Đến nội dung


hoangtrong2305

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: 15-01-2017 - 15:55
****-

Chủ đề của tôi gửi

Số $e$ là số gì vậy?

01-01-2017 - 17:40

File gửi kèm  e-day-new.jpg   37.92K   1 Số lần tải

 

Bài viết này sẽ nói về số $e$, một hằng số nổi tiếng, có vai trò quan trọng trong Toán học giống như số $\pi $, tỉ số vàng, $\sqrt{2}$, … $e$ là một số vô tỉ, có giá trị là $2.7182818\ldots $

 

Điều thú vị ở số $e$ là nguồn gốc hình thành nên hằng số này không xuất phát từ Hình học. Một hằng số nổi tiếng có từ thời Hi Lạp cổ đại xuất phát từ Hình học đó là số $\pi $, hình thành dựa trên tỉ số của chu vi và đường kính của cùng một hình tròn. Ngoài ra, còn nhiều hằng số khác có từ thời Hi Lạp cổ đại và xuất phát từ Hình học.

 

File gửi kèm  Hinh1.PNG   385.22K   1 Số lần tải  File gửi kèm  Hinh2.PNG   165.54K   1 Số lần tải

 

Tuy nhiên, số $e$ thì khác, con số này không xuất phát từ Hình học, không dựa trên một hình nào cả. $e$ là một hằng số Toán học liên quan đến sự tăng trưởng và tốc độ thay đổi. Liên quan như thế nào ư? Ta hãy quan sát bài toán đầu tiên sử dụng đến số $e$.

 

Vào thế kỷ 17, nhà Toán học Jacob Bernoulli nghiên cứu về bài toán lãi kép, giả sử bạn có 1 Đồng trong ngân hàng, giả sử ngân hàng này hào phóng đến mức đưa ra lãi suất $100\%/\text{năm}$, điều này có nghĩa sau một năm, bạn được 2 Đồng, bao gồm 1 Đồng ban đầu và $1 \times 100\% = 1$ Đồng từ lãi.

 

File gửi kèm  Hinh3.PNG   358.28K   1 Số lần tải

 

Vậy nếu ngân hàng trả lãi suất $50\%/6 \text{ tháng}$ thì sao? Bạn sẽ được lãi nhiều hơn hay ít hơn? Giả sử bạn có 1 Đồng, với lãi suất trên thì sau 6 tháng bạn được 1.5 Đồng (bao gồm 0.5 Đồng tiền lãi). 6 tháng tiếp theo, bạn sẽ được 2.25 Đồng, bao gồm 1.5 Đồng ở 6 tháng trước và $1.5 \times 50\% = 0.75$ Đồng tiền lãi kì này.

 

Nếu ngân hàng trả lãi theo từng tháng, tức lãi suất là $\frac{1}{12} = 8.(3)\%/\text{ tháng}$ thì sao? Số tiền sẽ nhiều hơn chứ? Sau tháng thứ 1, khi tính luôn tiền lãi thì tổng số tiền hiện giờ là

$$1+1\times \frac{1}{12}=1\times \left( 1+\frac{1}{12} \right)=\left( 1+\frac{1}{12} \right)$$

Tương tự, đến tháng thứ 3

$${{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}+{{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}\times \frac{1}{12}={{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}\left( 1+\frac{1}{12} \right)={{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{3}}$$

Cứ thế, ta sẽ tính được đến tháng 12, tổng số tiền kiếm được là

$${{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{12}}=2.61$$

Vậy với cách tính lãi này thì sau 1 năm ta sẽ kiếm được 2.61 Đồng. Trên thực tế, càng chia nhỏ thời điểm lấy lãi theo tỉ lệ tương ứng thì số tiền thu được càng nhiều, cụ thể như ngân hàng tính lãi hàng tuần với lãi suất $\frac{1}{52} = \frac{25}{13}\% \approx 1.923\%/ \text{ tuần}$ (1 năm có 52 tuần), khi đó sau 1 năm, tổng số tiền kiếm được là

$${{\left( 1+\frac{1}{52} \right)}^{52}}=2.69$$

Có lẽ bạn đã thấy được biểu thức tổng quát sẽ có dạng

$${{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Nếu ta tính lãi từng tháng thì $n=12$, tính từng tuần thì $n=52$. Nếu ta tính lãi theo từng ngày, tổng số tiền có được sau 1 năm là

