Đến nội dung


hoangtrong2305

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: 15-01-2017 - 15:55
****-

#667914 $2sin2x+cos2x + 2\sqrt{2}sinx-4=0$

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 10-01-2017 - 20:10

Giải PT

$2sin2x+cos2x + 2\sqrt{2}sinx-4=0$

 

Lâu quá chưa giải toán, ngồi làm 1 bài chơi

 

$$2\sin(2x) + \cos(2x) + 2\sqrt{2} \sin(x) - 4 = 0$$

$$\Leftrightarrow 2\sin(2x) - (2 \sin^{2} (x) - 2\sqrt{2} \sin(x) +1) - 2 = 0$$

$$\Leftrightarrow 2(\sin(2x) - 1) - (\sqrt{2} \sin(x) -1)^{2} = 0$$

$$\Leftrightarrow (\sqrt{2} \sin(x) -\sqrt{2} \cos(x))^{2} - (\sqrt{2} \sin(x) -1)^{2} = 0$$

$$\Leftrightarrow (\sqrt{2} \sin(x) -\sqrt{2} \cos(x) + \sqrt{2} \sin(x) -1) (\sqrt{2} \sin(x) -\sqrt{2} \cos(x)-\sqrt{2} \sin(x) +1) = 0$$

$$\Leftrightarrow (2\sqrt{2} \sin(x) -\sqrt{2} \cos(x) -1) (1-\sqrt{2} \cos(x)) = 0$$

$$\Leftrightarrow ...$$




#666488 Số $e$ là số gì vậy?

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 01-01-2017 - 17:40

e-day-new.jpg

 

Bài viết này sẽ nói về số $e$, một hằng số nổi tiếng, có vai trò quan trọng trong Toán học giống như số $\pi $, tỉ số vàng, $\sqrt{2}$, … $e$ là một số vô tỉ, có giá trị là $2.7182818\ldots $

 

Điều thú vị ở số $e$ là nguồn gốc hình thành nên hằng số này không xuất phát từ Hình học. Một hằng số nổi tiếng có từ thời Hi Lạp cổ đại xuất phát từ Hình học đó là số $\pi $, hình thành dựa trên tỉ số của chu vi và đường kính của cùng một hình tròn. Ngoài ra, còn nhiều hằng số khác có từ thời Hi Lạp cổ đại và xuất phát từ Hình học.

 

Hinh1.PNG  Hinh2.PNG

 

Tuy nhiên, số $e$ thì khác, con số này không xuất phát từ Hình học, không dựa trên một hình nào cả. $e$ là một hằng số Toán học liên quan đến sự tăng trưởng và tốc độ thay đổi. Liên quan như thế nào ư? Ta hãy quan sát bài toán đầu tiên sử dụng đến số $e$.

 

Vào thế kỷ 17, nhà Toán học Jacob Bernoulli nghiên cứu về bài toán lãi kép, giả sử bạn có 1 Đồng trong ngân hàng, giả sử ngân hàng này hào phóng đến mức đưa ra lãi suất $100\%/\text{năm}$, điều này có nghĩa sau một năm, bạn được 2 Đồng, bao gồm 1 Đồng ban đầu và $1 \times 100\% = 1$ Đồng từ lãi.

 

Hinh3.PNG

 

Vậy nếu ngân hàng trả lãi suất $50\%/6 \text{ tháng}$ thì sao? Bạn sẽ được lãi nhiều hơn hay ít hơn? Giả sử bạn có 1 Đồng, với lãi suất trên thì sau 6 tháng bạn được 1.5 Đồng (bao gồm 0.5 Đồng tiền lãi). 6 tháng tiếp theo, bạn sẽ được 2.25 Đồng, bao gồm 1.5 Đồng ở 6 tháng trước và $1.5 \times 50\% = 0.75$ Đồng tiền lãi kì này.

 

Nếu ngân hàng trả lãi theo từng tháng, tức lãi suất là $\frac{1}{12} = 8.(3)\%/\text{ tháng}$ thì sao? Số tiền sẽ nhiều hơn chứ? Sau tháng thứ 1, khi tính luôn tiền lãi thì tổng số tiền hiện giờ là

$$1+1\times \frac{1}{12}=1\times \left( 1+\frac{1}{12} \right)=\left( 1+\frac{1}{12} \right)$$

Tương tự, đến tháng thứ 3

$${{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}+{{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}\times \frac{1}{12}={{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}\left( 1+\frac{1}{12} \right)={{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{3}}$$

Cứ thế, ta sẽ tính được đến tháng 12, tổng số tiền kiếm được là

$${{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{12}}=2.61$$

Vậy với cách tính lãi này thì sau 1 năm ta sẽ kiếm được 2.61 Đồng. Trên thực tế, càng chia nhỏ thời điểm lấy lãi theo tỉ lệ tương ứng thì số tiền thu được càng nhiều, cụ thể như ngân hàng tính lãi hàng tuần với lãi suất $\frac{1}{52} = \frac{25}{13}\% \approx 1.923\%/ \text{ tuần}$ (1 năm có 52 tuần), khi đó sau 1 năm, tổng số tiền kiếm được là

$${{\left( 1+\frac{1}{52} \right)}^{52}}=2.69$$

Có lẽ bạn đã thấy được biểu thức tổng quát sẽ có dạng

$${{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Nếu ta tính lãi từng tháng thì $n=12$, tính từng tuần thì $n=52$. Nếu ta tính lãi theo từng ngày, tổng số tiền có được sau 1 năm là

$${{\left( 1+\frac{1}{365} \right)}^{365}}=2.71$$

Số tiền sẽ ngày càng nhiều khi ta tính lãi theo từng giây, hay thậm chí từng nano-giây. Vậy nếu ta trả lãi liên tục theo thời gian thì sao? Cứ mỗi khoảnh khắc là sẽ có lãi, lãi suất liên tục thì kết quả sẽ như thế nào? Để biết được câu trả lời, ta sẽ cho $n\to +\infty $ và xem biểu thức ấy cho ra giá trị là bao nhiêu. Tiếc thay Bernoulli khi ấy chưa tìm ra được kết quả dù ông ta biết rằng đáp án phải nằm giữa 2 và 3. Đến 50 năm sau, Euler (hoặc có thể là Gauss) đã tìm ra đáp án, đó là một số vô tỉ $2.718281828459\ldots $ Euler đặt tên cho số vô tỉ này là $e$, đương nhiên chữ $e$ này không xuất phát từ chữ “$E$” trong “Euler” đâu mặc dù ngày nay người ta hay gọi $e$ là hằng số Euler, ta có thể hiểu $e$ ở đây đơn là là 1 chữ cái dùng để ký hiệu. Ông ta tìm ra một công thức tính $e$ (không phải công thức tính lãi kép như trên) và từ đó chứng minh $e$ là số vô tỉ là

$$e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots }}}}}}}}$$

Đây là liên phân số cố số tầng vô tận với các hệ số tuần theo quy luật $2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots $ Quy luật này kéo dài vô tận, khi đó số này phải là số vô tỉ, còn nếu quy luật này là hữu hạn thì ta có thể viết liên phân số trên thành phân số tối giản. 

 

Hinh4.PNG

 

Ngoài ra, Euler tìm ra được một công thức khác, từ đó ông tìm ra đến 18 chữ số ở phần thập phân.

$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots $$

 

Hinh5.PNG

 

Đây là một công thức đẹp, nhưng với điều kiện là bạn phải biết thế nào là giai thừa (kí hiệu $!$). Giai thừa có thể hiểu nôm na là nhân các số nguyên dương từ $1$ đến số cần tính, ví dụ như 4 giai thừa ($4!$) là $1\times 2\times 3\times 4$. Chứng minh công thức trên thực ra không khó, chỉ cần kiến thức toán Phổ thông là đủ. Ta cần sử dụng đến định lý nhị thức có công thức tổng quát là

$${{\left( 1+x \right)}^{n}}=1+\ldots +\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{x}^{k}}+\ldots +{{x}^{n}}$$

Sử dụng định lý này, ta sẽ có ngay kết quả khai triển của ${{\left( 1+x \right)}^{3}}$ hay ${{\left( 1+x \right)}^{5}}$ mà không cần phải phá ngoặc

 

\begin{align*}{{\left( 1+x \right)}^{3}}&=1+\frac{3!}{1!\left( 3-1 \right)!}{{x}^{1}}+\frac{3!}{2!\left( 3-2 \right)!}{{x}^{2}}+{{x}^{3}}\\&=1+3x+3{{x}^{2}}+{{x}^{3}}\\{{\left( 1+x \right)}^{5}}&=1+5x+10{{x}^{2}}+10{{x}^{3}}+5{{x}^{4}}+{{x}^{5}}\end{align*}

 

Bây giờ áp dụng vào biểu thức tính số $e$

$$e=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Áp dụng định lý nhị thức vào phép khai triển biểu thức này, với $x=\frac{1}{n}$, ta được:

$${{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=1+\ldots +\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}}+\ldots +{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Khi cho $n$ tiến ra vô cùng thì biểu thức

$$\frac{n!}{\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}}=\frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\ldots \left( n-k+1 \right)}{{{n}^{k}}}$$

tiến về 1, do đó ta được

$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}} \right)=\frac{1}{k!}$$

Như vậy, khi $n$ tiến ra vô cùng, biểu thức tính số $e$ đơn giản là tổng của các giai thừa

$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=e=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots +\frac{1}{n!}+\ldots $$

Vì sao Toán học cần dùng đến số $e$? Vì $e$ là ngôn ngữ tự nhiên của sự tăng trưởng. Để cho dễ hiểu, ta vẽ đồ thị hàm số $y={{e}^{x}}$.

 

Hinh6.PNG

 

Lấy một điểm $x$ bất kỳ trên đồ thị, ta được giá trị tung độ tại điểm đó là ${{e}^{x}}$, độ dốc tại điểm đó cũng là ${{e}^{x}}$ và phần diện tích dưới đồ thị, phía trên trục hoành, kéo dài từ điểm $x$ xuống âm vô cùng cũng bằng ${{e}^{x}}$.

 

Hinh7.PNG

 

Tức với bất kỳ điểm nào trên đồ thị, giá trị tung độ, giá trị độ dốc và phần diện tích dưới đường cong đều bằng nhau. Cụ thể, ta lấy $x=1$, ta được giá trị hoành độ là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $, giá trị độ dốc là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $ và phần diện tích dưới đường cong là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $

 

Hinh8.PNG

 

Đây là một điều rất độc đáo, do đó $e$ la ngôn ngữ tự nhiên của vi tích phân do ngành này có nghiên cứu về tốc độ thay đổi, tăng trưởng, tính diện tích, … nhờ số $e$ nên các phép tính trở nên đơn giản hơn nhiều, nếu như bạn không muốn dung đến số $e$ thì có khi bạn tự làm khó bản thân đấy. Ngoài ra, $e$ còn nổi tiếng vì nhiều công thức Toán học nổi tiếng sử dụng đến số $e$, ví dụ như công thức Euler

$${{e}^{i\pi }}+1=0$$

Công thức này sử dụng hàm ${{e}^{x}}$ làm chủ đạo, ngoài ra còn có cả những hằng số Toán học nổi tiếng khác là số $\pi $, số $i=\sqrt{-1}$, số 1 và số 0, do đó công thức này được bầu chọn là công thức đẹp nhất của Toán học.

 

Hinh9.PNG

 

Bài viết này dịch từ clip e của tài khoản Numberphile và clip e (Extra Footage) của tài khoản Numberphile2 trên Youtube

 




#661080 Chứng minh công thức Euler cho đa diện bằng vật lý

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 08-11-2016 - 00:46

Giải Nobel vật lý năm nay được trao cho ba nhà vật lý, Thouless, Haldane và Kosterlitz, vì những đóng góp liên quan đến các chuyển pha và các trạng thái tôpô. Nhân dịp này chúng ta sẽ dùng vật lý để chứng minh một công thức khá nổi tiếng, liên quan đến tôpô – công thức Euler cho đa diện. Công thức này nói rằng với một đa diện bất kỳ, số đỉnh $V$, số mặt $F$ và số cạnh $E$ của nó thoả mãn

 

$$V + F - E = 2$$

 

Ví dụ với hình lập phương ta có $V = 8, F = 6, E = 12,$ và $8 + 6 – 12 = 2$. Bạn có thể kiểm tra với một vài hình đa diện nữa để thấy công thức luôn đúng.

