c)^2]}\geq 1$

Sau khi áp dụng phép thế Ravi bất đẳng thức trở thành

\[\left(\sum \frac{y^3}{z(y^2+yz+z^2)} -1\right) + \left(\sum \frac{y^2}{y^2+yz+z^2} - 1\right) \geqslant 0,\quad \forall \; x,y,z > 0.\]

Hai bất đẳng thức này chứng minh đơn giản bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Cho x,y,z là các số thực ,tìm min max của x+2y nếu x^2+y^2=x+y

Ta có

\[x+2y = \frac{9\big( 3-\sqrt{10}\big)(x^2+y^2) + \big(\sqrt{10}-1\big)\left[\big(\sqrt{10}+1\big)y+3x\right]^2}{18(x+y)} \geqslant \frac{\big( 3-\sqrt{10}\big)(x^2+y^2)}{2(x+y)} = \frac{3-\sqrt{10}}{2}.\]

Đẳng thức xảy ra khi $x= \frac{5-\sqrt{10}}{10},\;y= \frac{5-2\sqrt{10}}{10}.$

\[x+2y = \frac{9\big( 3+\sqrt{10}\big)(x^2+y^2) - \big(\sqrt{10}+1\big)\left[\big(\sqrt{10}-1\big)y-3x\right]^2}{18(x+y)} \leqslant \frac{\big( 3+\sqrt{10}\big)(x^2+y^2)}{2(x+y)} = \frac{3+\sqrt{10}}{2}.\]

Đẳng thức xảy ra khi $x= \frac{5+\sqrt{10}}{10},\;y= \frac{5+2\sqrt{10}}{10}.$

Bài 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm $Min$ của: $x^2+y^2+2z^2$

Bài toán tổng quát của bài này anh đã từng giải trên diễn đàn (dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Ngoài ra ta có

\[x^2+y^2+2z^2 - (\sqrt5-1)(xy+xz+yz) = \frac14\left(  \sqrt{5}y+ \sqrt{5}z-2x-y-z \right) ^{2}+\frac18\left(\sqrt{5}-1 \right)  \left(  \sqrt{5}z-2y+z \right) ^{2}.\]
 

Cho a,b,c dương :abc=1

CM:$\sum \frac{a}{b}+5\geq \prod (1+a)$

Đây là bất đẳng thức Schur bậc 3 sau khi thuần nhất.

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng

$xyz(x+y+2z)(x+2y+z)(2x+y+z) \leq [(x+y)(y+z)(z+x)]^2$

Bài này có một cách thuần túy bằng AM-GM.

Hèn ci cày mãi không ra

P/s: Anh Huyện thử làm bài 3 coi cái

Giá trị lớn nhất là $\frac18,$ anh có lời giải nhưng không phải của anh nên không post. Nó là đề thi của Hàn Quốc 2012.

Bài 4: Cho $a,b,c$ dương có tổng bằng 3. Chứng minh:

 

$(a^3+b)(b^3+c)(c^3+a)+10\leq 6(a^2+b^2+c^2)$

 

Hi vọng lời giải vận dụng những cái cổ điển xinh đẹp và chính chủ nhé! 

Bất đẳng thức này không thể vận dụng bất cứ phương pháp cổ điển hay hiện đại nào để giải cả, vì nó sai. :v

Cho x, y, z > 0 . CMR : $\frac{-1}{8}\leq \frac{(x+y)(y+z)(z+x)(1-xy)(1-yz)(1-xz)}{(x^{2}+1)^{2}(y^{2}+1)^{2}(z^{2}+1)^{2}}\leq \frac{1}{8}$

Chú ý rằng

\[(x^2+1)(y^2+1) = (x+y)^2+(1-xy)^2 \geqslant 2\left|(x+y)(1-xy)\right|.\]

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=xy+2(x^3+y^3)-(x+y)^2$ biết $x,y>0$ thoả mãn $xy(x+y)=2$

P/s: Hóng cách dùng hàm

Ta có

\[P = 1 + \left(x+y+\frac12\right) (x-y)^2+\left(x+\frac12\right) (x-1)^2+\left(y+\frac12\right) (y-1)^2+[xy(x+y)-2].\]

Cho $xy(x+y) = 2$ ta suy ra được giá trị nhỏ nhất của $P.$