$${{\left( 1+\frac{1}{365} \right)}^{365}}=2.71$$

Số tiền sẽ ngày càng nhiều khi ta tính lãi theo từng giây, hay thậm chí từng nano-giây. Vậy nếu ta trả lãi liên tục theo thời gian thì sao? Cứ mỗi khoảnh khắc là sẽ có lãi, lãi suất liên tục thì kết quả sẽ như thế nào? Để biết được câu trả lời, ta sẽ cho $n\to +\infty $ và xem biểu thức ấy cho ra giá trị là bao nhiêu. Tiếc thay Bernoulli khi ấy chưa tìm ra được kết quả dù ông ta biết rằng đáp án phải nằm giữa 2 và 3. Đến 50 năm sau, Euler (hoặc có thể là Gauss) đã tìm ra đáp án, đó là một số vô tỉ $2.718281828459\ldots $ Euler đặt tên cho số vô tỉ này là $e$, đương nhiên chữ $e$ này không xuất phát từ chữ “$E$” trong “Euler” đâu mặc dù ngày nay người ta hay gọi $e$ là hằng số Euler, ta có thể hiểu $e$ ở đây đơn là là 1 chữ cái dùng để ký hiệu. Ông ta tìm ra một công thức tính $e$ (không phải công thức tính lãi kép như trên) và từ đó chứng minh $e$ là số vô tỉ là

$$e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots }}}}}}}}$$

Đây là liên phân số cố số tầng vô tận với các hệ số tuần theo quy luật $2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots $ Quy luật này kéo dài vô tận, khi đó số này phải là số vô tỉ, còn nếu quy luật này là hữu hạn thì ta có thể viết liên phân số trên thành phân số tối giản. 

 

File gửi kèm  Hinh4.PNG   453.56K   1 Số lần tải

 

Ngoài ra, Euler tìm ra được một công thức khác, từ đó ông tìm ra đến 18 chữ số ở phần thập phân.

$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots $$

 

File gửi kèm  Hinh5.PNG   283.16K   1 Số lần tải

 

Đây là một công thức đẹp, nhưng với điều kiện là bạn phải biết thế nào là giai thừa (kí hiệu $!$). Giai thừa có thể hiểu nôm na là nhân các số nguyên dương từ $1$ đến số cần tính, ví dụ như 4 giai thừa ($4!$) là $1\times 2\times 3\times 4$. Chứng minh công thức trên thực ra không khó, chỉ cần kiến thức toán Phổ thông là đủ. Ta cần sử dụng đến định lý nhị thức có công thức tổng quát là

$${{\left( 1+x \right)}^{n}}=1+\ldots +\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{x}^{k}}+\ldots +{{x}^{n}}$$

Sử dụng định lý này, ta sẽ có ngay kết quả khai triển của ${{\left( 1+x \right)}^{3}}$ hay ${{\left( 1+x \right)}^{5}}$ mà không cần phải phá ngoặc

 

\begin{align*}{{\left( 1+x \right)}^{3}}&=1+\frac{3!}{1!\left( 3-1 \right)!}{{x}^{1}}+\frac{3!}{2!\left( 3-2 \right)!}{{x}^{2}}+{{x}^{3}}\\&=1+3x+3{{x}^{2}}+{{x}^{3}}\\{{\left( 1+x \right)}^{5}}&=1+5x+10{{x}^{2}}+10{{x}^{3}}+5{{x}^{4}}+{{x}^{5}}\end{align*}

 

Bây giờ áp dụng vào biểu thức tính số $e$

$$e=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Áp dụng định lý nhị thức vào phép khai triển biểu thức này, với $x=\frac{1}{n}$, ta được:

$${{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=1+\ldots +\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}}+\ldots +{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Khi cho $n$ tiến ra vô cùng thì biểu thức

$$\frac{n!}{\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}}=\frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\ldots \left( n-k+1 \right)}{{{n}^{k}}}$$

tiến về 1, do đó ta được

$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}} \right)=\frac{1}{k!}$$

Như vậy, khi $n$ tiến ra vô cùng, biểu thức tính số $e$ đơn giản là tổng của các giai thừa

$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=e=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots +\frac{1}{n!}+\ldots $$

Vì sao Toán học cần dùng đến số $e$? Vì $e$ là ngôn ngữ tự nhiên của sự tăng trưởng. Để cho dễ hiểu, ta vẽ đồ thị hàm số $y={{e}^{x}}$.