 

Để chứng minh công thức này, ta sẽ lắp một mạch điện theo hình đa diện, thay mỗi cạnh của đa diện bằng một điện trở. Không quan trọng lắm các giá trị của điện trở là bao nhiêu, miễn là tất cả các điện trở đều khác không. Để cho đơn giản ta cho mỗi điện trở là 1 Ω. Sau đó ta chọn hai đỉnh và nối hai cực của một nguồn điện vào hai đỉnh đó, cũng không quan trọng lắm là đỉnh nào. Chẳng hạn với hình lập phương ta có thể tưởng tượng ra mạch điện như sau:

 

resistor-cube-kirt-1.gif

 

Khi ta nối một mạch điện như vậy, tất nhiên điện sẽ chạy trong mạch một cách nhất định. Ta có thể đặt nhiều câu hỏi với mạch điện này. Ví dụ ta có thể hỏi điện trở của mạch là bao nhiêu. Câu hỏi tôi sẽ hỏi là như sau: giả sử tổng dòng điện chạy qua mạch là 1 Amper, dòng điện chạy qua từng điện trở là bao nhiêu? (Tất nhiên là nếu trả lời được câu hỏi này thì có thể tìm ra được điện trở của mạch).

 

Để trả lời câu hỏi trên, ta sẽ lập một hệ phương trình cho phép ta tìm được dòng điện chảy qua từng điện trở. Giả sử $AB$ là một cạnh, ta ký hiệu $I_{AB}$ là dòng điện chạy từ đỉnh $A$ đến đỉnh $B$. Ta có $I_{AB} = -I_{BA}$, và có tổng cộng $E$ đại lượng này. Ta sẽ lập một hệ phương trình để tìm giá trị của các dòng điện này.

 

Có hai loại phương trình, xuất phát từ hai định luật Kirchhoff. Loại đầu tiên là như sau. Giả sử $A$ là một đỉnh, và $B, C, D…$ là các đỉnh kề $A$. Ta có phương trình:

 

$$I_{AB }+ I_{AC} + I_{AD} + … = 0 \text{ hoặc } \, 1 \text{ hoặc } –1$$

 

Vế phải là 0 nếu như đỉnh $A$ không phải một trong hai đỉnh nối vào nguồn điện, là 1 nếu $A$ được nối vào cực dương và –1 nếu $A$ nối vào cực âm. Đơn giản phương trình này nói dòng điện chạy vào một đỉnh phải bằng dòng chạy ra từ đó.

 

Ta có tổng cộng bao nhiêu phương trình như thế này? Đếm thì thấy tổng cộng là $V$ phương trình, nhưng thực ra chúng không độc lập với nhau. Có thể thấy điều này bằng cách lấy tổng tất cả các phương trình trên. Ta sẽ được đồng nhất thức $0 = 0$, vì ở vế trái với mỗi $I_{AB}$ bao giờ cũng có $I_{BA}$. Vế phải thì tất nhiên tổng là $1 + (–1)$ cộng nhiều số 0, cũng bằng không. Như vậy chỉ có $V – 1$ phương trình độc lập.

 

Nhưng những phương trình trên không phải tất cả các phương trình ta phải viết ra. Có một loạt các phương trình khác (phương trình loại hai). Ta giả sử $ABCD$ là một mặt (ta cho nó là tứ giác ở đây nhưng logic tiếp theo đúng với mọi đa giác). Ta sẽ có phương trình

 

$$I_{AB} + I_{BC} + I_{CD} + I_{DA} = 0$$

 

Tại sao có phương trình này? Đó là do điện trở trên mỗi cạnh là 1 Ω nên $I_{AB}$ cũng là hiệu điện thế giữa hai đỉnh $A$ và $B$: $I_{AB} = U_{B}-U{A}$. Từ đó phương trình ở trên trở thành hiển nhiên. Tổng cộng có $F$ phương trình như vậy. Tuy nhiên các phương trình này cũng không độc lập, nếu cộng tất cả các phương trình này lại ta lại có đồng nhất thức $0 = 0$, do đó là chỉ có $F – 1$ phương trình loại hai.

 

Tổng cộng ta có như vậy là $(V – 1) + (F – 1) = V + F – 2$ phương trình.

 

Ta phải giải các phương trình này để tìm các dòng $I_{AB}$. Có bao nhiêu ẩn số tất cả? Số ẩn là số cạnh $E$.

 

Thiên nhiên cho ta biết khi nối mạch điện thì chỉ có một nghiệm duy nhất, vậy số phương trình phải bằng số ẩn.

 

Do đó $V + F – 2 = E$.

 

Đây chính là công thức Euler phải chứng minh.

 

Nguồn: Blog Đàm Thanh Sơn https://damtson.word.../euler-formula/




#645926 Ảnh thành viên

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 21-07-2016 - 22:04

Hâm nóng topic coi nào, ảnh của mình khi nhận áo của VMF :3 

Capture.PNG




#645872 Nhận và khoe áo đồng phục của Diễn đàn.

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 21-07-2016 - 16:53

Em đã nhận áo, mặc thoải mái lắm :D

 

Capture.PNG




#642806 Cập nhật tình hình thi THPT Quốc gia 2016 của các thành viên VMF

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 29-06-2016 - 18:03

Đối với thành viên VMF chỉ tiêu môn Toán phải từ 9.0 trở lên nhé!  :D 




#641174 Đăng ký mua áo đồng phục VMF 2016

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 19-06-2016 - 00:59

Họ và tên: Võ Hoàng Trọng
Nick trên diễn đàn: hoangtrong2305
Địa chỉ nhận áo: 127A TL16, Kp. 3C, P. Thạnh Lộc, Q. 12, Tp. Hồ Chí Minh
Nick Facebook: https://www.facebook.com/hoangtrong2305
Số ĐT liên hệ: 01655984315
Size áo: L
Loại áo: Nam
Số lượng áo: 01
 
Đã chuyển khoản
 
IMG_0986.JPG
 



#636129 Ấn bản điện tử cuốn "Toán tiền tệ ứng dụng được gì?"

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 28-05-2016 - 00:00

book template.jpg

 

Link download (Google drive): https://drive.google...iew?usp=sharing

Link download (Mediafire): http://www.mediafire...gDungDuocGi.pdf

Link download (diendantoanhoc.net): File gửi kèm  ToanTienTeUngDungDuocGi.pdf   2.22MB   1099 Số lần tải

 

Tác giả: Murray Bourne, người sở hữu trang www.intmath.com.

Biên dịch: Nguyễn Văn Sáng Hồng, thành viên Chuyên san EXP
Chỉnh sửa: 
Võ Hoàng Trọng, thành viên Chuyên san EXP
Trình bày bìa: Đỗ Thị 
Hải Yến, thành viên Chuyên san EXP

 

Vào năm 2008, khủng hoảng Tài chính đã xảy ra trên khắp toàn cầu, gây nhiều thiệt hại lớn về mặt kinh tế. Sự kiện này xảy ra một phần vì quá nhiều người mua các sản phẩm tài chính mà không hiểu về sản phẩm đó, phần vì họ chưa có nhiều kiến thức về mảng Tài chính tiền tệ, một mảng chứa nhiều ứng dụng của Toán học và có vài trò rất quan trọng trong cuộc sống chúng ta. Ví dụ như:

 

- Ở Mỹ, người dân thường thuê nhà để ở hơn là mua hẳn một căn nhà như ở Việt Nam. Nếu họ muốn mua nhà, họ thường sử dụng cách trả góp do giá nhà đất rất cao, khó mà có thể thanh toán một lần, có người còn phải vay vốn ngân hàng để trả góp. Do đó, nếu không biết cách chi tiêu, nhiều khả năng nhà của họ sẽ bị tịch biên do không thể thanh toán đúng hạn. Cuốn sách này sẽ trình bày những kiến thức Toán học cơ bản ứng dụng trong mua nhà.

 

- Các bạn sau này đi làm chắc hẳn muốn kiếm thật nhiều tiền để có được một cuộc sống sung túc khi về hưu, một trong những cách để có "tiền lương hưu" đó là gửi tiết kiệm ngân hàng. Cuốn sách này sẽ trình bày cách tính toán với số tiền bạn muốn có khi về hưu thì bây giờ (hoặc một thời điểm nào đó) bạn nên đưa bao nhiêu tiền vào ngân hàng chỉ với kiến thức Toán phổ thông.

 

- Hiện nay ở Việt Nam đang dần phổ biến thẻ tín dụng (credit card). Với thẻ này, bạn có thể sử dụng được cả khi tài khoản thẻ của bạn không còn tiền (tất nhiên số tiền sử dụng sẽ bị phụ thuộc vào hạn mức tối đa mà thẻ bạn được phép sử dụng), chính vì vậy nhiều người khi mua một món hàng hay có tâm lý "Tôi thích nó, tôi muốn có nó ngay lập tức, tôi không có tiền mặt, nhưng tôi có thẻ, tôi sẽ trả sau", dẫn đến sẽ có phụ phí cho họ và vô tình dễ đẩy họ trở thành "con nợ". Cuốn sách này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết để bạn sử dụng thẻ tín dụng một cách hiệu quả.

 

Ngoài ra, cuốn sách này sẽ trình bày những sự kiện lịch sử liên quan đến tiền tệ, đầu tư vàng, xác định dấu hiệu phục hồi kinh tế, thời điểm tiền đầu tư tăng gấp đôi chỉ với cách tính cơ bản có thể nhẩm được ... bằng những kiến thức toán Phổ thông cũng nhưng một số bài tập tình huống cho độc giả thực hành. Chuyên san EXP hi vọng độc giả sẽ có được những kiến thức bổ ích từ cuốn sách này và áp dụng được ở thực tế.




#617578 Ngày 29 tháng 02

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 29-02-2016 - 00:22

Năm 2016 dài hơn năm 2015 vì năm 2016 là năm nhuận, tháng Hai sẽ có thêm 1 ngày. Tại sao các tờ lịch lại thiết kế như vậy?

 

Về cơ bản là do ảnh hưởng vòng quay của Trái Đất quanh Mặt Trời (hay trong thời kì trước Copernicus là Mặt Trời quay quanh Trái Đất). Một năm thường có 365 ngày, nhưng một chu kỳ quỹ đạo của Trái Đất quanh Mặt Trời lại gần với $365\frac{1}{4}$ ngày, điều này có nghĩa rằng nếu không có năm nhuận thì cứ sau mỗi 4 năm các mùa sẽ phải thay đổi khoảng 1 ngày, khi đó mùa Xuân sẽ đến muộn hơn và một năm trôi qua cũng chậm hơn so với lịch.

 

Hình đã gửi

Độ dài một năm tương ứng với thời gian để Trái Đất (hành tinh thứ 3 tính từ Mặt Trời) di chuyển hết 1 vòng quanh Mặt Trời

 

Để giải quyết vấn đề này, năm 46 trước Công Nguyên, lãnh tụ La Mã là Julius Caesar đã cách tân lịch sao cho sau mỗi 3 năm có 365 ngày sẽ có năm thứ 4 có 366 ngày. Vào thời điểm đó, lịch 365 ngày được sử dụng tại Ba Tư và Ai Cập và những tờ lịch này cho thấy hiệu ứng chệch mùa do sự sai lệch giữa năm lịch và năm Mặt Trời. Người La Mã trước đây có một hệ thống phức tạp nhằm tránh chệch mùa, họ xen kẽ năm có 355 ngày với một năm nhuận có thêm một tháng có 22 hay 23 ngày. Hệ này có khả năng giữ lịch khớp với mùa, nhưng việc tự ý thêm tháng thì không phải lúc nào cũng cố định vì điều này do các linh mục xác định đôi khi dựa trên những lý do về chính trị để làm cho năm dài thêm hay ngắn bớt.

