hoangtrong2305

sr bài trên mình giải nhầm, mình trình bày lại
$ 4sin^2x + 1 = 8sin^2xcosx + 4cos^22x$

<=>$4(1-cos^{2}x)+1=8(1-cos^{2}x)cosx+4(2cos^{2}x-1)^{2}$

<=>$5-4cos^{2}x=8cosx-8cos^{3}x+16cos^{4}x-16cos^{2}x+4$

<=>$16cos^{4}x-8cos^{3}x-12cos^{2}x+8cosx-1=0$

tới đây bạn giải pt bậc 4 ra kết quả

3. Tìm nghiệm: Nguyên dương $4x+3y=17$

$4x+3y=17$

<=>$y=\dfrac{17-4x}{3}$

Nhận xét: Do x,y nguyên dương nên $17-4x\vdots 3$ và $17-4x\geq 3$

=> x=2

=>nghiệm phương trình trên là (2,3)

3. Tìm nghiệm: Nguyên âm: $3x+7y=19$

$3x+7y=19$

Nhận xét: Do x,y nguyên âm nên $3x<0$ và $3y<0$
=> $3x+7y<0$
Mà $19>0$ => phương trình vô nghiệm

Bạn xem lại bài này nhé, mình nghĩ bạn ghi đề sai

Cho phương trình sau: $x^2 - 10mx +9m$ , định m để phương trình có 2 nghiệm x1,x2 sao cho $x1=9x2$

Ý bạn là $x^2 - 10mx +9m=0$

$\Delta =(10m)^{2}-4.9m=100m^{2}-36m$

Để pt có 2 nghiệm phân biệt <=> $100m^{2}-36m> 0$

<=> $\begin{bmatrix} m<0\\ m>\dfrac{9}{25} \end{bmatrix}$ (1)

Theo giả thiết, có $x1=9x2$

<=>$10m+\sqrt{100m^{2}-36m}=9.(10m-\sqrt{100m^{2}-36m})$

<=>$\sqrt{100m^{2}-36m}=8m$

Bình phương 2 vế, rút gọn, ta được:

$36m^{2}-36m=0$

<=> $\begin{bmatrix}
m=0\\
m=1
\end{bmatrix}$

So với 1, ta nhận $m=1$

với x,y,z là các số thực dương tìm giá trị nhỏ nhất của:

3X / (Y+Z) + 4Y / (Z+X) + 5Z / (X+Y)

$\dfrac{3x}{y+z}+\dfrac{4y}{z+x}+\dfrac{5z}{x+y}$

<=> $\dfrac{3x}{y+z}+\dfrac{y+z}{3x}+\dfrac{4y}{z+x}+\dfrac{z+x}{4y}+\dfrac{5z}{x+y}+\dfrac{x+y}{5z}-(\dfrac{y+z}{3x}+\dfrac{z+x}{4y}+\dfrac{x+y}{5z})$

Ta tìm GTNN của $\dfrac{y+z}{3x}+\dfrac{z+x}{4y}+\dfrac{x+y}{5z}$

<=>$\dfrac{y}{3x}+\dfrac{x}{4y}+\dfrac{z}{3x}+\dfrac{x}{5z}+\dfrac{z}{4y}+\dfrac{y}{5z}$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số thực dương:

$\dfrac{y}{3x}+\dfrac{x}{4y}\geq 2\sqrt{\dfrac{y}{3x}.\dfrac{x}{4y}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{z}{3x}+\dfrac{x}{5z}\geq 2\sqrt{\dfrac{z}{3x}.\dfrac{x}{5z}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{15}$

$\dfrac{z}{4y}+\dfrac{y}{5z}\geq 2\sqrt{\dfrac{z}{4y}.\dfrac{y}{5z}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

Cộng lại, ta có: $\dfrac{y+z}{3x}+\dfrac{z+x}{4y}+\dfrac{x+y}{5z}\geq \dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2\sqrt{15}}{15}+\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ (1)

Sau đó, ta tìm GTNN của $\dfrac{3x}{y+z}+\dfrac{y+z}{3x}+\dfrac{4y}{z+x}+\dfrac{z+x}{4y}+\dfrac{5z}{x+y}+\dfrac{x+y}{5z}$