 

File gửi kèm  Hinh6.PNG   439.75K   1 Số lần tải

 

Lấy một điểm $x$ bất kỳ trên đồ thị, ta được giá trị tung độ tại điểm đó là ${{e}^{x}}$, độ dốc tại điểm đó cũng là ${{e}^{x}}$ và phần diện tích dưới đồ thị, phía trên trục hoành, kéo dài từ điểm $x$ xuống âm vô cùng cũng bằng ${{e}^{x}}$.

 

File gửi kèm  Hinh7.PNG   545.87K   2 Số lần tải

 

Tức với bất kỳ điểm nào trên đồ thị, giá trị tung độ, giá trị độ dốc và phần diện tích dưới đường cong đều bằng nhau. Cụ thể, ta lấy $x=1$, ta được giá trị hoành độ là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $, giá trị độ dốc là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $ và phần diện tích dưới đường cong là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $

 

File gửi kèm  Hinh8.PNG   548.42K   1 Số lần tải

 

Đây là một điều rất độc đáo, do đó $e$ la ngôn ngữ tự nhiên của vi tích phân do ngành này có nghiên cứu về tốc độ thay đổi, tăng trưởng, tính diện tích, … nhờ số $e$ nên các phép tính trở nên đơn giản hơn nhiều, nếu như bạn không muốn dung đến số $e$ thì có khi bạn tự làm khó bản thân đấy. Ngoài ra, $e$ còn nổi tiếng vì nhiều công thức Toán học nổi tiếng sử dụng đến số $e$, ví dụ như công thức Euler

$${{e}^{i\pi }}+1=0$$

Công thức này sử dụng hàm ${{e}^{x}}$ làm chủ đạo, ngoài ra còn có cả những hằng số Toán học nổi tiếng khác là số $\pi $, số $i=\sqrt{-1}$, số 1 và số 0, do đó công thức này được bầu chọn là công thức đẹp nhất của Toán học.

 

File gửi kèm  Hinh9.PNG   217.43K   1 Số lần tải

 

Bài viết này dịch từ clip e của tài khoản Numberphile và clip e (Extra Footage) của tài khoản Numberphile2 trên Youtube

 


Chứng minh công thức Euler cho đa diện bằng vật lý

08-11-2016 - 00:46

Giải Nobel vật lý năm nay được trao cho ba nhà vật lý, Thouless, Haldane và Kosterlitz, vì những đóng góp liên quan đến các chuyển pha và các trạng thái tôpô. Nhân dịp này chúng ta sẽ dùng vật lý để chứng minh một công thức khá nổi tiếng, liên quan đến tôpô – công thức Euler cho đa diện. Công thức này nói rằng với một đa diện bất kỳ, số đỉnh $V$, số mặt $F$ và số cạnh $E$ của nó thoả mãn

 

$$V + F - E = 2$$

 

Ví dụ với hình lập phương ta có $V = 8, F = 6, E = 12,$ và $8 + 6 – 12 = 2$. Bạn có thể kiểm tra với một vài hình đa diện nữa để thấy công thức luôn đúng.

 

Để chứng minh công thức này, ta sẽ lắp một mạch điện theo hình đa diện, thay mỗi cạnh của đa diện bằng một điện trở. Không quan trọng lắm các giá trị của điện trở là bao nhiêu, miễn là tất cả các điện trở đều khác không. Để cho đơn giản ta cho mỗi điện trở là 1 Ω. Sau đó ta chọn hai đỉnh và nối hai cực của một nguồn điện vào hai đỉnh đó, cũng không quan trọng lắm là đỉnh nào. Chẳng hạn với hình lập phương ta có thể tưởng tượng ra mạch điện như sau:

 

resistor-cube-kirt-1.gif

 

Khi ta nối một mạch điện như vậy, tất nhiên điện sẽ chạy trong mạch một cách nhất định. Ta có thể đặt nhiều câu hỏi với mạch điện này. Ví dụ ta có thể hỏi điện trở của mạch là bao nhiêu. Câu hỏi tôi sẽ hỏi là như sau: giả sử tổng dòng điện chạy qua mạch là 1 Amper, dòng điện chạy qua từng điện trở là bao nhiêu? (Tất nhiên là nếu trả lời được câu hỏi này thì có thể tìm ra được điện trở của mạch).