 

Sự cách tân của Caesar dẫn đến một cuốn lịch đó là lịch Julius, với mỗi 4 năm sẽ có 1 năm nhuận thêm 1 ngày, điều này phù hợp với chuyển động bên ngoài của ánh nắng Mặt Trời trong tương lai gần, nhưng trong năm Mặt Trời, phân điểm giữa 2 mùa Xuân liên tiếp thì ngắn hơn $365\frac{1}{4}$ ngày, vì vậy qua các Thế kỷ thì việc ước tính thời gian đến mùa bằng lịch sẽ phải bắt đầu sớm hơn thực tế. Sự sai lệch đến thế kỷ 16 là 10 ngày cuối cùng đã được khắc phục khi một vài nhà thờ dùng điểm Xuân phân (xác định bằng Mặt Trời) để tính toán ngày Lễ Phục sinh, còn Tòa thánh Rome lại dùng ngày 25 tháng 3 (dựa trên lịch) để tính toán, dẫn đến hậu quả chệch lịch, tức không phải tín đồ Cơ đốc giáo cũng ăn mừng Lễ Phục sinh cùng ngày. Để giải quyết vấn đề này, vào năm 1582, Đức Thánh cha Gregory XIII giới thiệu một loại lịch có đổi mới, thay vì mỗi 4 năm sẽ có năm nhuận thì năm thế kỷ sẽ không phải lại năm nhuận trừ khi chia hết cho 400. Điều này đã làm giảm số năm lịch trung bình từ 365.25 ngày xuống còn 365.2425 ngày, sai khác nhau có 0.002%, giúp cho năm lịch gần với năm Mặt Trời.

 

LỊCH GREGORY

 

Lịch Gregory được ban hành tại những nước theo thể chế Giáo hoàng, trong đó từ năm 1582, theo sau thứ Năm ngày 4 tháng 10 là thứ Sáu ngày 15 tháng 10, mất đi 10 ngày. Vì điều này nên ngày mất của nhà Thần học người Tây Ban Nha là Thánh Teresa vẫn còn là một dấu hỏi không rõ bà mất vào ngày 4 tháng 10, ngay trước nửa đêm hay vào sáng ngày 15 tháng 10.

 

Vào thời điểm các nước Tin Lành vướng vào lịch Julius, Nữ hoàng Elizabeth đã hỏi thăm ý kiến của nhà Toán học John Dee nhằm cách tân lịch. Ông ta đề xuất cách giải quyết khác, đó là bỏ đi 11 ngày chứ không phải 10 ngày như lịch Gregory, nhưng phải đến năm 1752, Vương quốc Anh mới chuyển sang sử dụng lịch Gregory với theo sau thứ Tư ngày 2 tháng 9 là thứ Năm ngày 14 tháng 9, bỏ đi 11 ngày và tờ lịch Anh có mức phổ biến ngang hàng với lịch Gregory. Trong khi các nước lãnh thổ Giáo hoàng chỉ mất có 10 ngày, sự sai khác tính từ năm 1752 đã tăng lên 11 vì năm 1700 là năm nhuận trong lịch Julius nhưng không phải trong lịch Gregory.

 

Giữa năm 1582 và 1752, lịch Anh không được phổ biến trong các nước Công giáo. Vì vậy, mặc dù hai nhà văn lớn là Miguel de Cervantes và William Shakespeare đều qua đời vào ngày 23 tháng 4 năm 1616 nhưng ở nước Công giáo Tây Ban Nha sử dụng lịch Gregory thì Cervantes mất trước Shakespeare 10 ngày do ngày ghi nhận Shakespeare qua đời sử dụng lịch Julius.

 

SINH NHẬT CỦA BẠN VÀO THỨ MẤY?

 

Một hệ quả khi ban hành lịch Gregory liên quan đến tần số các thứ trong tuần khi cho trước ngày, tháng.

 

Con số 365 hơn 1 đơn vị bội số của 7 ($365=7\times 52+1$), tức trong năm không nhuận thì sinh nhật của bạn tăng lên một thứ trong tuần, cụ thể nếu năm 2014 sinh nhật của bạn vào thứ Hai thi năm 2015 sinh nhật của bạn vào thứ Ba. Nếu như không có năm nhuận thì qua mỗi năm, sinh nhật của bạn tăng lên một thứ (miễn là bạn còn sống). Tuy nhiên, trong năm nhuận thì có một chút thay đổi, sinh nhật của bạn tăng lên hai thứ (có thể xảy ra ngay năm nhuận hoặc năm kế tiếp, phụ thuộc vào tháng bạn sinh ra là giữa tháng 3 đến tháng 12 hoặc tháng 1 hoặc tháng 2).
Về cơ bản, lịch Julius có tác dụng lặp lại vòng 4 năm với 3 năm có 365 ngày sẽ có 1 năm có 366 ngày, tổng số ngày trong 4 năm đó là 1461 ngày, bằng với $7\times 208+5$ ngày, và bởi vì tổng này không chia hết cho 7 nên ta cần 7 vòng như vậy để thứ, ngày, tháng cho trước (như sinh nhật của bạn chẳng hạn) lặp lại như cũ . Qua 28 năm này, sinh nhật của bạn sẽ xuất hiện 4 lần vào mỗi thứ trong tuần.

 

Hình đã gửi

Giả sử sinh nhật của bạn là ngày 1 tháng 1, trong năm 2001 trùng vào thứ Hai. Đồ thị trên biểu diễn các thứ trong tuần trùng với sinh nhật của bạn trong một vài năm sau đó (theo lịch Gregory). Bạn có thể thấy rằng dạng đồ thị lặp lại sau mỗi 28 năm, từ năm 2001 đến năm 2084. Chu kỳ 28 năm tiếp theo sẽ có năm thế kỉ (2100) đáng ra sẽ là năm nhuận nhưng không phải. Vì vậy năm này sẽ phá vỡ vòng tuần hoàn (chỗ vòng tròn đỏ). Bạn phải đợi 400 năm sau để dạng đồ thị lặp lại chính xác

 

Bây giờ ta quay lại lịch Gregory, do cách giải quyết đối với các năm thế kỷ nên giá trị thứ, ngày, tháng lặp lại mỗi 400 năm. 400 năm này bao gồm 303 năm không nhuận có 365 ngày và 97 năm nhuận có 366 ngày (vì chỉ có một trong 4 năm thế kỷ là năm nhuận), tổng cộng có 146 097 ngày, con số này chính là bội số của 7, bằng với 7 nhân 20 871.

 

Điều này có ý nghĩa vì có hàm ý rằng mỗi 400 năm thì dạng đồ thị thứ lại cùng điểm bắt đầu. Nếu bạn sinh vào thứ Hai, ngày 1 tháng 1 năm 2001 thì sinh nhật của bạn sẽ rơi trúng thứ Hai trong tuần vào năm 2401, 2801, 3201 và cứ thế. Vào ngày 1 tháng 1 năm 2084 bạn đã trải qua sinh nhật đúng vào thứ Hai lần thứ 12, thứ Ba lần thứ 12 và cứ thế. Nhưng năm thế kỷ phá vỡ mẫu hình đó và sau 400 năm từ 2001 đến 2400 thì sinh nhật của bạn trải qua 56 lần thứ Hai, 58 lần thứ Ba, 57 lần thứ Tư, 57 lần thứ Năm, 58 lần thứ Sáu, 56 lần thứ Bảy và 58 lần Chủ Nhật. Vì ngày 1 tháng 1 năm 2401 lại là thứ Hai, vòng tròn này lặp lại.

 

THỨ SÁU NGÀY 13

 

Theo quan điểm có phần mê tín dựa trên tính chất chu kỳ lịch Gregory chia hết cho 7 rằng sẽ thật không may khi ngày 13 là rơi vào thứ Sáu. Theo lịch Julius, ngày 13 mỗi tháng sẽ xuất hiện đều ở các thứ trong tuần nên xét về trung bình thì mỗi 7 tháng chỉ có 1 tháng có thứ Sáu ngày 13, nhưng trong lịch Gregory thì không có tính xuất hiện đều này, ngày 13 của mỗi tháng đa số rơi trúng vào thứ Sáu. Hiển nhiên sẽ có sự tranh luận rằng ta không nên thực hiện tính thống kê trội trong khi bản thân chúng ta còn chưa hoàn tất đúng một vòng lịch 400 năm.

 

NẾU NHƯ BẠN SINH VÀO NGÀY 29 THÁNG 2 THÌ SAO?

 

Một số người sinh vào ngày 29 tháng 2 (giả sử 1 ngày sẽ có 1 người mới sinh ra đời thì cứ mỗi 1461 người sẽ có 1 người sinh vào ngày này). Nếu ta định nghĩa “sinh nhật” là “ngày lịch biểu mà tôi ra đời” thì thật không may cho những người sinh vào ngày này sẽ ít có dịp ăn mừng sinh nhật hơn phần đông chúng ta. Thực tế, những người này sẽ tổ chức tiệc sinh nhật vào ngày 28 tháng Hai hay 1 tháng Ba (tùy vào cách tính tuổi tròn của mỗi Quốc gia đối với những người sinh vào ngày này) với niềm hi vọng sẽ nhận được bánh kem, nến và quà. Họ có thể tổ chức sinh nhật vào đúng ngày họ chào đời một lần trong mỗi 4 năm.

 

Ví dụ, nhà soạn nhạc Gioachino Rossini (người viết bản opera “Người thợ cắt tóc thành Seville” và nhiều bài khác) sinh vào ngày 29 tháng 2 năm 1792. Ông có sinh nhật vào năm 1796, nhưng năm 1800 không phải năm nhuận và sinh nhật lần thứ 2 của ông là năm 1804. Ông viết bản opera cuối cùng mang tên “William Tell” vào năm 1829, trước lần sinh nhật thứ 9 của ông. Vậy chính xác khi nào ông mới tổ chức tiệc sinh nhật lần thứ 15? Vì năm 1800 và 1900 không phải năm nhuận nên thời gian tổ chức sinh nhật phải đến năm 2000, năm này là năm nhuận vì 2000 chia hết cho 400. Thật ngạc nhiên khi Rossini mất đúng vào thứ Sáu ngày 13, ngày mà nhiều người mê tín cho rằng không may mắn.

 

Hình đã gửi

Nếu bạn sinh vào ngày 29 tháng 2, tuổi của bạn sẽ chậm hơn

 

Những người sinh vào ngày 29 tháng 2 có ít lần xuất hiện ngày sinh nhật hơn. Nếu họ sống ở Thụy Điển vào những năm sau 1700 sẽ có những nhân tố kèm thêm, Thụy Điển quyết định sử dụng lịch Gregory vào năm 1700 và chấp nhận mất 11 ngày ngay lập tức thay vì mất từng ngày một như nhiều nơi khác, nhưng do không có năm nhuận giữa năm 1700 và 1740 nên nếu bạn sinh ở Thụy Điển vào ngày 29 tháng 2 năm 1696, dưới sự thay đổi này bạn phải đợi đến năm 1744 để tổ chức tiệc sinh nhật đầu tiên. Nhưng năm 1712, sự thay đổi này được tiến hành không mấy hiệu quả (năm 1704 và 1708 là năm nhuận nhưng họ không làm vậy). Tờ lịch này không được sử dụng và họ quay trở lại lịch Julius. Họ thực hiện điều này bằng cách giới thiệu thêm một ngày vào tháng 2 năm 1712 và giúp cho lịch Julius phổ biến trở lại, khôi phục năm nhuận không theo lịch Julius xảy ra vào năm 1700. Vì vậy những người sinh vào ngày 30 tháng 2 năm 1712 ở Thụy Điển sẽ không bao giờ có cơ hội tổ chức sinh nhật đúng ngày.