$\dfrac{3x}{y+z}+\dfrac{y+z}{3x}\geq 2\sqrt{\dfrac{3x}{y+z}.\dfrac{y+z}{3x}}=2$

Tương tự, ta có:

$\dfrac{4y}{z+x}+\dfrac{z+x}{4y}\geq 2$

$\dfrac{5z}{x+y}+\dfrac{x+y}{5z}\geq 2$

Cộng lại, ta có: $\dfrac{3x}{y+z}+\dfrac{y+z}{3x}+\dfrac{4y}{z+x}+\dfrac{z+x}{4y}+\dfrac{5z}{x+y}+\dfrac{x+y}{5z}\geq 6$ (2)

Từ (1) và (2) => $\dfrac{3x}{y+z}+\dfrac{4y}{z+x}+\dfrac{5z}{x+y}\geq 6+\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2\sqrt{15}}{15}+\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

=> GTNN của $\dfrac{3x}{y+z}+\dfrac{4y}{z+x}+\dfrac{5z}{x+y}=6+\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2\sqrt{15}}{15}+\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

b.$\left\{\begin{matrix} \dfrac{x+y}{xyz}=\dfrac{1}{2} & & & \\ \dfrac{y+z}{xyz}=\dfrac{5}{6} & & & \\\dfrac{x+z}{xyz}=\dfrac{2}{3} & & &
\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} \dfrac{x+y}{xyz}=\dfrac{1}{2} & & & \\ \dfrac{y+z}{xyz}=\dfrac{5}{6} & & & \\\dfrac{x+z}{xyz}=\dfrac{2}{3} & & &
\end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} \dfrac{x+y}{xyz}=\dfrac{3}{6} & & & \\ \dfrac{y+z}{xyz}=\dfrac{5}{6} & & & \\\dfrac{x+z}{xyz}=\dfrac{4}{6} & & &
\end{matrix}\right.$

<=> $xyz=6$ (1)

và ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} x+y=3(2)\\ z+y=5(3)\\ x+z=4(4) \end{matrix}\right.$

lấy (2) - (3) và giải hệ phương trình 2 ẩn x và z, kết hợp với (1), ta có nghiệm phương trình là (1,2,3)

Tương tự: lấy (3) -(4) hay (2)-(4) và giải hpt 2 ẩn tương ứng, ta sẽ có kết quả

Câu II. (2đ)
1) Giải phương trình: $ 48 - \dfrac{1}{cos^{4}x} - \dfrac{2}{sin^{2}x}.(1 + cot2x.cotx) = 0$

$ 48 - \dfrac{1}{cos^{4}x} - \dfrac{2}{sin^{2}x}.(1 + cot2x.cotx) = 0$

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} cosx\neq 0\\ sinx\neq 0\\ sin2x\neq 0 \end{matrix}\right.$

<=> $x\neq \dfrac{k\pi }{2},k\in\mathbb{Z}$

Phương trình <=> $48 - \dfrac{1}{cos^{4}x} - \dfrac{2}{sin^{2}x}.(1 + \dfrac{sin2xsinx+cos2xcosx}{sin2xsinx}) = 0$

<=> $48 - \dfrac{1}{cos^{4}x} - \dfrac{2cosx}{2cosxsin^{4}x} = 0$

<=> $sin^{4}x+cos^{4}x-48sin^{4}xcos^{4}x=0$

<=> $1-2sin^{2}xcos^{2}x-48sin^{4}xcos^{4}x=0$

<=> $-6sin^{4}2x-sin^{2}2x + 2=0$

<=>$\begin{bmatrix}
sin^{2}2x=\dfrac{1}{2}(n)\\
sin^{2}2x=-\dfrac{2}{3}(l)

\end{bmatrix}$

<=>$\begin{bmatrix}
sin2x=sin\dfrac{\pi }{4}\\
sin2x=sin(-\dfrac{\pi }{4})

\end{bmatrix}$

tới đây bài coi như dc giải quyết

gpt:
$sin2x - cos2x = 1 + sinx - 4cosx$

$sin2x - cos2x = 1 + sinx - 4cosx$

<=> $2sinxcosx - sinx-2cos^{2}x+4cosx=0$

<=>$sinx(2cosx-1)-cosx(2cosx-4)=0$

đặt $t=2cosx-1$, phương trình thành:

<=>$t.sinx-(t-3).cosx=0$

Điều kiện: $t^{2}+(t-3)^{2}\geq 0$

<=> $2t^{2}-6t+9> 0$ (đúng)

vậy ta có: $-3\leq 2cosx-1\leq 1$

<=>$-3\leq t\leq 1$

<=> $\pi +k2\pi \leq x\leq k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$t.sinx-(t-3).cosx=0$

Giả sử $cosx\neq 0$, phương trình thành:

$t.tanx-(t-3)=0$

<=> $x=arctan(\dfrac{t-3}{t})+k\pi ,(k\in\mathbb{Z})$

hoangtrong2305 - đội DELTA giải bài 1 của đội ALPHA

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$ (1)

Bình phương hai vế, ta được:

${x+2\sqrt{3}}=y + z + 2\sqrt{yz}$

<=>$x-y-z+2\sqrt{3}=2\sqrt{yz}$

Nhận xét: do 3 số x, y, z đều nguyên dương nên ta có hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{yz}=2\sqrt{3}\\ y+z=x \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} y.z=3\\ y+z=x \end{matrix}\right.$

=> nghiệm của (1) là:

$\left\{\begin{matrix} y=3\\ z=1\\ x=4 \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} y=1\\ z=3\\ x=4 \end{matrix}\right.$

Thử lại, ta thấy thoả mãn phương trình (1)

PSW : 4/6 điểm

Câu 1: (3 điểm)
Giải phương trình: $${x^2} + 2x\sqrt {x - \dfrac{1}{x}} = 3x + 1$$

$${x^2} + 2x\sqrt {x - \dfrac{1}{x}} = 3x + 1$$

điều kiện: $-1\leq x<0$ hoặc $x\geq 1$

phương trình <=> $(x^{2}-1)+2x\sqrt{\dfrac{x^{2}-1}{x}}=3x$

<=>$(x^{2}-1)+\sqrt{4x(x^{2}-1)}=3x$

đặt $a=(x^{2}-1)$ và $b=x$, phương trình thành:

$a+2\sqrt{ab}=3b$

<=> $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=4b$

<=>$\sqrt{a}=\sqrt{b}$

<=>$a=b$

<=>$x^{2}-x-1=0$

<=>$\left\{\begin{matrix}
x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}(n)\\
x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}(n)\\
\end{matrix}\right.$

1/Hệ thức lượng:
Cho $\vartriangle ABC$ có $\angle A =90^o$ .Chứng minh:a)
$tan\dfrac{\angle ABC}{2}\geq \dfrac{AC}{AB+BC}$
b) $sin\dfrac{\angle A}{2}\leq \dfrac{a}{b+c}$
Quy ước: Góc đối của B là b và tương tự.
Cho em kinh nghiệm về loại bài này.Tuy bài b làm ra nhưng nhờ trợ giúp rất nhiều mới hiểu,cho em kinh nghiệm về loại này!
2/Cho (O) nội tiếp $\vartriangle ABC$.Các tiếp điểm của AB;AC;BC lần lượt là M;N;P và BN cắt (O) tại I.MI kéo dài cắt BP tại K.Chứn minh: KB=KP

Trả lời câu 1:
a)
ta có: $tan\dfrac{\angle ABC}{2}$ = $tan45^{o}=1$ (1)

theo bất đẳng thức trong tam giác:

$AB+BC>AC$
<=>$\dfrac{AC}{AB+BC}<1$

kết hợp (1) ta có $đpcm$

b)
Kẻ đường cao $AH$

lúc này $sin\dfrac{\angle A}{2}=sin\widehat{HAC}=sin\widehat{HAB}=45^{o}$

ta có: $sin\widehat{HAC}=\dfrac{a}{2b}$ và $sin\widehat{HAB}=\dfrac{a}{2c}$

theo giả thiết, ta có :

$\left\{\begin{matrix}
\dfrac{a}{2b}\leq \dfrac{a}{b+c}\\
\dfrac{a}{2c}\leq \dfrac{a}{b+c}

\end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix}
2b\geq b+c (1)\\
2c\geq b+c (2)

\end{matrix}\right.$

lấy (1)+(2) => $b+c\geq b+c$ (đúng)

=> $sin\dfrac{\angle A}{2}\leq \dfrac{a}{b+c}$

Muốn làm được dạng này e phải biết và vững những tính chất của tam giác vuông, công thức lượng giác các góc đặc biệt như 30, 45, 60, 90, vững sin, cos, tan, cot trong tam giác vuông từ đâu ra rồi biến đổi linh hoạt chúng.