 

Để trả lời câu hỏi trên, ta sẽ lập một hệ phương trình cho phép ta tìm được dòng điện chảy qua từng điện trở. Giả sử $AB$ là một cạnh, ta ký hiệu $I_{AB}$ là dòng điện chạy từ đỉnh $A$ đến đỉnh $B$. Ta có $I_{AB} = -I_{BA}$, và có tổng cộng $E$ đại lượng này. Ta sẽ lập một hệ phương trình để tìm giá trị của các dòng điện này.

 

Có hai loại phương trình, xuất phát từ hai định luật Kirchhoff. Loại đầu tiên là như sau. Giả sử $A$ là một đỉnh, và $B, C, D…$ là các đỉnh kề $A$. Ta có phương trình:

 

$$I_{AB }+ I_{AC} + I_{AD} + … = 0 \text{ hoặc } \, 1 \text{ hoặc } –1$$

 

Vế phải là 0 nếu như đỉnh $A$ không phải một trong hai đỉnh nối vào nguồn điện, là 1 nếu $A$ được nối vào cực dương và –1 nếu $A$ nối vào cực âm. Đơn giản phương trình này nói dòng điện chạy vào một đỉnh phải bằng dòng chạy ra từ đó.

 

Ta có tổng cộng bao nhiêu phương trình như thế này? Đếm thì thấy tổng cộng là $V$ phương trình, nhưng thực ra chúng không độc lập với nhau. Có thể thấy điều này bằng cách lấy tổng tất cả các phương trình trên. Ta sẽ được đồng nhất thức $0 = 0$, vì ở vế trái với mỗi $I_{AB}$ bao giờ cũng có $I_{BA}$. Vế phải thì tất nhiên tổng là $1 + (–1)$ cộng nhiều số 0, cũng bằng không. Như vậy chỉ có $V – 1$ phương trình độc lập.

 

Nhưng những phương trình trên không phải tất cả các phương trình ta phải viết ra. Có một loạt các phương trình khác (phương trình loại hai). Ta giả sử $ABCD$ là một mặt (ta cho nó là tứ giác ở đây nhưng logic tiếp theo đúng với mọi đa giác). Ta sẽ có phương trình

 

$$I_{AB} + I_{BC} + I_{CD} + I_{DA} = 0$$

 

Tại sao có phương trình này? Đó là do điện trở trên mỗi cạnh là 1 Ω nên $I_{AB}$ cũng là hiệu điện thế giữa hai đỉnh $A$ và $B$: $I_{AB} = U_{B}-U{A}$. Từ đó phương trình ở trên trở thành hiển nhiên. Tổng cộng có $F$ phương trình như vậy. Tuy nhiên các phương trình này cũng không độc lập, nếu cộng tất cả các phương trình này lại ta lại có đồng nhất thức $0 = 0$, do đó là chỉ có $F – 1$ phương trình loại hai.

 

Tổng cộng ta có như vậy là $(V – 1) + (F – 1) = V + F – 2$ phương trình.

 

Ta phải giải các phương trình này để tìm các dòng $I_{AB}$. Có bao nhiêu ẩn số tất cả? Số ẩn là số cạnh $E$.

 

Thiên nhiên cho ta biết khi nối mạch điện thì chỉ có một nghiệm duy nhất, vậy số phương trình phải bằng số ẩn.

 

Do đó $V + F – 2 = E$.

 

Đây chính là công thức Euler phải chứng minh.

 

Nguồn: Blog Đàm Thanh Sơn https://damtson.word.../euler-formula/


Ấn bản điện tử cuốn "Toán tiền tệ ứng dụng được gì?"

28-05-2016 - 00:00

File gửi kèm  book template.jpg   28.87K   12 Số lần tải

 

Link download (Google drive): https://drive.google...iew?usp=sharing

Link download (Mediafire): http://www.mediafire...gDungDuocGi.pdf

Link download (diendantoanhoc.net): File gửi kèm  ToanTienTeUngDungDuocGi.pdf   2.22MB   1099 Số lần tải

 

Tác giả: Murray Bourne, người sở hữu trang www.intmath.com.