 

Người dịch: Võ Hoàng Trọng, thành viên Chuyên san EXP
Nguồn: https://plus.maths.o...ths-february-29

 

a




#614589 Toán học trong điện tâm đồ: Chuỗi Fourier

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 12-02-2016 - 21:18

Tôi đi khám sức khỏe có đo điện tâm đồ. Dưới đây là ảnh điện tâm đồ của tôi.

 

ecg_sm3.jpg

 

I. ĐIỆN TÂM ĐỒ HOẠT ĐỘNG THẾ NÀO?


Ảnh chụp màn hình_2016-02-12_210529.png

Các điện cực được kết nối với nhiều vị trí trên cơ thể bạn (ngực, cẳng chân, tay, bàn chân) sử dụng hiệu điện thế để đo đạc và đọc ra điện tâm đồ.

 

Trục tung của điện tâm đồ là thời gian còn trục hoành là biên độ điện thế.

ecg-reference-pulse.png

Đơn vị biên độ là milivolt ($\text{mV}$) và trên đồ thị, $1\text{ mV}$ có chiều cao bằng $10\text{ mm}$. Thời gian đo là $25\text{ mm}=1\text{ giây}$ (hay $1\text{ mm}$ mỗi $0.04\text{ giây}$ trên đồ thị).

 

Dưới đây là kết quả của tôi theo Chuyển đạo II, biểu diễn hiệu điện thế giữa điện cực dương ở chân trái và điện cực ở tay phải. Mỗi đường thẳng đứng mỏng màu đỏ biểu diễn thời gian 1 giây.

 

ecg-II.gif

 

Theo bác sĩ, kết quả này cho thấy tim tôi vẫn khỏe mạnh.

 

Chi tiết thêm, nét đặc trưng của xung lặp lại mà ta đang nhìn như sau:

 

ecg-PQRSTwaves.gif

 

Sóng $P$ hình thành bởi sự co của tâm nhĩ phải theo sau tâm nhĩ trái (buồng nằm phần đầu của tim).

 

Phức hợp $QRS$ biểu diễn điểm theo thời gian mà các cơ tim hoạt động nhiều nhất, vì vậy điểm này có biên độ cao nhất.

 

Sóng $T$ biểu diễn độ phân cực của tâm thất (buồng nằm phần dưới của tim).

ecg-heart.png

Tim người với tâm nhĩ và tâm thất

 

II. MÔ HÌNH HÓA NHỊP TIM BẰNG CHUỖI FOURIER

 

Nhịp tim có tính đều đặn (nếu không thì chắc chắn tim có vấn đề). Về toán học, ta gọi một hiện tượng lặp đi lặp lại đều đặn là chu kỳ. Ta có thể biểu diễn một số sóng dưới dạng chuỗi Fourier.

 

1. Giả thuyết

 

Nhịp tim của tôi đập khoảng 70 nhịp/phút. Để đơn giản hóa, tôi giả định rằng nhịp tim của tôi là 60 nhịp/phút hay 1 nhịp/giây, vậy chu kỳ là 1 giây hay 1000 mili giây ($\text{ms}$).

 

Cũng vì mục đích đơn giản, trong bài viết này tôi chỉ mô hình sóng $R$. Để thu được mô hình nhịp tim tốt hơn, tôi chỉ cần làm quy trình tương tự với sóng $P,~Q,~S$ và $T$ và thêm vào mô hình của tôi.

 

Tôi quan sát rằng sóng $R$ của tôi cao khoảng $2.5~\text{mV}$ và kéo dài trong vòng $40~\text{ms}$. Hình dạng của sóng $R$ gần như là hình tam giác nên trng mô hình, tôi có thể dùng các đường thẳng, nhưng điều này sẽ không tạo ra được đường cong trơn (nhất là ở phần đỉnh, chỗ này phải khả vi liên tục).

 

Một hướng tiếp cận tốt hơn đó là dùng đa thức (với những đường đi lên và đi xuống rất gần với dạng đường thẳng), vì vậy mô hình của tôi như sau (đơn vị thời gian mà mili giây):

                            $$f\left( t \right)=-0.0000156{{\left( t+20 \right)}^{4}}+2.5$$

                                              $$f\left( t \right)=f\left( t+1000 \right)$$

2. Giải thích mô hình

 

Mô hình dựa trên hàm bậc 4 vì hàm này gần với dạng đồ thị tôi cần (hình parabol thì quá rộng).

 

Biểu thức $\left( t-20 \right)$ xuất phát từ việc đường cong bắt đầu ở $\left( 0,0 \right)$ (giúp mọi chuyện đơn giản hơn), đường cong sẽ đi qua điểm $\left( 40,0 \right)$ vì xung dài $40~\text{ms}$ và có tâm ở $t=20$. Còn “$+2.5$” có được do biên độ xung là $2.5~\text{mV}$, giá trị $-0.0000156$ là nghiệm khi giải phương trình sau theo $a$ khi $t=0$.

                                              $$a{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5=0$$

Phương trình $f\left( t \right)=f\left( t+1000 \right)$ có nghĩa rằng hàm số lặp lại sau mỗi $1000~\text{ms}$.

 

3. Đồ thị mô hình

 

Đây là đồ thị một phần của một chu kỳ (phần phía trên trục $t$ từ $t=0$ đến $t=40$)

ecg-model-quartic.png

Đương nhiên đây chỉ là 1 xung. Làm cách nào để ta tạo ra một đồ thị lặp lại các xung này theo những đoạn bằng nhau? Vì vậy, ta sẽ sử dụng chuỗi Fourier, chuỗi này là một chuỗi vô hạn bao gồm các biểu thức lượng giác. Khi ta thêm tất cả biểu thức, bạn sẽ được mô hình toán học của hàm số gốc có chu kỳ.

 

Để thu được chuỗi Fourier, ta cần tìm giá trị trung bình ${{a}_{0}}$ và 2 biểu thức hệ số chứa $n,{{a}_{n}}$ và ${{b}_{n}}$ dùng để nhân vào biểu thức lượng giác và cộng từ 1 đến vô cùng.

 

4. Giá trị trung bình

 

Ta tính ${{a}_{0}}$ bằng cách tính tích phân sau ($L$ là nửa chu kỳ):

       $${{a}_{0}}=\frac{1}{L}\underset{-L}{\overset{L}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt$$

          $$=\frac{1}{500}\underset{-500}{\overset{500}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)dt$$

                                                                     $$=0.16$$

Phần đường cong ta cần tính tích phân nằm từ $t=0$ đến $t=40$, cho nên đó là lý do vì sao ta chọn những giá trị này làm giới hạn tích phân ở dòng áp chót.

 

5. Hệ số ${{a}_{n}}$ đầu tiên

 

Tiếp theo, ta tính ${{a}_{n}}$:

$${{a}_{n}}=\frac{1}{L}\underset{-L}{\overset{L}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)\cos \frac{n\pi t}{L}dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{-500}{\overset{500}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)\cos \frac{n\pi t}{500}dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)\cos \frac{n\pi t}{500}dt$$

$$=-4\times {{10}^{-10}}\left( 5.57\times {{10}^{8}}{{n}^{4}}\sin \left( 0.251n \right)+8.11\times {{10}^{10}}{{n}^{3}}\cos \left( 0.251n \right)-1.94\times {{10}^{12}}{{n}^{2}}\sin \left( 0.251n \right)+2.45\times {{10}^{14}}\sin \left( 0.251n \right)-3.08\times {{10}^{13}}n\cos \left( 0.251n \right)+8.11\times {{10}^{10}}{{n}^{3}}-3.08\times {{10}^{13}}n \right)/{{n}^{5}}$$

 

Đáp án tính phân này khá xấu.

 

6. Hệ số ${{b}_{n}}$ thứ hai:

 

Bây giờ ta tính ${{b}_{n}}$:

$${{b}_{n}}=\frac{1}{L}\underset{-L}{\overset{L}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)\sin \frac{n\pi t}{L}dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{-500}{\overset{500}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)\sin \frac{n\pi t}{L}dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)\sin \frac{n\pi t}{500}dt$$

$$=4\times {{10}^{-10}}\left( 5.57\times {{10}^{8}}{{n}^{4}}\cos \left( 0.251n \right)-8.11\times {{10}^{10}}{{n}^{3}}\sin \left( 0.251n \right)-1.94\times {{10}^{12}}{{n}^{2}}\cos \left( 0.251n \right)+2.45\times {{10}^{14}}\cos \left( 0.251n \right)+3.08\times {{10}^{13}}n\sin \left( 0.251n \right)-2.45\times {{10}^{14}}-5.57\times {{10}^{8}}{{n}^{4}}+1.94\times {{10}^{12}}{{n}^{2}} \right)/{{n}^{5}}$$

 

Cuối cùng, ta ghép các biểu thức trên lại, thu được chuỗi Fourier cho mô hình nhịp tim đơn giản:

$$f\left( t \right)=\frac{{{a}_{0}}}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{a}_{n}}\cos \frac{n\pi t}{L}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{b}_{n}}\sin \frac{n\pi t}{L}$$

$$f\left( t \right)=\frac{0.16}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\left( \frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)\cos \frac{n\pi t}{500}dt \right)\cos \frac{n\pi t}{500}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\left( \frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)\sin \frac{n\pi t}{500}dt \right)\sin \frac{n\pi t}{500}$$

 

Khi ta vẽ đồ thị với 5 biểu thức đầu tiên ($n=1$ đến $5$), ta có thể thấy điểm bắt đầu của nhịp tim đều 1 giây.

 

ecg-model-5-quartic.gif

 

Đồ thị trên biểu diễn “nhiễu” trong khai triển chuỗi Fourier, nhất là khi bạn lấy không đủ biểu thức.

 

Lấy thêm nhiều biểu thức (lần này, ta lấy 100 biểu thức đầu tiên) cho ta đồ thị dưới đây, ta thấy rằng ta có được xấp xỉ tốt hợp lý cho sóng $R$ đều với chu kỳ 1 giây.

 

ecg-model2-quartic.gif

 

Tôi thêm sóng $T$ vào mô hình (màu xanh)

 

ecg-model-quartic-Twave.gif

 

Tôi dùng hình parabol để biểu diễn sóng $T$ vì hình dạng sóng $T$ rộng hơn hình dạng sóng $R$. Ta có thể thêm sóng $P,Q$ và $S$ để thu được mô hình tốt hơn.

 

Xem thêm cách giải đầy đủ (cho đến sóng $T$, sử dụng phần mềm Scientific Notebook) tại: http://www.intmath.c...artic-plusT.pdf

 

7. Ta đã làm gì?

 

Ta đã lấy từng đỉnh nhọn để đại diện cho một sóng $R$ của nhịp tim. Ta cũng tìm công thức có thể lặp lại đỉnh theo các khoảng thời gian bằng nhau. Chuỗi Fourier (tổng vô hạn các biểu thức lượng giác) đã cho ta công thức.

 

Cuối cùng, ta thêm sóng $T$, sử dụng cùng lý thuyết như trước.

 

Chuỗi Fourier rất hữu dụng trong điện tử học và âm học, nơi các sóng có tính chu kỳ.

 

Bài viết do Võ Hoàng Trọng, thành viên Chuyên san EXP dịch.

 

Nguồn: http://www.intmath.c...ier-series-4281




#613385 Cách thắng trò chơi Nim

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 06-02-2016 - 21:21

Một số trò chơi thường thiên về may mắn, như khả năng chiến thắng của bạn dựa trên xúc xắc bạn lắc hay lá bài bạn được phát. Nhưng vẫn có những trò chơi cần chiến lược, nếu bạn chơi khéo léo, bảo đảm bạn sẽ giành chiến thắng.

 

Một ví dụ đó là trò chơi Nim, một trò chơi cổ xưa. Cho dù trò chơi đang ở giai đoạn nào, ta luôn có một chiến thuật thắng cho một trong hai người chơi, và một hình thức bổ sung rất thú vị sẽ cho bạn biết ai là người chiến thắng.