Bài 2 mỗi bác ra 1 kiểu nhỉ? Lần trước em hỏi thì 1 bác bảo là n(n-1), 1 lại là bình phương gì đó. Em thấy bài trên dễ hiểu hơn thật!

muốn biết kết quả ra sao thì bạn có thể lấy giấy ra vẽ thử các điểm bất kỳ ko có 3 điểm nào trở lên thẳng hàng hay ko có điểm nào trùng nhau rồi nối lại, bạn sẽ biết kết quả, theo như mình vẽ thì

2 điểm--------------------------1 đoạn
3 điểm--------------------------3 đoạn
4 điểm--------------------------6 đoạn
5 điểm-------------------------10 đoạn
6 điểm-------------------------15 đoạn
.
.
.
.
n điểm...............................$\dfrac{n(n-1)}{2}$ đoạn

Bài 1:Cho 3 điểm M(1;1), N(2;3), P(-1;4) lần lượt là trung điểm của AB, BC, của$\small \Delta ABC$. Tìm tọa độ 3 đỉnh của tam giác. Chứng minh $\small \Delta ABC$ và $\small \Delta ABC$ có trọng tâm trùng nhau
Bài 2: Từ n điểm phân biệt dựng được bao nhiêu vectơ $\small \neq$ vectơ $\small \vec{0}$. ; n $\small \epsilon$ N*, n$\small \geq$2.

bạn coi lại đề tí nhé, có phải ý bạn ở bài 1 là:
Cho 3 điểm M(1;1), N(2;3), P(-1;4) lần lượt là trung điểm của AB, BC,AC của$\small \Delta ABC$. Tìm tọa độ 3 đỉnh của tam giác. Chứng minh $\small \Delta ABC$ và $\small \Delta MNP$ có trọng tâm trùng nhau

Ta có: MP // BC (tính chất đường trung bình)
=> (BC): 3x + 2y - 12 = 0
chứng minh tương tự, ta có:
(AB): x + 3y - 4 = 0
(AC): -2x + y - 6 = 0
Ta có $B \epsilon (BC); (AC)$
=> B thoả hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3x+2y=12\\ x+3y=4 \end{matrix}\right.$
<=>$\left\{\begin{matrix} x=4\\ y=0 \end{matrix}\right.$
=> B(4,0)
chứng minh tương tự, có A(-2,2); C(0,6)

Có 2 hướng để bạn chứng minh $\small \Delta ABC$ và $\small \Delta DEF$ có trọng tâm trùng nhau:

Hướng 1 là bạn tìm trọng tâm G của $\small \Delta ABC$ và trọng tâm G' của $\small \Delta DEF$ rồi so 2 trọng tâm, nếu cùng toạ độ thì bài chứng minh xong

Hướng 2 là làm theo cách của cấp 2

Xét tứ giác AMNP:
$\left\{\begin{matrix}
AM//BN\\
MN//AP

\end{matrix}\right.$
(tính chất đường trung bình)
=> tứ giác AMNP là hình bình hành
=> AN cắt PM tại I
=> I trung điểm MP
chứng minh tương tự, có K trung điểm PN, L trung điểm MN
=> $\small \Delta DEF$ có trọng tâm G'
=>MK cắt NI tại G'
Ta có: G là trọng tâm $\small \Delta ABC$
=>MC cắt NA tại G
mà $\left\{\begin{matrix}
K \epsilon MC\\
I \epsilon NA
\end{matrix}\right.$
=> $G\equiv G' $
=> $\small \Delta ABC$ và $\small \Delta MNP$ có trọng tâm trùng nhau

Câu 2
Bài toán có thể quy về dạng: cho n điểm bất kỳ không có ba điểm nào trở lên thẳng hàng, hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nối tất cả các điểm (với n $\small \epsilon$ N*, n$\small \geq$2.)