Biên dịch: Nguyễn Văn Sáng Hồng, thành viên Chuyên san EXP
Chỉnh sửa: 
Võ Hoàng Trọng, thành viên Chuyên san EXP
Trình bày bìa: Đỗ Thị 
Hải Yến, thành viên Chuyên san EXP

 

Vào năm 2008, khủng hoảng Tài chính đã xảy ra trên khắp toàn cầu, gây nhiều thiệt hại lớn về mặt kinh tế. Sự kiện này xảy ra một phần vì quá nhiều người mua các sản phẩm tài chính mà không hiểu về sản phẩm đó, phần vì họ chưa có nhiều kiến thức về mảng Tài chính tiền tệ, một mảng chứa nhiều ứng dụng của Toán học và có vài trò rất quan trọng trong cuộc sống chúng ta. Ví dụ như:

 

- Ở Mỹ, người dân thường thuê nhà để ở hơn là mua hẳn một căn nhà như ở Việt Nam. Nếu họ muốn mua nhà, họ thường sử dụng cách trả góp do giá nhà đất rất cao, khó mà có thể thanh toán một lần, có người còn phải vay vốn ngân hàng để trả góp. Do đó, nếu không biết cách chi tiêu, nhiều khả năng nhà của họ sẽ bị tịch biên do không thể thanh toán đúng hạn. Cuốn sách này sẽ trình bày những kiến thức Toán học cơ bản ứng dụng trong mua nhà.

 

- Các bạn sau này đi làm chắc hẳn muốn kiếm thật nhiều tiền để có được một cuộc sống sung túc khi về hưu, một trong những cách để có "tiền lương hưu" đó là gửi tiết kiệm ngân hàng. Cuốn sách này sẽ trình bày cách tính toán với số tiền bạn muốn có khi về hưu thì bây giờ (hoặc một thời điểm nào đó) bạn nên đưa bao nhiêu tiền vào ngân hàng chỉ với kiến thức Toán phổ thông.

 

- Hiện nay ở Việt Nam đang dần phổ biến thẻ tín dụng (credit card). Với thẻ này, bạn có thể sử dụng được cả khi tài khoản thẻ của bạn không còn tiền (tất nhiên số tiền sử dụng sẽ bị phụ thuộc vào hạn mức tối đa mà thẻ bạn được phép sử dụng), chính vì vậy nhiều người khi mua một món hàng hay có tâm lý "Tôi thích nó, tôi muốn có nó ngay lập tức, tôi không có tiền mặt, nhưng tôi có thẻ, tôi sẽ trả sau", dẫn đến sẽ có phụ phí cho họ và vô tình dễ đẩy họ trở thành "con nợ". Cuốn sách này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết để bạn sử dụng thẻ tín dụng một cách hiệu quả.

 

Ngoài ra, cuốn sách này sẽ trình bày những sự kiện lịch sử liên quan đến tiền tệ, đầu tư vàng, xác định dấu hiệu phục hồi kinh tế, thời điểm tiền đầu tư tăng gấp đôi chỉ với cách tính cơ bản có thể nhẩm được ... bằng những kiến thức toán Phổ thông cũng nhưng một số bài tập tình huống cho độc giả thực hành. Chuyên san EXP hi vọng độc giả sẽ có được những kiến thức bổ ích từ cuốn sách này và áp dụng được ở thực tế.


Ngày 29 tháng 02

29-02-2016 - 00:22

Năm 2016 dài hơn năm 2015 vì năm 2016 là năm nhuận, tháng Hai sẽ có thêm 1 ngày. Tại sao các tờ lịch lại thiết kế như vậy?

 

Về cơ bản là do ảnh hưởng vòng quay của Trái Đất quanh Mặt Trời (hay trong thời kì trước Copernicus là Mặt Trời quay quanh Trái Đất). Một năm thường có 365 ngày, nhưng một chu kỳ quỹ đạo của Trái Đất quanh Mặt Trời lại gần với $365\frac{1}{4}$ ngày, điều này có nghĩa rằng nếu không có năm nhuận thì cứ sau mỗi 4 năm các mùa sẽ phải thay đổi khoảng 1 ngày, khi đó mùa Xuân sẽ đến muộn hơn và một năm trôi qua cũng chậm hơn so với lịch.