 

I. LUẬT CHƠI NIM

 

Trò chơi truyền thống Nim được chơi với một số đồng xu được sắp xếp thành nhiều đống, cách sắp số lượng đồng xu và đống tùy thuộc vào bạn. Có hai người chơi, khi đến lượt, người chơi có thể lấy một số lượng tùy ý đồng xu từ một đống duy nhất. Họ phải lấy ít nhất 1 đồng xu và họ không được lấy các đồng xu từ đống khác. Người thắng là người lấy đồng xu cuối cùng, nghĩa là không còn đồng xu nào sau nước đi của người đó. (Một số người chơi có cách chơi khác, người lấy đồng xu cuối cùng sẽ thua, nhưng hiện tại chúng ta sẽ bỏ qua phiên bản đó)

 

Rõ ràng ở đây không có sự may mắn. Bạn có thể tìm ra nước đi tốt nhất bằng việc dự đoán kết quả của nước đi trước đó một cách khéo léo.

 

Ví dụ về cách chơi trò này như sau: Giả sử có 3 đống, mỗi đống lần lượt có 3,4,5 đồng xu. Sau đây là quy trình chơi:

nim.png

Trò chơi Nim bắt đầu với 3 đống với mỗi đống lần lượt có 3,4,5 đồng xu. A là người chiến thắng

 

Câu hỏi mà chúng ta quan tâm là: Cho một trạng thái cụ thể các đống và đồng xu, liệu có một chiến lược thắng cho một trong các người chơi? Nghĩa là, liệu có một người chơi được đảm bảo sẽ thắng nếu người đó đi đúng bước?

 

Hãy bắt đầu với một vài ví dụ. Giả sử có 2 người chơi A và B, A là người đi trước. Giả sử có 2 đống, mỗi đống có 1 đồng xu. Rõ ràng, B là người chiến thắng vì A buộc phải lấy 1 trong 2 đồng xu, để lại cho B lấy đồng cuối cùng.

 

Bây giờ giả sử có 2 đống, một đống có 2 đồng xu, đống còn lại có 1 đồng xu. Người chơi A sẽ có chiến lược thắng: Lấy 1 đồng từ đống có 2 đồng xu. Khi đó ta còn lại 2 đống, mỗi đống 1 đồng xu và người chơi B đi tiếp. Như ví dụ trước, A là người thắng cuộc.

 

Chúng ta cùng làm thêm một ví dụ nữa: Giả sử có 2 đống với 2 đồng xu mỗi đống. Lúc này B sẽ là người có chiến thuật thắng. Nếu A lấy hết một đống, B chỉ cần lấy đống còn lại và thắng. Nếu A chỉ lấy 1 đồng của một đống thì chúng ta trở về lại trường hợp trên với B đi trước. Do đó B luôn đảm bảo sẽ thắng nếu B lấy 1 đồng từ đống có 2 đồng xu.

 

nim_coins.jpg

Ai có chiến lược thắng?

 

Từ chuỗi ví dụ trên, bạn có thể cảm giác rằng có một mô hình nào đó cho trò chơi này: Cho một cách sắp xếp các đống và các đồng xu, sẽ có một chiến lược thắng cho một trong hai người chơi. Nhà toán học Charles Bouton (1869-1922) cũng cảm thấy điều tương tự và đặt mình vào nhiệm vụ khó khăn là phân tích toàn bộ trỏ chơi trên. Năm 1902 ông đã tìm ra bí quyết - và bí quyết này thật tinh tế! Để tìm ra có một chiến thuật thắng cho người chơi, đầu tiên bạn cần phải ...

 

II. SỬ DỤNG DÃY NHỊ PHÂN

 

Bí mật ở đây chính là viết số lượng đồng xu trong các đống thành số nhị phân. Để biết làm như thế nào, cần nhớ lại cách viết số thập phân thông thường như thế nào. Lấy 4302 làm ví dụ, 4 ở đây không đơn thuần chỉ là số 4, mà lã 4000 hay $4\times 1000$. Tương tự, 3 không đơn thuần chỉ là số 3 mà là $300=3\times 100$, 0 đại diện cho $0\times 10$, và 2 đại diện cho $2\times 1$. Như vậy 4302 nghĩa là:

                                              $$4\times 1000+3\times 100+0\times 10+2\times 1$$

Tương tự số 7396 được biểu diễn là

                                              $$7\times 1000+3\times 100+9\times 10+6\times 1$$

Các số 1000, 100, 10 và 1, xuất hiện ở các biểu thức trên có điểm chung là gì? Chúng đều là lũy thừa của 10

                                                                                $$1000={{10}^{3}}$$

                                                                                 $$100={{10}^{2}}$$

                                                                                  $$10={{10}^{1}}$$

                                                                                   $$1={{10}^{0}}$$

Để viết các số theo hệ thập phân, đầu tiên bạn cần phải viết chúng dưới dạng tổng liên tiếp các lũy thừa của 10 (với lũy thừa lớn nhất ở bên trái), và sau đó viết các hệ số của các lũy thừa đó. Chúng ta có thể làm tương tự với lũy thừa của 2 thay vì 10. Ví dụ, giá trị của dãy nhị phân 110 viết dưới hệ thập phân là:

                                $$1\times {{2}^{2}}+1\times {{2}^{1}}+0\times {{2}^{0}}=4+2+0=6$$

Và dãy nhị phân 10001 biểu diễn trong hệ thập phân là

$$1\times {{2}^{4}}+0\times {{2}^{3}}+0\times {{2}^{2}}+0\times {{2}^{1}}+1\times {{2}^{0}}=16+0+0+0+1=17$$

Bạn có thể hiểu rằng dãy nhị phân chỉ chứa duy nhất hai giá trị là 0 hoặc 1, khi bạn viết một số dưới dạng tổng liên tiếp các lũy thừa của 2, các hệ số khác là không cần thiết.

 

III. CỘNG THEO CÁCH CHƠI NIM

 

Bí mật để tìm ra chiến lược thắng nằm ở cách viết số kích thước của các đống (số lượng đồng xu của từng đống) theo dạng nhị phân và cộng chúng lại với nhau, nhưng không phải cộng theo cách thông thường, mà là cộng theo một cách khác, gọi là "Phép cộng Nim".

 

Để cộng một số số nhị phân cho trước bằng "phép cộng Nim", đầu tiên bạn viết chúng theo dạng cột (viết số sau đứng dưới số trước), như cách thực hiện phép cộng thông thường. Sau đó bạn nhìn từng cột theo thứ tự. Nếu số lượng các con số 1 là lẻ, bạn viết 1 ở dưới chúng, nếu số lượng chẵn, viết số 0 dưới chúng. Làm như vậy với từng cột cho ra số nhị phân mới, và đó là kết quả của "phép cộng Nim".

nimrod.png

Một trong những trò chơi máy tính đầu tiên có tên là Nimrod, được thế kế để chơi trò chơi Nim.

Trò chơi này được triển lãm vào năm 1951 tại Festival Anh quốc

 

Ví dụ, hãy cộng (theo cách Nim) các số nhị phân 10, 11, và 100 (các số này biểu diễn dưới thập phân là 2, 3 và 4):

Capture.PNG

 

Vậy kết quả của "phép cộng Nim" là số số nhị phân 101. "Phép cộng Nim" không giống với phép cộng thông thường, số nhị phân 101 là 5 ở hệ thập phân, không bằng với phép cộng thông thường là $2+3+4=9$

 

IV. AI THẮNG CUỘC?

 

Khi Charles Bouton phân tích trò chơi Nim, ông phát hiện ra 2 điều nắm giữ chìa khóa dẫn đến chiến lược thắng.

 

Điều 1: Giả sử đến lượt bạn và tổng Nim các đồng xu trong các đống bằng 0. Cho dù bạn làm gì đi nữa, tổng Nim các đồng xu sau khi bạn thực hiện nước đi đều khác 0.

 

Điều 2: Giả sử đến lượt bạn và tổng Nim các đồng xu trong các đống khác 0. Lúc đó, luôn có một nước đi đảm bảo rằng sau khi bạn thực hiện nước đi, tổng Nim các đồng xu trong các đống bằng 0.

 

Không khó để chứng minh các điều trên luôn đúng, nhưng bạn có thể tự trải nghiệm bằng cách chơi với các đống xu.

 

Bây giờ giả sử bạn là người chơi A, bạn đi trước, cũng giả sử rằng tổng Nim số lượng các đồng xu trong các đống khác 0. Chiến lược của bạn như sau: Đi nước đi sao cho có thể làm giảm tổng Nim tiếp theo (tổng Nim sau khi bạn đi) về 0. Điều này nghĩa là cho dù B đi thế nào ở nước kế tiếp thì theo "điều 1" nước đi đó sẽ biến tổng Nim tiếp theo thành một số khác 0.

 

Chúng ta hãy xem tổng Nim trong bảng sau:

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Người chơi đi nước tiếp theo} & \textbf{Tổng Nim} & \textbf{Tổng Nim có thể giảm về 0?} &\textbf{Tổng Nim tiếp theo}\\ \hline A     & \text{Khác } 0 & \text{Có} & 0 \\  \hline B     & 0 & \text{Không} & \text{Khác } 0 \\  \hline A     & \text{Khác } 0 & \text{Có} & 0 \\  \hline B     & 0 & \text{Không} & \text{Khác } 0 \\ \hline A     & \text{Khác } 0 & \text{Có} & 0 \\  \hline ...     & ... & ... & ... \\     \hline \end{array}$$

 

Các giá trị 0 và khác 0 của tổng Nim theo bảng trên sẽ đảm bảo bạn là người chiến thắng! Nếu B thắng, B sẽ thực hiện nước đi không chừa lại đồng xu nào, nghĩa là B sẽ tạo ra nước đi mà kết quả tổng Nim bằng 0 mà như chúng ta đã thấy là không thể. Ngược lại, nước đi của bạn luôn làm tổng Nim giảm về 0 và tại một số thời điểm của trò chơi thì tổng Nim bằng 0 sẽ tương ứng với không còn đồng xu còn lại, khi đó bạn thắng.

Điều này chỉ ra rằng nếu tổng Nim các đồng xu trong các đống ở thời điểm bắt đầu khác 0, thì A có chiến lược thắng. Chiến lược này luôn tạo ra nước đi làm giảm tổng Nim tiếp theo về 0. (Bạn có thể kiểm tra điều này bằng cách xem đây là chiến lược được A chơi trong ví dụ ở đầu bài viết.)

 

Nếu tổng Nim các đồng xu trong các đống ở thời điểm bắt đầu của trò chơi bằng 0, thì B là người có chiến thuật thắng. Cho dù A có đi nước đầu như thế nào thì kết quả tổng Nim vẫn khác 0 khi đến lượt B và như đã đề cập ở trên, điều này có nghĩa B có chiến lược thắng.

 

V. PHÉP CỘNG NIM THỐNG TRỊ THẾ GIỚI

 

Phép cộng Nim rõ ràng rất có lợi khi chơi trò chơi Nim, nhưng phép cộng Nim chỉ có tác dụng trong trò chơi này, đúng chứ? Sai rồi! Thật ra trong mỗi ngày ta đều sử dụng cách cộng số kỳ lạ này.