- Giả sử có 2 điểm A và B,ta thấy:
qua A có 1 đường thẳng xuất phát từ B, tạo thành đoạn BA
qua B có 1 đường thẳng xuất phát từ A, tạo thành AB
nhưng AB và BA là 1, vậy qua 2 điểm có 1 đoạn thẳng, hay $\dfrac{2(2-1)}{2}$ , trong đó, 2(2-1) là tổng số đoạn thẳng qua 2 điểm, chia 2 do 2 đoạn thẳng đó là 1.

- Giả sử có 3 điểm A, B, C, ta thấy:
qua A có 2 đường thẳng xuất phát từ B và C, tạo thành BA và CA
qua B có 2 đường thẳng xuất phát từ A và C, tạo thành AB và CB
qua C có 2 đường thẳng xuất phát từ A và B, tạo thành AC và BC
vậy có 6 đường thẳng tạo thành, nhưng AB và BA, AC và CA, BC và CB là 1, vậy có 6:2=3 đoạn thẳng
hay $\dfrac{3(3-1)}{2}$ đoạn thẳng
vậy có n điểm bất kỳ sẽ có n(n-1) đoạn thẳng, nhưng trong số đó sẽ có $\dfrac{n(n-1)}{2}$ đoạn thẳng và $\dfrac{n(n-1)}{2}$ là như nhau, vậy tóm lại chỉ có

$\dfrac{n(n-1)}{2}$ đoạn thẳng qua n điểm bất kỳ (với n $\small \epsilon$ N*, n$\small \geq$2)

BT áp dụng.Bài 1. Cho $a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$

$a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$

Theo cauchy:

\[
a^2 + b^2 \ge 2ab
\]


để bất đẳng thức xảy ra


\[
\begin{array}{l}
< = > 2ab \ge a + b \\
< = > a + b \ge 2 \\
\end{array}
\]

mà \[
ab \ge 1
\]
=>\[
a^2 - 2a + 1 \ge 0 (đúng)
\]
vậy BĐT đã dc chứng minh

Cm Đa thức bậc hai sau không chia hết cho 121
$n^{2}+3n+5$

\[
\begin{array}{l}
n^2 + 3n + 5 \vdots 121 \\
< = > n^2 + 3n + 5 = x \\
\end{array}
\]
với x là bội số của 121, lẽ đương nhiên \[
x \ge 121
\] (1)


\[
\begin{array}{l}
< = > n^2 + 3n + 5 - x = 0 \\
< = > \Delta = 9 - 4(5 - x) \ge 0 \\
< = > 4x - 11 \ge 0 \\ (đúng do (1))
< = > \left[ \begin{array}{l}
n1 = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {4x - 11} }}{2} \\
n2 = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {4x - 11} }}{2} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\]
để n₁ và n₂ nhận nghiệm nguyên, điều đầu tiên là \[
\Delta ^2
\] phải là số chính phương
mà ta thấy 11 là số nguyên tố, 4x là bội số của 11 (do 4x là bội số của 121 là bội số của 11)
=>\[
\Delta ^2
\] không thể là số nguyên tố
=>n₁ và n₂ không thể nhận nghiệm nguyên
=>đa thức $n^{2}+3n+5$ không thể chia hết cho 121
trên đây là cách làm của mình, hơi dài dòng, với lại mình cũng không nhớ lớp 8 có học delta chưa

Câu 7: Giải phương trình: $3{\cot ^2}x + 2\sqrt 2 {\sin ^2}x = \left( {2 + 3\sqrt 2 } \right)\cos x$

$3{\cot ^2}x + 2\sqrt 2 {\sin ^2}x = \left( {2 + 3\sqrt 2 } \right)\cos x$
điều kiện: \[
\sin x \ne 0 < = > x \ne k\pi ;k \in Z
\]

\[
\begin{array}{l}
< = > 3\cos ^2 x + 2\sqrt 2 (1 - \cos ^2 x)^2 - (2 + 3\sqrt 2 )\cos x = 0 \\
< = > 3\cos ^2 x + 2\sqrt 2 - 4\sqrt 2 \cos ^2 x + 2\sqrt 2 \cos ^4 x - (2 + 3\sqrt 2 )\cos x = 0 \\
< = > 2\sqrt 2 \cos ^4 x + (3 - 4\sqrt 2 )\cos ^2 x - (2 + 3\sqrt 2 )\cos x + 2\sqrt 2 = 0 \\
\end{array}
\]
(đang nghiên cứu giải phương trình ra)