Đến nội dung


Kì thi giải toán VMEO của Diễn đàn Toán học

ĐỀ THI THÁNG 12 (Hạn nhận bài: 23h59 ngày 09/02/2016)
Thảo luận về đề thi tháng 10 và 11
Thể lệ
Danh sách BTC
Đăng kí tham gia dự thi
Hỏi đáp


Ispectorgadget

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 21:27
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Tặng VMF

11-02-2016 - 13:30

Bài này mình làm thử vài trường hợp nhỏ rồi tổng quát lên, đưa lên AoPS hỏi cũng chưa có trả lời :-) Hôm nay có ý, đưa mọi người xem thử.
a) Cho tam thức bậc hai $P(x) = ax^{2} + bx + c$ thỏa mãn $|P(x)| \le 1 \; \forall x \in [-1; 1]$. CMR $P'(x) \le 4 \; \forall x \in [-1; 1]$
b) Cho đa thức bậc ba $P(x) = ax^{3} + bx^{2} + c + d$ thỏa mãn $|P(x)| \le 1 \; \forall x \in [-1; 1]$. CMR $P'(x) \le 9 \; \forall x \in [-1; 1]$.
c) Cho đa thức bậc $n$: $P(x) = a_{n}x^{n} + \ldots + a_{0}$ thỏa mãn $|P(x)| \le 1 \; \forall x \in [-1; 1]$. CMR $P'(x) \le n^{2} \; \forall x \in [-1; 1]$

Cái này là định lý Berstein-Markov 

Bạn xem ở đây.


Trong chủ đề: [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

19-01-2016 - 19:51

$\boxed{\text{Bài toán 333}}$ 

 Cho 1 tam giác đều được chia thành $n^2$ tam giác đều bằng nhau. Một trong số đó được đánh số bởi  1,2,3,…,m sao cho các tam giác với các số liên  tiếp phải có cạnh chung. Chứng minh rằng: $m\geq n^2-n+1$

 

$\boxed{\text{Bài toán 334}}$ 

Xét dãy $\{F_{n} \}_{n \ge 1}$ là dãy Fibonacci.Chứng minh đẳng thức Catalan:

$$F_{n}^2-F_{n+k}F_{n-k}=(-1)^{n-k}F_{k}^2(1 \le k \le n)$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 335}}$ 

Cho $P,Q,R$ là các đa thức phức thỏa mãn
$$P^a+Q^b=R^c$$
Với $a,b,c$ là các số tự nhiên.
Chứng minh rằng:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} >1$

 

$\boxed{\text{Bài toán 336}}$ 

Cho tam giác $ABC$, các đường phân giác trong $BE,CI$. Chứng minh đẳng thức sau: 

$IE^2=\frac{bca^2}{(a+b)(a+c)}-2p(b-c)^2.\frac{abc}{(a+b)^2(a+c)^2}$
với $(p=\frac{\sum a}{2})$

 

 
Tìm tất cả các giá trị thực của $\alpha$ để cho $tan(\frac{5\pi }{12}+\alpha)$ là số hạng giửa của cấp số nhân gồm 3 số hạng: $tan\frac{5\pi }{12},tan(\frac{5\pi }{12}+\alpha),tan(\frac{5\pi }{12}-\alpha )$.
 
Gọi A là ma trận kề biểu diễn đồ thị G. Kí hiệu $a_{ij}^{(p)}$ là các phần tử của ma trận $A^p=A.A...A$ (p lần). Chứng minh rằng $a_{ij}^{(p)} \; (i,j=1,2,...,n)$ là số các đường đi khác nhau từ đỉnh $i$ đến $j$ độ dài $p$ qua $p-1$ đỉnh trung gian.

Trong chủ đề: [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

01-12-2015 - 21:59

$\boxed{\text{Bài toán 324}}$

Cho $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$ Thỏa mãn $\left (1 - x^2 \right )y' - xy = 1, x \in \left (-1; 1 \right )$

Tìm các hệ số $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$

 

$\boxed{\text{Bài toán 325}}$

Cho n là số nguyên dương lẻ,chứng minh rằng:

$$C^{2n}_{4n}\equiv 0 \pmod{8n+4}$$ 

 

$\boxed{\text{Bài toán 326}}$

Cho $(P): y=x^{2}$ ; $d$ là tuyếp tuyến của $(P)$ tại điểm có hoành độ $x=2$ .Gọi $(H)$ là hình giới hạn bởi $(P) ; d $; và trục $Ox$ .TÍnh thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi $(H)$ quay quanh $Ox$.

 
Cho $x,y>0$, chứng minh rằng:

$$\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}>1998^{x-y}+2000^{x-y}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 328}}$

Cho các số thực $x,y,z \ne 0$ và 2 tham số $m, n$ sao cho $$\left\{\begin{array}{1}\left (x^2+myz\right )\left (y^2+mzx\right )\left (z^2+mxy\right ) \ne 0 \\xy+yz+zx =0 \\(x+y+z)^3 =nxyz \end{array}\right.$$

Tính giá trị của :
$$P=\dfrac{yz}{x^2+myz}+\dfrac{zx}{y^2+mzx}+\dfrac{xy}{z^2+mxy}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 329}}$

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{array}{1}x^2\sqrt{y+1}-2xy-2x=1 \\ x^3-3x-3xy=m+2\end{array}\right.$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 330}}$

Cho $a_1,a_2,. . .,a_n;x_1,x_2,. . .,x_n$ là các số thực dương thỏa mãn $\sum_{i=1}^n{x_i}=1$. Chứng minh rằng:
$$(n-1)^{n-1}\sum_{i=1}^n({x_i\prod_{j\ne i}{a_j}})\leq (\sum_{i=1}^n{(1-x_i)a_i})^{n-1}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 331}}$

Cho $a,b,c,d\in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:

$(a+bc)(b+ac)=5^d;a,b$ không chia hết cho 5.
Chứng minh $d$ chẵn.
 
Chỉ ra rằng nếu đơn đồ thị vô hướng có k thành phần liên thông với số đỉnh tương ứng là $n_1,...n_k$ thì số cạnh của $G$ không vượt quá $\sum\limits_{i=1}^kC_{n_i}^2$

Trong chủ đề: Chứng minh giới hạn bằng 0

27-11-2015 - 20:07

Bạn xem ở đây.


Trong chủ đề: Tính tích phân $\int_0^{+\infty} \frac...

15-11-2015 - 17:47

Cái này ko hội tụ, sao tính được :(

:'( Em cũng nghĩ thế nghi đề Fake 

12208387_532123080288600_376560663079968