 

Máy tính là thiết bị nhị phân. Tất cả thông tin lưu trữ (bao gồm các con số) được chuyển hóa thành các dãy 0 và 1. Nhưng máy tính không chỉ lưu trữ dữ liệu, chúng còn thực hiện được các lệnh logic, dựa trên câu trả lời có/không. Ví dụ, cho một tên tài khoản và mật khẩu, máy tính tự hỏi:"Đây có là tài khoản chính xác?" và "Đây có là mật khẩu chính xác?" và dựa trên câu trả lời để quyết định có để người dùng truy cập vào hay không. Lưu ý rằng các lệnh này dùng 2 lệnh nhập (tài khoản đúng? Mật khẩu đúng?) và xuất ra một lệnh (truy cập hoặc không truy cập),

Viết 0 cho giá trị "không" và 1 cho giá trị "có", những lệnh logic này cũng có thể chuyển hóa thành dãy nhị phân chứa các số 0 và 1. May mắn thay, hóa ra tất cả các lệnh logic bạn muốn thực hiện được tạo ra từ 6 loại cơ bản. Bạn đơn giản chỉ cần thiết lập đúng cách.

binary.jpg

Máy tính là thiết bị nhị phân

 

Một trong những lệnh cơ bản là XOR. Lệnh này cần 2 đầu vào (input), mỗi đầu vào có giá trị 0 hoặc 1, và chuyển thành một đầu ra (output), cũng có giá trị là 0 hoặc 1. Đây là bảng chân trị XOR

Capture.PNG

Nhìn kĩ hơn thì ta thấy rằng XOR giống hoàn toàn với tổng Nim của các số 0 và 1:

Capture.PNG

Do đó, rất nhiều lệnh mà máy tính của bạn thực hiện hằng ngày đều dựa trên tổng Nim. Không có máy tính, mọi thứ sẽ rất khác. 

 

Bài viết do thành viên Chuyên san EXP dịch.

 

Nguồn: https://plus.maths.o...t/play-win-nim 




#611102 Dùng thuật toán để tìm bạn gái

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 26-01-2016 - 13:54

Một nhà toán học ở Mỹ thâm nhập vào kho dữ liệu của trang web tìm kiếm bạn đời nổi tiếng rồi tự viết ra chương trình mai mối cho riêng mình và tìm được người yêu sau 90 ngày.

 

chris-6525-1390640207.jpg

Chris McKinlay và bạn gái tìm được bằng cách "đột nhập hệ thống" của trang web mai mối. Ảnh: ABC News

 

Chàng tiến sĩ chuyên ngành toán học Chris McKinlay, 35 tuổi, đăng ký dịch vụ mai mối qua trang OkCupid từ giữa năm 2012, nhưng được ghép đôi với những người không phù hợp. Trải qua 6 cuộc hẹn nhạt nhẽo, McKinlay quyết định phát triển một thuật toán của riêng mình để tìm người phụ nữ hoàn hảo đối với anh. 

 

OkCupid là trang web mai mối do hai chuyên gia toán học thành lập năm 2004. Cách thức hoạt động của trang này là mỗi người trả lời hơn 300 câu hỏi ngẫu nhiên trong hàng nghìn câu hỏi có sẵn. Tuy nhiên, anh phát hiện ra như vậy chỉ gặp được những người phù hợp trong số những người trả lời các câu hỏi giống anh, vì thế cơ hội ít đi rất nhiều.

 

Sau một loạt thuật toán phức tạp và được mã hóa, chàng trai đến từ Boston lập ra 12 robot để trả lời mọi câu hỏi trong kho dữ liệu, từ đó tăng cơ hội có các hồ sơ bạn gái phù hợp lên. Sau ba tuần, anh thu được 6 triệu câu trả lời từ hơn 20.000 phụ nữ phù hợp, khiến anh phải dành nhiều đêm bên máy tính để lập thêm những thuật toán để lựa chọn.

 

Anh rút ngắn lại còn 5.000 bạn gái sống ở Los Angeles hoặc San Francisco rồi tiếp tục chia các hồ sơ này ra thành nhiều nhóm rồi và rút xuống dần. Đến những vòng sau, McKinlay tự mình trả lời các câu hỏi chứ không tiếp tục dùng robot nữa và bước sang vòng gặp mặt trực tiếp.

Sau khi gặp 20 người đầu tiên, anh cảm thấy một nhóm các cô gái đều có điểm chung là nhiều hình xăm, một nhóm khác các cô lại nuôi nhiều chó. Anh quyết định không gặp nhóm thứ nhất nữa vì thấy không hợp với tính cách của các cô gái nhóm này và tập trung vào nhóm sau. Sau một tháng, anh trải qua 55 cuộc gặp mặt và ngày càng đến gần được mong muốn của mình.

 

Đến cuộc gặp thứ 88, McKinlay gặp vợ sắp cưới của mình bây giờ là Christine Tien Wang, 28 tuổi, làm việc trong lĩnh vực nghệ thuật, NY Daily News cho hay.

 

Anh cho biết khi kết thúc cuộc hẹn đầu tiên với Wang, anh đã cảm thấy vô cùng phù hợp và sẵn sàng thú nhận với cô về việc làm của mình suốt mấy tháng qua, về các robot, thâm nhập kho dữ liệu câu hỏi. Cô gái thì cũng thích thú với nó và không phản đối gì. "Tôi nghĩ rằng nó đầy bí ẩn và hấp dẫn. Tôi thích vậy", Wang nói.

 

Hai người yêu nhau một thời gian dài sau đó, kể cả khi Wang nhận được học bổng đi học tại Qatar một năm. Trong ngày kỷ niệm một năm yêu nhau, anh cầu hôn với cô qua Skype và cô gái chấp thuận. McKinley đang viết cuốn sách "Nắm vững thuật toán bí ẩn của OkCupid" để giúp những người khác tìm được bạn đời. Nhiều người cũng đùa rằng có thể anh sẽ viết ra thuật toán để xác định thời gian phù hợp nhất để sinh con.

 

Nguồn: http://vnexpress.net...ai-2945244.html




#610523 H1N1 và phương trình Logistic

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 23-01-2016 - 14:19

Vào mùa Đông năm 2009, khu vực Bắc Bán cầu phải hứng chịu sự bùng phát dịch cúm H1N1.

 

H1N1-virus.jpg

Virus H1N1

 

Theo Tổ chức Y tế Thế giới (WHO):

 

“Đến ngày 27 tháng 9 năm 2009, hơn 340 000 phòng thí nghiệm trên toàn cầu xác nhận dịch cúm H1N1 đã lây lan lớn trong năm 2009, khiến hơn 4 100 người chết.”

 

Thời điểm đó virus H1N1 vẫn trong thời kì sinh trưởng theo hàm mũ (cứ mỗi thời khắc qua đi, số lượng virus tăng lên rất nhiều), nhưng kích thước quần thể này không thể tăng liên tục theo hàm mũ mãi mãi được. Ví dụ, ta biết rằng loài thỏ sinh sôi rất nhanh, nhưng nếu lượng cỏ cạn kiệt sẽ khiến số lượng cá thể trong quần thể thỏ đạt mức giới hạn.

 

Tương tự với dịch bệnh sẽ luôn có mức giới hạn sinh trưởng. Nếu dịch bệnh giết quá nhiều người, virus không còn nơi nào để đi và sự tăng trưởng của chúng sẽ giảm dần theo thời gian và số lượng người nhiễm mới cuối cùng phải giảm xuống.

 

Ta có thể mô tả những tình huống như thế này bằng phương trình Logistic. Phương trình này mô tả những trường hợp khi kích thước tổng thể ban đầu gia tăng theo dạng hàm mũ, sau đó giảm dần đến một giá trị hằng số nào đó.

 

Một dạng đơn giản của phương trình Logistic như sau:

                                          $$P\left( t \right)=\frac{1}{1+{{e}^{-t}}}$$

với $P\left( t \right)$ là kích thước tổng thể tại thời điểm $t$ còn $e$ là hằng số $e=2.718~281~828\ldots $

 

Đồ thị của phương trình Logistic này kéo dài theo dạng hình chữ “S” như sau:

logistic-equation-simple-graph.png

Lưu ý rằng đoạn đầu tiên của đồ thị (đến $t=0$) biểu diễn sự sinh trưởng theo hàm mũ, rồi từ khúc này, tốc độ sinh trưởng giảm dần và cuối cùng giá trị của $P$ trở thành giá trị hằng số 1.

 

Ta có thể thu được phương trình Logistic bằng cách giải một vài phương trình vi phân nào đó (phương trình vi phân là một mảng trong vi tích phân).

 

Mô hình ở trên quá đơn giản để giúp ta thảo luận về H1N1 (ban đầu, ta không thể có ngay phân số quần thể). Một dạng phương trình Logistic hữu ích hơn là:

  $$P\left( t \right)=\frac{K{{P}_{0}}{{e}^{rt}}}{K+{{P}_{0}}\left( {{e}^{rt}}+1 \right)}$$

Các biến trong phương trình trên là:

- ${{P}_{0}}=$ kích thước quần thể tại thời điểm $t=0$

- $K=$ kích thước cuối cùng của quần thể sau một thời gian (dài) nào đó, còn được gọi là “sức chịu tải”, kích thước này là giới hạn sự sinh trưởng.

- $r=$ tốc độ sinh trưởng ban đầu.

 

Ví dụ cho sự bùng phát H1N1 như sau, giả sử có một thị trấn có 100 người, vào một ngày nào đó, 20 người tỉnh dậy thấy mình nhiễm H1N1. Cuối cùng, virus ảnh hưởng mọi người trong thị trấn.

 

Vậy ${{P}_{0}}=20$ người nhiễm bệnh, $K=1000$ và ta có $r=0.2$.

 

Thay các giá trị này vào phương trình logistic, sau đó đơn giản, ta được biểu thức sau là số người nhiễm H1N1 tại thời gian $t$ (ngày).

                    $$P\left( t \right)=\frac{20~000{{e}^{0.2t}}}{980+20{{e}^{0.2t}}}$$

Đây là đồ thị cho tình huống này:

 

logistic-equation.png

 

Ta thấy rằng cuối cùng sau 50 ngày thì tất cả mọi người trong thị trấn đều nhiễm bệnh.

 

Ví dụ thực tế

 

Mexico lần đầu tiên thông báo sự bùng phát dịch H1N1 vào tháng 3 năm 2009. Số lượng ca nhiễm bệnh tăng nhanh chóng, đến ngày 26 tháng 4 thì số ca nhiễm giảm nhanh chóng.

 

H1N1-mexico-raw.png

 

Nếu bạn lấy tổng tích lũy các trường hợp nhiễm bệnh mới (cộng thêm số ca mới vào tổng) và vẽ đồ thị biểu diễn 53 ngày bùng phát tệ nhất, ta được hình sau:

 

H1N1-mexico.png

 

Ban đầu, tốc độ sinh trưởng gần như tuyến tính cho đến ngày 30, sau đó trở đi tốc độ này giống với đường cong phương trình Logistic.

 

Phương trình Logistic còn dùng để phân tích các vấn đề trong Mạng Neuron, Thống kê, Dược học, Hóa học và Vật lý.

 

Nguồn: http://www.intmath.c...c-equation-3498

 

Người dịch: Võ Hoàng Trọng, thành viên Chuyên san EXP




#609933 Hệ số Gini trong phân phối tài sản

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 20-01-2016 - 03:25

Trong xã hội “hoàn hảo”, mọi người đều được phân phối tài sản (hoặc thu nhập) một cách công bằng. (đừng lo lắng, đây là bài báo về toán học, không phải về Chủ nghĩa Cộng sản!)

 

Hệ số Gini là một cách dùng để đo đạc xem làm thế nào để thu nhập (hoặc là tài sản) được phân chia đều trên khắp đất nước.

 

Hệ số Gini được tính như sau: Chúng ta xác định thu nhập của tất cả mọi người trên đất nước và biểu diễn thông tin đó dưới dạng lũy tích phần trăm của mỗi người đối với lũy tích phân phối thu nhập kiếm được. Điều này cho chúng ta đường cong Lorenz, thường có dạng như sau:

Gini_coefficient2.gif

Nói đơn giản, đồ thị trên chỉ ra phần tỉ lệ thu nhập đến tay những người nghèo nhất, người có thu nhập trung bình và người giàu có nhất.

 

Luôn luôn có người giàu, người nghèo, nhưng chúng ta quan tâm đến cách để phân phối tài sản một cách công bằng và hầu hết Chính phủ đều nỗ lực để giữ hệ số này thấp nhất có thể.