 

Hình đã gửi

Độ dài một năm tương ứng với thời gian để Trái Đất (hành tinh thứ 3 tính từ Mặt Trời) di chuyển hết 1 vòng quanh Mặt Trời

 

Để giải quyết vấn đề này, năm 46 trước Công Nguyên, lãnh tụ La Mã là Julius Caesar đã cách tân lịch sao cho sau mỗi 3 năm có 365 ngày sẽ có năm thứ 4 có 366 ngày. Vào thời điểm đó, lịch 365 ngày được sử dụng tại Ba Tư và Ai Cập và những tờ lịch này cho thấy hiệu ứng chệch mùa do sự sai lệch giữa năm lịch và năm Mặt Trời. Người La Mã trước đây có một hệ thống phức tạp nhằm tránh chệch mùa, họ xen kẽ năm có 355 ngày với một năm nhuận có thêm một tháng có 22 hay 23 ngày. Hệ này có khả năng giữ lịch khớp với mùa, nhưng việc tự ý thêm tháng thì không phải lúc nào cũng cố định vì điều này do các linh mục xác định đôi khi dựa trên những lý do về chính trị để làm cho năm dài thêm hay ngắn bớt.

 

Sự cách tân của Caesar dẫn đến một cuốn lịch đó là lịch Julius, với mỗi 4 năm sẽ có 1 năm nhuận thêm 1 ngày, điều này phù hợp với chuyển động bên ngoài của ánh nắng Mặt Trời trong tương lai gần, nhưng trong năm Mặt Trời, phân điểm giữa 2 mùa Xuân liên tiếp thì ngắn hơn $365\frac{1}{4}$ ngày, vì vậy qua các Thế kỷ thì việc ước tính thời gian đến mùa bằng lịch sẽ phải bắt đầu sớm hơn thực tế. Sự sai lệch đến thế kỷ 16 là 10 ngày cuối cùng đã được khắc phục khi một vài nhà thờ dùng điểm Xuân phân (xác định bằng Mặt Trời) để tính toán ngày Lễ Phục sinh, còn Tòa thánh Rome lại dùng ngày 25 tháng 3 (dựa trên lịch) để tính toán, dẫn đến hậu quả chệch lịch, tức không phải tín đồ Cơ đốc giáo cũng ăn mừng Lễ Phục sinh cùng ngày. Để giải quyết vấn đề này, vào năm 1582, Đức Thánh cha Gregory XIII giới thiệu một loại lịch có đổi mới, thay vì mỗi 4 năm sẽ có năm nhuận thì năm thế kỷ sẽ không phải lại năm nhuận trừ khi chia hết cho 400. Điều này đã làm giảm số năm lịch trung bình từ 365.25 ngày xuống còn 365.2425 ngày, sai khác nhau có 0.002%, giúp cho năm lịch gần với năm Mặt Trời.

 

LỊCH GREGORY

 

Lịch Gregory được ban hành tại những nước theo thể chế Giáo hoàng, trong đó từ năm 1582, theo sau thứ Năm ngày 4 tháng 10 là thứ Sáu ngày 15 tháng 10, mất đi 10 ngày. Vì điều này nên ngày mất của nhà Thần học người Tây Ban Nha là Thánh Teresa vẫn còn là một dấu hỏi không rõ bà mất vào ngày 4 tháng 10, ngay trước nửa đêm hay vào sáng ngày 15 tháng 10.

 

Vào thời điểm các nước Tin Lành vướng vào lịch Julius, Nữ hoàng Elizabeth đã hỏi thăm ý kiến của nhà Toán học John Dee nhằm cách tân lịch. Ông ta đề xuất cách giải quyết khác, đó là bỏ đi 11 ngày chứ không phải 10 ngày như lịch Gregory, nhưng phải đến năm 1752, Vương quốc Anh mới chuyển sang sử dụng lịch Gregory với theo sau thứ Tư ngày 2 tháng 9 là thứ Năm ngày 14 tháng 9, bỏ đi 11 ngày và tờ lịch Anh có mức phổ biến ngang hàng với lịch Gregory. Trong khi các nước lãnh thổ Giáo hoàng chỉ mất có 10 ngày, sự sai khác tính từ năm 1752 đã tăng lên 11 vì năm 1700 là năm nhuận trong lịch Julius nhưng không phải trong lịch Gregory.

