Đến nội dung


Thông báo

International members are allowed to discuss in English language in the entire forum. However, we recommend them to post their new questions/topics in our Mathematics in English subforum. Please read this guide before posting.
BQT khuyến khích tất cả thành viên tham gia thảo luận trong box Toán tiếng Anh.

Chuyên mục mới
Mỗi tuần một bài toán Hình học

Nổi bật
Hướng dẫn vẽ hình trên diễn đàn


Ispectorgadget

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: 26-05-2016 - 19:12
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

30-03-2016 - 10:21

$\boxed{\text{Bài toán 348}}$

Cho $\Delta ABC$ trên tia đối tia $AB, BC, CA$ lần lượt vẽ các đoạn thẳng $AD, BE, CF$ sao cho $AB + AD = BC + BE = CA + CF$ ( hay $BD = CE = AF$ ). Chứng minh rằng : Nếu $\Delta DEF$ đều thì $\Delta ABC$ đều.

 

$\boxed{\text{Bài toán 349}}$

Giả sử phương trình $ax^2+bx+c=0(a \neq 0)$ có 2 nghiệm phân biệt.Xét dãy $\{x_{n} \}:\left\{\begin{matrix} x_0=\alpha \\ x_{n}(ax_{n-1}+b)+c=0;\forall n \in \mathbb{N^*} \end{matrix}\right.$.Tính $\lim x_{n}$ theo $\alpha$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 350}}$

Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:$$f(f(x)+x)+f(f(x)-x)=8x.$$

 

Các học sinh được phát bài kiểm tra , mỗi môn một bài, trong $n$ môn $(n\ge 3)$ môn học. Biết rằng với một môn học bất kì thì có đúng 3 học sinh đạt điểm tối ưu, còn với 2 môn tùy ý thì có 1 học sinh đạt điểm tối ưu cho mỗi môn trong cả 2 môn đó. Hãy xác định số $n$ bé nhất sao cho từ các điều kiện trên ta có thể suy ra rằng có đúng 1 học sinh đạt điểm tối ưu cho mỗi môn học trong $n$ môn đó.
 
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:
$$F_{n}(a,b,c)= a^n(b-c)+b^n(c-a)+c^n(a-b) \vdots (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$$
 
Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương có :

$$\frac{1!2!+2!3!+...+n!(n+1)!}{n\sqrt[n]{(1!)^2.(2!)^2...(n!)^2}}\geq 2\sqrt[2n]{n!}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 354}}$

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. $G$ là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng $O, I, G$ thằng hàng. Tổng quát bài toán.

 

$\boxed{\text{Bài toán 355}}$

Giải phương trình: $$(\sqrt{7-x^2}-2)(x^2-1)+x^2+(x-1)^2=2$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 356}}$

Cho $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5>0$. Chứng minh rằng:
$\frac{a_1+\sqrt{a_1a_2}+\sqrt[3]{a_1a_2a_3}+\sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}+\sqrt[5]{a_1a_2a_3a_4a_5}}{5} \leq \sqrt[5]{a_1.\frac{a_1+a_2}{2}.\frac{a_1+a_2+a_3}{3}.\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}.\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 357}}$

Giải bất phương trình:

$$25x^{4}+5x^{2}+9x(x^{2}+1)\sqrt{9x^{2}-4}-2\geq 0$$


Trong chủ đề: $\sqrt{C_{n}^{1}}+2\sqrt...

21-02-2016 - 00:40

Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n\geq 2$ ta luôn có:

 $1+\sqrt{C_{n}^{1}}+2\sqrt{C_{n}^{2}}+3\sqrt{C_{n}^{3}}+...+n\sqrt{C_{n}^{n}}\leq \sqrt{2.n^{n-1}.n^{3}}$

Sao lại $n^{n-1}.n^3$ nhỉ?


Trong chủ đề: Tặng VMF

11-02-2016 - 13:30

Bài này mình làm thử vài trường hợp nhỏ rồi tổng quát lên, đưa lên AoPS hỏi cũng chưa có trả lời :-) Hôm nay có ý, đưa mọi người xem thử.
a) Cho tam thức bậc hai $P(x) = ax^{2} + bx + c$ thỏa mãn $|P(x)| \le 1 \; \forall x \in [-1; 1]$. CMR $P'(x) \le 4 \; \forall x \in [-1; 1]$
b) Cho đa thức bậc ba $P(x) = ax^{3} + bx^{2} + c + d$ thỏa mãn $|P(x)| \le 1 \; \forall x \in [-1; 1]$. CMR $P'(x) \le 9 \; \forall x \in [-1; 1]$.
c) Cho đa thức bậc $n$: $P(x) = a_{n}x^{n} + \ldots + a_{0}$ thỏa mãn $|P(x)| \le 1 \; \forall x \in [-1; 1]$. CMR $P'(x) \le n^{2} \; \forall x \in [-1; 1]$

Cái này là định lý Berstein-Markov 

Bạn xem ở đây.