 

Hệ số Gini dao động giữa 0 và 1 (hoặc có thể mở rộng từ 0 đến 100) và xác định bởi tỉ lệ các diện tích:

$$\text{Hệ số Gini}=\frac{A}{A+B}$$

Nếu $A=0$, có nghĩa là đường cong Lorenz thực sự là đường cân bằng. Trong trường hợp này, hệ số Gini là 0 và đây chính là sự phân chia thu nhập  “hoàn hảo” (mọi người đều kiếm được cùng một lượng giống nhau).

 

Nếu diện tích $A$ rất lớn (làm cho $B$ rất nhỏ) thì hệ số Gini sẽ lớn (hầu như là 1), có nghĩa đây là sự phân phối thu nhập không công bằng. Đất nước với hệ số Gini lớn thường trở nên không ổn đinh vì phần lớn người nghèo ganh tị với phần nhỏ những người giàu có.

 

I. ĐIỀU NÀY CÓ NGHĨA GÌ?

 

Hãy cố gắng để hiểu đồ thị trên

 

Ví dụ, cho rằng có 10 người sống trong một làng và thu nhập của làng là 100 Dollar mỗi ngày. Nếu mỗi người được chia đều phần thu nhập trên thì mỗi người có 10 Dollar mỗi ngày.

 

Vì vậy sự phân chia thu nhập như sau. (“Lũy tích” chỉ có nghĩa là thêm vào số bạn có sau mỗi bước).

gini1.JPG

Cho nên đối với xã hội với sự phân phối thu nhập hoàn hảo, chúng ta có thể vẽ đồ thị lũy tích của dân số (trên trục tung) đối với lũy tích phần trăm thu nhập (trên trục hoành) như sau:

lorenz-perfect-equal.gif

Trong trường hợp trên, $A=0$ nên hệ số Gini là 0

 

Bây giờ, con người vẫn là con người mà thôi, một vài người trong làng quyết định họ xứng đáng được trả nhiều hơn vì họ đã làm việc vất vả, hoặc là vì họ lớn tuổi, hoặc vì họ có nhiều con cái hơn, hay là lí do khác nào đó. Cho nên 3 người trong số họ (người $H,~I$ và $J$) quyết định sẽ giữ 15% thu nhập của bản thân và phân chia đều phần còn lại cho những người khác. Tuy nhiên, họ thấy như vậy cũng không công bằng, cho nên họ lại quyết định rằng 3 người lười biếng nhất trong làng (người $A,~B$ và $C$) chỉ nhận được 5% thu nhập. Bây giờ ta có bảng như sau:

gini2.JPG

Vẽ đồ thị cho bảng trên và xem nó trông như thế nào.

 

Tóm lại, phần dưới 30% dân số kiếm được 15% thu nhập, trong khi phần trên 30% kiếm được 45% thu nhập.

 

Chúng ta đã tạo bóng cho 2 miền này trên đồ thị, miền $A$ (có bóng màu đỏ thắm) và vùng B (có bóng màu xanh).

 

Đặt lại hệ số Gini là tỉ số các diện tích :

                                                             $$\frac{A}{A+B}$$

Diện tích $A=0.095~$(tính toán từ khu vực $B$ có một tam giác và 2 hình thang trừ đi 0.50)

 

Diện tích $\left( A~+~B \right)~=~0.5$ (một nửa hình chữ nhật)

 

Cho nên hệ số Gini trong trường hợp này là:

                                                      $$\frac{0.095}{0.5}=0.19~$$

Ta làm bước tiếp theo. Ba người giàu nhất ($H,~I$ và $J$) đánh nhau và $J$ là người chiến thắng. Anh ấy yêu cầu giữ 50%  thu nhập và để phần còn lại cho $H$ và $I$ chia nhau.

 

Sau đó $H$ và $I$ đánh nhau và $I~$chiến thắng. Anh ấy muốn 33%  và đưa 10% cho $H$ và họ quyết định sẽ đưa phần còn thừa lại (1% hoặc 1 Dollar mỗi ngày) cho những người còn lại trong làng.

(Hàng triệu người sống với ít hơn 1 Dollar mỗi ngày)

gini3.JPG

Bây giờ ta có sự phân chia thu nhập rất không công bằng. Phần dưới 70% dân số kiếm được chỉ 7% thu nhập, trong khi đó phần trên 30% kiếm được 93% thu nhập.

 

Đây là đồ thị

lorenz-uneven.gif

Hệ số Gini của trường hợp này rất cao:

                                                       $$\frac{0.355}{0.5}=0.71$$

Cuối cùng, trường hợp khắc nghiệt nhất, khi người $J$ trở thành nhà độc tài và quyết định tất cả thu nhập sẽ vào tay anh ta và những người khác không nhận được gì cả.

 

Lũy tích của thu nhập là 0% từ người $A$ tới $I$, sau đó tăng vọt lên tới 100% cho người $J$. Đây là đồ thị.

lorenz-none.gif

Lúc này khu vực A rất lớn và hệ số Gini là:

                                                         $$\frac{0.45}{0.5}=0.9$$

Tại sao hệ số này lại không bằng 1?

 

Trường hợp cao nhất có thể có của hệ số Gini là 1 và kéo theo 1 người lấy tất cả thu nhập.

 

Trong câu chuyện này, ta chỉ có 10 người cho ví dụ về dân số. Nếu có 100 triệu người trong khu vực và một người có hết tất cả thu nhập thì hệ số Gini sẽ là 0.999999, rất gần 1.

 

II. SỬ DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÌM HỆ SỐ GINI

 

Câu chuyện ở trên đã được đơn giản hóa và với dữ liệu lớn thì đường cong Lorenz sẽ xuất hiện như đường cong chứ không phải là chuỗi các đoạn thẳng.

lorenz-more-data-points.gif

Lúc này ta mô hình bằng đường cong Lorenz:

$$\text{Lũy tích phân phối thu nhập }=(\text{lũy tích phân phối cho người})^{5}$$

Nếu ta sử dụng $I$ (cho thu nhập ) và $P$ (cho người), thì công thức trên sẽ được viết là $I={{P}^{5}}$

 

Chúng ta tìm vùng A như sau:

$$\text{Diện tích }A=0.5- \text{Diện tích }B=0.5 - \int_{0}^{1}P^{5}\, dP$$

Dẫn đến:

                          $$0.5-\left[ \frac{{{P}^{6}}}{6} \right]=0.5-0.166667=0.33333$$

Cho nên hệ số Gini trong trường hợp này rất cao, là:

                                                     $$\frac{0.3333}{0.5}=0.667$$

Hệ số Gini ở nhiều nước khác nhau:

gini4.JPG

Hệ số của Trung Quốc rất cao và điều này đang tạo ra nhiều sự quan tâm. Các tỉnh phía đông đang phát triển tốt và đóng góp phần lớn tăng trưởng thu nhập, còn vùng nông thôn phía tây thì vẫn còn rất nghèo.

 

Bạn có thể xem danh sách đầy đủ ở đây:

https://en.wikipedia...income_equality

 

III. TRƯỜNG HỢP CỦA SINGAPORE

 

Đây là hệ số Gini cho Singapore trong thập kỉ vừa qua. Sự tăng trưởng nhanh chóng từ 2002 và đỉnh điểm là vào 2007 do một vài yếu tố, bao gồm tăng trưởng dân số nhanh chóng (do di cư) của những người có thu nhập cao, và tiếp đó là sự tăng trưởng mạnh mẽ trong toàn bộ nền kinh tế.

 

Sự sụt giảm vào năm 2008 và năm 209 là do ảnh hưởng của Cuộc khủng hoảng Kinh tế Toàn cầu, nhiều công việc lương cao hoặc biến mất, hoặc phải giảm tiền thưởng.

gini-coefficient-singapore.gif

 

Nguồn: http://www.intmath.c...stribution-4187

 

Người dịch: Đỗ Thị Hải Yến, thành viên Chuyên san EXP




#609826 Muốn ít kẹt xe? Xây ít đường thôi

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 19-01-2016 - 17:49

Nếu bạn muốn giảm thiểu tình trạng kẹt xe,việc xem xét loại bỏ một số tuyến đường là cần thiết. Không tin ư? Sau đây là một vài ví dụ:

 

Đầu tiên là việc đóng cửa tuyến đường số 42, tuyến đường nhộn nhịp nối liền hai phía của thành phố New York trong suốt ngày Trái đất vào tháng Tư năm 1990 đã được cảnh báo sẽ gây nên một cuộc khủng hoảng, Tuy nhiên, tờ The New York Times đưa tin vào ngày 25 – 12 – 1990  rằng lưu thông của xe cộ thực ra đã cải thiện.

 

Một ví dụ khác, vào năm 2003, dự án phục hồi dòng suối Cheonggyencheon bắt đầu tại Seoul đã loại bỏ 6 làn đường cao tốc. Dự án hoàn thành vào năm 2005, bên cạnh mang lại lợi ích đáng kể cho môi trường, các phương tiện giao thông đã di chuyển nhanh hơn, ta có thể quan sát điều này xung quanh thành phố.

 

seoulafter.jpg

Suối Cheonggyencheon

 

Tương tự, các nhà quy hoạch đã yêu cầu đóng một số phần đường Chính tại Boston và một số phần của đường nối Borough và các ga ngầm Farringdon ở London.

 

Nếu việc đóng các tuyến đường có khả năng giúp xe cộ di chuyển thuận lợi thì việc mở rộng các tuyến đường có những ảnh hưởng tiêu cực. Ví dụ, vào những năm cuối thập niên 60 của thế kỉ 19, thành phố Stuttgart đã quyết định mở thêm tuyến đường mới nhằm làm giảm áp lực giao thông ở trung tâm thành phố. Tuy nhiên, giao thông lại ngày một tắc nghẽn hơn và chính quyền phải đóng cửa tuyến đường này, làm cho giao thông trở nên ổn định hơn.

 

Những câu chuyện như thế này thì có rất nhiều và bạn chắc hẳn sẽ nghi ngờ, ẩn chứa đằng sau những vấn đề này chính là những vấn đề liên quan đến toán học. Thật vậy, vào năm 1968, nhà Toán học Dietrich Braess, khi đó đang làm việc tại viện nghiên cứu “Số học và Toán học ứng dụng” ở Münster, Đức, đã chứng minh rằng: “Việc mở rộng mạng lưới các tuyến đường bằng cách thêm một tuyến đường mới có thể phân bố lại lưu thông của các phương tiện giao thông,  tức khiến thời gian đi lại sẽ tăng lên.” Ở bài toán này, Braess đã giả sử rằng người lái xe đều lái một cách ích kỷ, mỗi người sẽ tự chọn một tuyến đường mà họ thấy có lợi cho riêng bản thân họ, không cần phải chú ý đến lợi ích của người khác. Giả định này phản ánh điều kiện khắc nghiệt của giao thông vào giờ cao điểm khá tốt.

 

Hiện tượng do Braess tìm được bây giờ ta sẽ gọi là “nghịch lý Braess”, thực ra không hẳn là nghịch lý, hiện tượng này chỉ là những hành động không ngờ đến, cho thấy rằng chúng ta không được trang bị đủ tốt để dự đoán được kết quả của tập các tương tác.

 

Việc đóng cửa tuyến đường số 42 và dự án phục hồi dòng suối Cheonggyencheon chỉ là những ví dụ cho nghịch lý Braess khi những nơi loại bỏ một hay nhiều tuyến đường đã cải thiện thời gian đi lại trên cùng một mạng lưới đường bộ.

 

pillars.jpg

Những cây cột trụ còn lại sau khi phá bỏ đường cao tốc Cheonggyencheon

 

Bạn vẫn còn một chút ít nghi ngờ về nghịch lý Braess? Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ đi phân tích một ví dụ rất đơn giản.

 

I. TRƯỜNG HỢP VỚI MỘT CON ĐƯỜNG SIÊU NHANH

 

Mạng lưới đường đi từ $A$ đến $B$ như hình bên dưới:

example1.jpg

Mạng lưới đường đi

 

Vào giờ cao điểm, số lượng xe đi đến $A$ có thể lên đến 1500 xe trong một giờ, và các lái xe tự chọn cho mình một trong hai tuyến đường, tuyến 1 đi qua cây câu $a$, tuyến 2 đi qua cây cầu $b$.

