Đến nội dung



Ispectorgadget

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 20:24
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Thảo luận về Đề thi và Lời giải của IMO 2016

14-07-2016 - 22:40

Nguồn FB :)) 


Trong chủ đề: $\sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}...

18-06-2016 - 11:35

Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{8\pi}{7}}=\sqrt[3]{\frac{5-3\sqrt[3]{7}}{2}}$

Xét phương trình $\cos 4x=\cos 3x \Leftrightarrow (\cos x-1)(8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1)=0$

$\Leftrightarrow \cos x=1\vee 8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1=0$
Nhận thấy $t_1=2\cos \frac{2\pi}{7};t_2=2\cos \frac{4\pi}{7};t_3=2\cos\frac{6\pi}{7}$ là nghiệm của phương trình $t^3+t^2-2t-1=0$
Theo định lý Viet ta có \[\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} + {t_3} = - 1\\
{t_1}{t_2} + {t_3}{t_2} + {t_1}{t_3} = - 2\\
{t_1}{t_2}{t_3} = 1
\end{array} \right.\]
Đặt $A=\sqrt[3]{t_1}+\sqrt[3]{t_2}+\sqrt[3]{t_3}$
$B=\sqrt[3]{t_1t_2}+\sqrt[3]{t_3t_2}+\sqrt[3]{t_1t_3}$
Ta có $A^3=3AB-4$ và $B^3=3AB-5$
$\Rightarrow A^3B^3=(3AB-4)(3AB-5)\Rightarrow (AB-3)^3+7=0\Rightarrow AB=3-\sqrt[3]{7}$
$\Rightarrow A^3=5-3\sqrt[3]{7}\Rightarrow A=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}$

Từ đây ta có đpcm. 


Trong chủ đề: [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

12-06-2016 - 17:31

$\boxed{\text{Bài toán 359}}$

Cho đường tròn $(O)$.Hai đường tròn $(C1)$ và $(C2)$ tiếp xúc trong với $(O)$ lần lượt tại $A$ và $F$.Hai đường tròn này cắt nhau tại 2 điểm D và E phân biệt.Gọi K là hình chiếu của A lên DE.H là trung điểm của AK.M là trung điểm $DE$.Chứng minh góc $HMK$ bằng $\frac{1}{2}$ số đo cung nhỏ $AF$ của $(O)$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 359}}$

Một tứ giác lồi được chia bởi các đường chéo thành 4 tam giác. Chứng minh rằng: đường thẳng nối các trọng tâm của 2 tam giác đối nhau vuông góc với đường thẳng nối các trực tâm của 2 tam giác còn lại. 

 

$\boxed{\text{Bài toán 360}}$

Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho : $\cos(\cos(\cos(\cos x))))=\sin(\sin(\sin(\sin x)))$

 

$\boxed{\text{Bài toán 361}}$

Cho $a_1;a_2;...;a_n$ là dãy các số nguyên không âm. Với $k=1,2,....,n$,đặt $ m_k =\max_{1\le l\le k}\frac{a_{k-l+1}+a_{k-l+2}+\cdots+a_k}{l}. $

Chứng minh rằng với mỗi $\alpha>0$,số giá trị của $k$ thỏa mãn $m_k>\alpha$ luôn bé hơn $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{\alpha}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 362}}$

Cho bảng $8\times 6$,các ô của bảng được tô bởi $n$ màu sao cho mỗi cặp 2 màu chỉ xuất hiện cùng nhau không quá một hàng. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $n$?

 

$\boxed{\text{Bài toán 363}}$

Tìm k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

$$4^{-|x-k|}\log_{\sqrt{2}}(x^{2}-2x+3)+2^{-x^{2}+2x}\log_{\frac{1}{2}}(2|x-k|+2)=0$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 364}}$

Tính tổng
$$S = \sum\limits_{n = 1}^5 {\sum\limits_{k = n}^{n + 4} {\left( {k.C_{k - 1}^{n - 1} .C_{9 - k}^{5 - n} } \right)} }$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 365}}$

Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.