Trong chủ đề: [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

19-01-2016 - 19:51

$\boxed{\text{Bài toán 333}}$ 

 Cho 1 tam giác đều được chia thành $n^2$ tam giác đều bằng nhau. Một trong số đó được đánh số bởi  1,2,3,…,m sao cho các tam giác với các số liên  tiếp phải có cạnh chung. Chứng minh rằng: $m\geq n^2-n+1$

 

$\boxed{\text{Bài toán 334}}$ 

Xét dãy $\{F_{n} \}_{n \ge 1}$ là dãy Fibonacci.Chứng minh đẳng thức Catalan:

$$F_{n}^2-F_{n+k}F_{n-k}=(-1)^{n-k}F_{k}^2(1 \le k \le n)$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 335}}$ 

Cho $P,Q,R$ là các đa thức phức thỏa mãn
$$P^a+Q^b=R^c$$
Với $a,b,c$ là các số tự nhiên.
Chứng minh rằng:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} >1$

 

$\boxed{\text{Bài toán 336}}$ 

Cho tam giác $ABC$, các đường phân giác trong $BE,CI$. Chứng minh đẳng thức sau: 

$IE^2=\frac{bca^2}{(a+b)(a+c)}-2p(b-c)^2.\frac{abc}{(a+b)^2(a+c)^2}$
với $(p=\frac{\sum a}{2})$

 

 
Tìm tất cả các giá trị thực của $\alpha$ để cho $tan(\frac{5\pi }{12}+\alpha)$ là số hạng giửa của cấp số nhân gồm 3 số hạng: $tan\frac{5\pi }{12},tan(\frac{5\pi }{12}+\alpha),tan(\frac{5\pi }{12}-\alpha )$.
 
Gọi A là ma trận kề biểu diễn đồ thị G. Kí hiệu $a_{ij}^{(p)}$ là các phần tử của ma trận $A^p=A.A...A$ (p lần). Chứng minh rằng $a_{ij}^{(p)} \; (i,j=1,2,...,n)$ là số các đường đi khác nhau từ đỉnh $i$ đến $j$ độ dài $p$ qua $p-1$ đỉnh trung gian.
 
Cho $(O,R)$ và dây $AB=\sqrt{3}R$. Điểm $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$. Đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$ tiếp xúc với $MA$ và $MB$ lần lượt tại E và F. Chứng minh $EF$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.
 

Cho $n \in \mathbb{N};n \ge 1$.Ký hiệu $\lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}=e$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{2ne}<\frac{1}{e}-\left(1-\frac{1}{n} \right)^{n}<\frac{1}{ne}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 344}}$ 

Cho $F_1,F_2,\cdots $ là dãy xác định bởi $F_1=1;F_2=1;F_n=F_{n-1}+F_{n-2}; n\ge 3$. Chứng minh 
$$\sqrt{\frac{F_{n+3}}{F_n}}+\sqrt{\frac{F_n+F_{n+2}}{F_{n+1}}}>1+2\left(\sqrt{\frac{F_n}{F_{n+3}}}+\sqrt{\frac{F_{n+1}}{F_n+F_{n+2}}} \right )$$
 
Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a;b) sao cho $ \dfrac{a^b+b}{ab^2+9}$ là một số nguyên
 
Trong phòng rạp có 100 chỗ ngồi và tất cả các vé đã được bán hết (mỗi vé được đánh số thứ tự tương ứng với số chỗ ngồi của phòng rạp).Tìm xác suất để không có khán giả nào ngồi đúng chỗ ghi tên vé của mình
 
$\boxed{\text{Bài toán 347}}$ 
Giả sử rằng $P(x)$ là một đa thức với hệ số thực,có tất cả các nghiệm đều là số ảo.Chứng minh rằng đa thức $P'(x)$ chỉ có một nghiệm thực

Trong chủ đề: [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

01-12-2015 - 21:59

$\boxed{\text{Bài toán 324}}$

Cho $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$ Thỏa mãn $\left (1 - x^2 \right )y' - xy = 1, x \in \left (-1; 1 \right )$

Tìm các hệ số $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$

 

$\boxed{\text{Bài toán 325}}$

Cho n là số nguyên dương lẻ,chứng minh rằng:

$$C^{2n}_{4n}\equiv 0 \pmod{8n+4}$$ 

 

$\boxed{\text{Bài toán 326}}$

Cho $(P): y=x^{2}$ ; $d$ là tuyếp tuyến của $(P)$ tại điểm có hoành độ $x=2$ .Gọi $(H)$ là hình giới hạn bởi $(P) ; d $; và trục $Ox$ .TÍnh thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi $(H)$ quay quanh $Ox$.

 
Cho $x,y>0$, chứng minh rằng:

$$\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}>1998^{x-y}+2000^{x-y}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 328}}$

Cho các số thực $x,y,z \ne 0$ và 2 tham số $m, n$ sao cho $$\left\{\begin{array}{1}\left (x^2+myz\right )\left (y^2+mzx\right )\left (z^2+mxy\right ) \ne 0 \\xy+yz+zx =0 \\(x+y+z)^3 =nxyz \end{array}\right.$$

Tính giá trị của :
$$P=\dfrac{yz}{x^2+myz}+\dfrac{zx}{y^2+mzx}+\dfrac{xy}{z^2+mxy}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 329}}$

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{array}{1}x^2\sqrt{y+1}-2xy-2x=1 \\ x^3-3x-3xy=m+2\end{array}\right.$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 330}}$

Cho $a_1,a_2,. . .,a_n;x_1,x_2,. . .,x_n$ là các số thực dương thỏa mãn $\sum_{i=1}^n{x_i}=1$. Chứng minh rằng:
$$(n-1)^{n-1}\sum_{i=1}^n({x_i\prod_{j\ne i}{a_j}})\leq (\sum_{i=1}^n{(1-x_i)a_i})^{n-1}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 331}}$

Cho $a,b,c,d\in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:

$(a+bc)(b+ac)=5^d;a,b$ không chia hết cho 5.
Chứng minh $d$ chẵn.
 
Chỉ ra rằng nếu đơn đồ thị vô hướng có k thành phần liên thông với số đỉnh tương ứng là $n_1,...n_k$ thì số cạnh của $G$ không vượt quá $\sum\limits_{i=1}^kC_{n_i}^2$