 

Ta ký hiệu $L$ và $R$ để biểu thị cho số xe đi đến $B$ trong một giờ lần lượt qua tuyến đường 1 và tuyến đường 2.

 

Các cây cầu $a$ và $b$ là nơi gây tắt nghẽn giao thông. Chúng ta sẽ giả sử rằng thời gian qua cả hai cây cầu tỉ lệ thuận với số lượng xe đi qua trong mỗi giờ. Cụ thể, chúng ta giả sử rằng thời gian di chuyển qua cây cầu $a$ là $\frac{L}{100}$ phút và cây cầu $b$ là $\frac{R}{100}$ phút. Phần còn lại của hai tuyến đường là một trục đường giao thông khá lớn với thời gian di chuyển là 20 phút. Phải nói rằng, mặc dù giả định này có ý nghĩa, việc tính toán cho một mạng lưới trong thực tế là một ví dụ khó khi mô hình toán học.

 

Chúng ta muốn biết phân bố giao thông dự kiến, tức số lượng xe trên một giờ hay trên mỗi tuyến đường. Để làm được như thế, chúng ta tưởng tượng rằng mỗi tài xế đều lái xe đi qua mạng lưới nhiều lần, cụ thể là trường hợp cho tài xế lái xe mỗi ngày vào giờ cao điểm, điều này đã giúp ta phát triển một chiến lược đăc biệt giúp giảm thiểu thời gian đi lại. Theo như giả sử này, thời gian đi lại phải giống nhau với tất cả các tài xế lái xe, nếu không sẽ có một vài tác động để các tài xế lái xe thay đổi chiến lược di chuyển của mình. Ta gọi đây là trạng thái ổn định, hay cân bằng Nash, được đặt theo tên của nhà toán học đã giành giải Nobel là John F.Nash. Một trong những đóng góp của Nash có tên gọi là “trò chơi không hợp tác”, trong đó giao thông vào giờ cao điểm là một ví dụ cho trò chơi này.

 

nash.jpg

John Nash, tháng 3, 2008

 

Lưu ý rằng cân bằng Nash khác với tính cân bằng của cốc trà trên mặt bàn. Có thể nói rằng trong trường hợp này, cân bằng Nash là một cân bằng động nhằm duy trì lượng xe cần thiết đi vào $A$ mỗi giờ. Trạng thái cân bằng là tất cả mọi người đều có thời gian đi lại như nhau, không có ai hơn ai cả mặc dù chúng ta đã giả sử rằng tất cả các tài xế lái xe đều hành động ích kỉ, cố gắng giảm thời gian đi lại của họ và không quan tâm đến lợi ích của người khác. Nói cách khác, cho dù họ muốn hay không thì mỗi tài xế vẫn chịu tác động ảnh hưởng bởi những quyết định của các tài xế khác.

 

Bây giờ, ta xét thời gian đi lại (tính theo phút) trên mỗi tuyến đường:

 

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Đường 1:} & \frac{L}{100}+20 \\ \hline \text{Đường 2:} & \frac{R}{100}+20 \\ \hline \end{array}$$

 

Ở trạng thái cân bằng, chúng ta có thể viết:

                                            $$\frac{L}{100}+20=\frac{R}{100}+20$$

Hơn nữa, số lượng dòng xe lưu thông phải là tổng các xe $L$ và $R$, vậy:

                                                                    $$L+R=1500$$

Giải đồng thời hai phương trình trên, ta tìm được:

                                                                      $$L=R=750$$

Như vậy, phân bố giao thông đồng đều ở cả hai tuyến đường với thời gian đi lại là 27,5 phút.

Bây giờ chúng ta giả định rằng hệ thống đường bộ mở rộng thêm và phát triển một tuyến đường $c$ mới, đi siêu nhanh chỉ với 7 phút.

 

example2.jpg

Mở rộng mạng lưới đường đi

 

Liệu tuyến đường mới thêm vào hệ thống này có giảm thời gian di chuyển không? Cùng xem nhé!

 

Các tài xế lái xe bây giờ có thể chọn một trong 3 con đường, gồm 2 tuyến đường đã nêu ở trên và một tuyến đường thứ 3 là tuyến đường đi qua cây cầu $a$, đi theo đường $c$ và cuối cùng là đi qua cây cầu $b$. Như ở trên, ta gọi $L$ là lưu lượng xe ô tô đến $B$ qua tuyến đường 1, $R$ là lưu lượng xe rời $A$ theo tuyến đường 2. Ngoài ra, ta ký hiệu $C$ là lưu lượng xe đi trên tuyến đường $c$. Do đó, số lượng xe mỗi giờ đi qua cây cầu $a$ là $L+C$, số lượng xe mỗi giờ đi qua cây cầu $b$ là $R+C$. Do đó, thời gian đi lại trên 3 tuyến đường sẽ là:

 

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Đường 1:} & \frac{L}{100}+20 \\ \hline \text{Đường 2:} & \frac{R}{100}+20 \\ \hline \text{Đường 3:} & \frac{L+C}{100}+7+\frac{R+C}{100} \\ \hline \end{array}$$

 

Một lần nữa, chúng ta muốn tìm sự phân bố giao thông trên 3 tuyến đường.

 

Như đã đề cập ở trên, giao thông sẽ đạt đến một trạng thái ổn định hay cân bằng Nash khi thời gian đi lại là như nhau đối với tất cả các tài xế lái xe. Do vậy, ở trạng tháng cân bằng, chúng ta có:

  $$\frac{L+C}{100}+20=\frac{R+C}{100}+20=\frac{L+C}{100}+7+\frac{R+C}{100}$$

Từ đó cho ta hai phương trình sau:

                                      $$\frac{L+C}{100}+20=\frac{R+C}{100}+20$$

        $$\frac{R+C}{100}+20~=\frac{\left( L+C \right)}{100}+7+\frac{R+C}{100}$$

Ngoài ra, ta còn có:

                                                                  $$R+L+C=1500$$

Từ 3 phương trình trên, ta xác định được $L$, $R,$ $C$ và thời gian đi lại chung cho tất cả các lái xe:

                                                                      $$L=R=200$$

                                                                     $$C~=1100$$

$$\text{Thời gian di chuyển }=33\text{ phút}$$

Điều này cho thấy thời gian di chuyển là 33 phút, tăng 20% so với thời gian trước khi mở tuyến đường $c$.

 

Có gì không ổn ở đây! Con đường siêu nhanh này đã dụ được nhiều tài xế lái xe, gây ra tình trạng tắc nghẽn và ảnh hưởng xấu đến toàn bộ hệ thống đường bộ ở đây. Không có một tài xế nào có động cơ để chuyển sang một tuyến đường khác vì tất cả họ đều có cùng thời gian đi lại, do đó tất cả họ sẽ bị kẹt lại. Nói cách khác, hành vi ích kỷ của họ đã làm cho mạng lưới đường bộ mới mất đi hiệu quả, tăng thời gian đi lại lên đến 20% trước khi mở tuyến đường mới. Các nhà kinh tế học gọi hiện tượng này là “Giá phải trả cho tình trạng hỗn loạn”. Tuy nhiên, nếu các tài xế lái xe chấp nhận không đi con đường $c$, thì thời gian di chuyển sẽ giảm. Lựa chọn này giống như áp dụng chiến lược hợp tác xã, trong đó các lái xe thống nhất với nhau về việc chọn tuyến đường sẽ đi. Thực tế, có một số mạng lưới đường đi có bảng chỉ dẫn giao thông, khi đó sẽ không xảy ra nghịch lý Braess, nghịch lý này chỉ đúng khi các lái xe tự chọn tuyến đường tốt nhất cho mình.

 

II. NGHỊCH LÝ BRAESS LÀ MỘT NGHỊCH LÝ PHỨC TẠP          

 

Ta dễ dàng nhận thấy rằng nếu lưu lượng xe đủ nhỏ thì nghịch lý Braess sẽ không xảy ra. Nhưng trên thực tế, ta quan sát được rằng các tài xế lái xe luôn hành động ích kỷ, họ đã thay đổi tuyến đường ban đầu của họ để tìm đến tuyến đường siêu nhanh nhưng vẫn không làm cho thời gian di chuyển của họ ngắn lại.

 

Mặt khác, người ta nghĩ rằng sự tăng lên nhanh chóng của lưu lượng xe sẽ làm cho mọi thứ trở nên tồi tệ. Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng đúng. Trong ví dụ chúng ta xét ở trên, các nhà khoa học đã đoán rằng khi nhu cầu lưu thông tăng cao sẽ xuất hiện hiệu ứng “trí tuệ đám đông” khi con đường mới sẽ không được tin dùng. Thực vậy, những quyết định cá nhân trong một nhóm đủ nhiều các tài xế sẽ tối ưu hóa thời gian đi lại cho tất cả mọi người. Giả thuyết này đã được chứng minh bởi nhà toán học Anna Nagurney, giáo sư của trường Isenberg thuộc Đại học Massachusetts.

 

III. TRƯỚC KHI KẾT THÚC…

 

Nghịch lý Braess xuất hiện trong nhiều trường hợp. Ví dụ, bài viết If we all go for the blonde (tạm dịch: Nếu tất chúng ta đều gặp cô gái tóc hoe, xem tại https://plus.maths.o...e-all-go-blonde) có nhân vật là cô gái tóc hoe được cho là có sức quyến rũ lớn khiến nhiều chàng trai yêu thích (giống như nhiều tài xế thích con đường siêu nhanh), từ đó xuất hiện hiệu ứng tương tự, một trường đông nghịch. Nhưng nếu ta tiếp tục sử dụng mạng lưới này, ta có thể quan sát nghịch lý với dữ liệu di chuyển trong mạng lưới máy tính và công suất sử dụng trong hệ thống đường dây. Hơn thế nữa, vào năm 2012, một nhóm nghiên cứu quốc tế đã chứng minh về mặt lý thuyết cũng như trên thực tế, nghịch lý Braess có thể được sử dụng trong các hệ thống điện tử.

 

Ví dụ về hệ thống đường bộ mở rộng cho thấy rằng ở trạng thái cân bằng, phân bố xe trong hệ thống mạng lưới không cần phải tối ưu. Điều này đưa chúng ta đến một khái niệm thú vị, được phát triển bởi nhà kinh tế học Vilfredo Pareto (1848-1923). Pareto đã tuyên bố rằng, phân bố các nguồn lực được gọi là tối ưu nếu như không một cá nhân nào có cuộc sống tốt lên mà không khiến ít nhất một người khác có cuộc sống xấu đi. Một phân bố như thế được gọi là tối ưu Pareto.

 

fotolia_traffic.jpg

Đi đâu đây?

 

Trong ví dụ, các tuyến đường trong hệ thống là các nguồn tài nguyên. Việc bỏ qua những con đường mới này làm cho mọi người tốt hơn, như làm giảm thời gian di chuyển. Do đó, sự cân bằng trong mạng lưới mở rộng là một ví dụ về cân bằng Nash mà không phải là tối ưu Pareto.

 

Cuối cùng, ta mô tả phân bố tài nguyên như tối ưu Pareto không cần có sự công bằng theo ý nghĩa xã hội. Ví dụ ,việc sử dụng tài nguyên mà tôi chiếm lĩnh trong khi người khác lại không có gì là một tối ưu Pareto bởi vì cách duy nhất để cải thiện đời sống của họ là tôi phải mất đi một vài thứ nào đó. Những nỗ lực do các nhà kinh tế học, trong đó có Ravi Kanbur của đại học Cornell, thực hiện nhằm tái cấu trúc khái niệm tối ưu Pareto, thêm một cách tính định lượng để đo sự cân bằng.

 

Nguồn: https://plus.maths.o...ild-fewer-roads

 

Người dịch: Phan Thành Nhân, thành viên Chuyên san EXP