 

$\boxed{\text{Bài toán 366}}$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ ; ta có đẳng thức :

$$\frac{1}{\sin^{2} \frac{\pi}{4k+2}} + \frac{1}{\sin^{2} \frac{3\pi}{4k+2}} + \frac{1}{\sin^{2} \frac{5\pi}{4k+2}}+ \cdots+ \frac{1}{\sin^{2} \frac{(2k-1)\pi}{4k+2}} = 2k(k+1)$$


Trong chủ đề: [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

30-03-2016 - 10:21

$\boxed{\text{Bài toán 348}}$

Cho $\Delta ABC$ trên tia đối tia $AB, BC, CA$ lần lượt vẽ các đoạn thẳng $AD, BE, CF$ sao cho $AB + AD = BC + BE = CA + CF$ ( hay $BD = CE = AF$ ). Chứng minh rằng : Nếu $\Delta DEF$ đều thì $\Delta ABC$ đều.

 

$\boxed{\text{Bài toán 349}}$

Giả sử phương trình $ax^2+bx+c=0(a \neq 0)$ có 2 nghiệm phân biệt.Xét dãy $\{x_{n} \}:\left\{\begin{matrix} x_0=\alpha \\ x_{n}(ax_{n-1}+b)+c=0;\forall n \in \mathbb{N^*} \end{matrix}\right.$.Tính $\lim x_{n}$ theo $\alpha$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 350}}$

Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:$$f(f(x)+x)+f(f(x)-x)=8x.$$

 

Các học sinh được phát bài kiểm tra , mỗi môn một bài, trong $n$ môn $(n\ge 3)$ môn học. Biết rằng với một môn học bất kì thì có đúng 3 học sinh đạt điểm tối ưu, còn với 2 môn tùy ý thì có 1 học sinh đạt điểm tối ưu cho mỗi môn trong cả 2 môn đó. Hãy xác định số $n$ bé nhất sao cho từ các điều kiện trên ta có thể suy ra rằng có đúng 1 học sinh đạt điểm tối ưu cho mỗi môn học trong $n$ môn đó.
 
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:
$$F_{n}(a,b,c)= a^n(b-c)+b^n(c-a)+c^n(a-b) \vdots (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$$
 
Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương có :

$$\frac{1!2!+2!3!+...+n!(n+1)!}{n\sqrt[n]{(1!)^2.(2!)^2...(n!)^2}}\geq 2\sqrt[2n]{n!}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 354}}$

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. $G$ là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng $O, I, G$ thằng hàng. Tổng quát bài toán.

 

$\boxed{\text{Bài toán 355}}$

Giải phương trình: $$(\sqrt{7-x^2}-2)(x^2-1)+x^2+(x-1)^2=2$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 356}}$

Cho $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5>0$. Chứng minh rằng:
$\frac{a_1+\sqrt{a_1a_2}+\sqrt[3]{a_1a_2a_3}+\sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}+\sqrt[5]{a_1a_2a_3a_4a_5}}{5} \leq \sqrt[5]{a_1.\frac{a_1+a_2}{2}.\frac{a_1+a_2+a_3}{3}.\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}.\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 357}}$

Giải bất phương trình:

$$25x^{4}+5x^{2}+9x(x^{2}+1)\sqrt{9x^{2}-4}-2\geq 0$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 358}}$

Cho $m$ là số nguyên dương và $r$ là số thực ($r \geq 1$). Chứng minh:
$$\dfrac{1}{4rm} \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m < {(r + 1)m \choose m} < \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m$$
(với $z$ là số thực thì ${z \choose m}$ biểu thị $\dfrac{1}{m!}\prod_{k = 0}^{m - 1} (z - k)$.)


Trong chủ đề: $\sqrt{C_{n}^{1}}+2\sqrt...

21-02-2016 - 00:40

Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n\geq 2$ ta luôn có:

 $1+\sqrt{C_{n}^{1}}+2\sqrt{C_{n}^{2}}+3\sqrt{C_{n}^{3}}+...+n\sqrt{C_{n}^{n}}\leq \sqrt{2.n^{n-1}.n^{3}}$

Sao lại $n^{n-1}.n^3$ nhỉ?