 

Giữa năm 1582 và 1752, lịch Anh không được phổ biến trong các nước Công giáo. Vì vậy, mặc dù hai nhà văn lớn là Miguel de Cervantes và William Shakespeare đều qua đời vào ngày 23 tháng 4 năm 1616 nhưng ở nước Công giáo Tây Ban Nha sử dụng lịch Gregory thì Cervantes mất trước Shakespeare 10 ngày do ngày ghi nhận Shakespeare qua đời sử dụng lịch Julius.

 

SINH NHẬT CỦA BẠN VÀO THỨ MẤY?

 

Một hệ quả khi ban hành lịch Gregory liên quan đến tần số các thứ trong tuần khi cho trước ngày, tháng.

 

Con số 365 hơn 1 đơn vị bội số của 7 ($365=7\times 52+1$), tức trong năm không nhuận thì sinh nhật của bạn tăng lên một thứ trong tuần, cụ thể nếu năm 2014 sinh nhật của bạn vào thứ Hai thi năm 2015 sinh nhật của bạn vào thứ Ba. Nếu như không có năm nhuận thì qua mỗi năm, sinh nhật của bạn tăng lên một thứ (miễn là bạn còn sống). Tuy nhiên, trong năm nhuận thì có một chút thay đổi, sinh nhật của bạn tăng lên hai thứ (có thể xảy ra ngay năm nhuận hoặc năm kế tiếp, phụ thuộc vào tháng bạn sinh ra là giữa tháng 3 đến tháng 12 hoặc tháng 1 hoặc tháng 2).
Về cơ bản, lịch Julius có tác dụng lặp lại vòng 4 năm với 3 năm có 365 ngày sẽ có 1 năm có 366 ngày, tổng số ngày trong 4 năm đó là 1461 ngày, bằng với $7\times 208+5$ ngày, và bởi vì tổng này không chia hết cho 7 nên ta cần 7 vòng như vậy để thứ, ngày, tháng cho trước (như sinh nhật của bạn chẳng hạn) lặp lại như cũ . Qua 28 năm này, sinh nhật của bạn sẽ xuất hiện 4 lần vào mỗi thứ trong tuần.

 

Hình đã gửi

Giả sử sinh nhật của bạn là ngày 1 tháng 1, trong năm 2001 trùng vào thứ Hai. Đồ thị trên biểu diễn các thứ trong tuần trùng với sinh nhật của bạn trong một vài năm sau đó (theo lịch Gregory). Bạn có thể thấy rằng dạng đồ thị lặp lại sau mỗi 28 năm, từ năm 2001 đến năm 2084. Chu kỳ 28 năm tiếp theo sẽ có năm thế kỉ (2100) đáng ra sẽ là năm nhuận nhưng không phải. Vì vậy năm này sẽ phá vỡ vòng tuần hoàn (chỗ vòng tròn đỏ). Bạn phải đợi 400 năm sau để dạng đồ thị lặp lại chính xác

 

Bây giờ ta quay lại lịch Gregory, do cách giải quyết đối với các năm thế kỷ nên giá trị thứ, ngày, tháng lặp lại mỗi 400 năm. 400 năm này bao gồm 303 năm không nhuận có 365 ngày và 97 năm nhuận có 366 ngày (vì chỉ có một trong 4 năm thế kỷ là năm nhuận), tổng cộng có 146 097 ngày, con số này chính là bội số của 7, bằng với 7 nhân 20 871.

 

Điều này có ý nghĩa vì có hàm ý rằng mỗi 400 năm thì dạng đồ thị thứ lại cùng điểm bắt đầu. Nếu bạn sinh vào thứ Hai, ngày 1 tháng 1 năm 2001 thì sinh nhật của bạn sẽ rơi trúng thứ Hai trong tuần vào năm 2401, 2801, 3201 và cứ thế. Vào ngày 1 tháng 1 năm 2084 bạn đã trải qua sinh nhật đúng vào thứ Hai lần thứ 12, thứ Ba lần thứ 12 và cứ thế. Nhưng năm thế kỷ phá vỡ mẫu hình đó và sau 400 năm từ 2001 đến 2400 thì sinh nhật của bạn trải qua 56 lần thứ Hai, 58 lần thứ Ba, 57 lần thứ Tư, 57 lần thứ Năm, 58 lần thứ Sáu, 56 lần thứ Bảy và 58 lần Chủ Nhật. Vì ngày 1 tháng 1 năm 2401 lại là thứ Hai, vòng tròn này lặp lại.

 

THỨ SÁU NGÀY 13

 

Theo quan điểm có phần mê tín dựa trên tính chất chu kỳ lịch Gregory chia hết cho 7 rằng sẽ thật không may khi ngày 13 là rơi vào thứ Sáu. Theo lịch Julius, ngày 13 mỗi tháng sẽ xuất hiện đều ở các thứ trong tuần nên xét về trung bình thì mỗi 7 tháng chỉ có 1 tháng có thứ Sáu ngày 13, nhưng trong lịch Gregory thì không có tính xuất hiện đều này, ngày 13 của mỗi tháng đa số rơi trúng vào thứ Sáu. Hiển nhiên sẽ có sự tranh luận rằng ta không nên thực hiện tính thống kê trội trong khi bản thân chúng ta còn chưa hoàn tất đúng một vòng lịch 400 năm.

 

NẾU NHƯ BẠN SINH VÀO NGÀY 29 THÁNG 2 THÌ SAO?

 

Một số người sinh vào ngày 29 tháng 2 (giả sử 1 ngày sẽ có 1 người mới sinh ra đời thì cứ mỗi 1461 người sẽ có 1 người sinh vào ngày này). Nếu ta định nghĩa “sinh nhật” là “ngày lịch biểu mà tôi ra đời” thì thật không may cho những người sinh vào ngày này sẽ ít có dịp ăn mừng sinh nhật hơn phần đông chúng ta. Thực tế, những người này sẽ tổ chức tiệc sinh nhật vào ngày 28 tháng Hai hay 1 tháng Ba (tùy vào cách tính tuổi tròn của mỗi Quốc gia đối với những người sinh vào ngày này) với niềm hi vọng sẽ nhận được bánh kem, nến và quà. Họ có thể tổ chức sinh nhật vào đúng ngày họ chào đời một lần trong mỗi 4 năm.

 

Ví dụ, nhà soạn nhạc Gioachino Rossini (người viết bản opera “Người thợ cắt tóc thành Seville” và nhiều bài khác) sinh vào ngày 29 tháng 2 năm 1792. Ông có sinh nhật vào năm 1796, nhưng năm 1800 không phải năm nhuận và sinh nhật lần thứ 2 của ông là năm 1804. Ông viết bản opera cuối cùng mang tên “William Tell” vào năm 1829, trước lần sinh nhật thứ 9 của ông. Vậy chính xác khi nào ông mới tổ chức tiệc sinh nhật lần thứ 15? Vì năm 1800 và 1900 không phải năm nhuận nên thời gian tổ chức sinh nhật phải đến năm 2000, năm này là năm nhuận vì 2000 chia hết cho 400. Thật ngạc nhiên khi Rossini mất đúng vào thứ Sáu ngày 13, ngày mà nhiều người mê tín cho rằng không may mắn.

 

Hình đã gửi

Nếu bạn sinh vào ngày 29 tháng 2, tuổi của bạn sẽ chậm hơn

 

Những người sinh vào ngày 29 tháng 2 có ít lần xuất hiện ngày sinh nhật hơn. Nếu họ sống ở Thụy Điển vào những năm sau 1700 sẽ có những nhân tố kèm thêm, Thụy Điển quyết định sử dụng lịch Gregory vào năm 1700 và chấp nhận mất 11 ngày ngay lập tức thay vì mất từng ngày một như nhiều nơi khác, nhưng do không có năm nhuận giữa năm 1700 và 1740 nên nếu bạn sinh ở Thụy Điển vào ngày 29 tháng 2 năm 1696, dưới sự thay đổi này bạn phải đợi đến năm 1744 để tổ chức tiệc sinh nhật đầu tiên. Nhưng năm 1712, sự thay đổi này được tiến hành không mấy hiệu quả (năm 1704 và 1708 là năm nhuận nhưng họ không làm vậy). Tờ lịch này không được sử dụng và họ quay trở lại lịch Julius. Họ thực hiện điều này bằng cách giới thiệu thêm một ngày vào tháng 2 năm 1712 và giúp cho lịch Julius phổ biến trở lại, khôi phục năm nhuận không theo lịch Julius xảy ra vào năm 1700. Vì vậy những người sinh vào ngày 30 tháng 2 năm 1712 ở Thụy Điển sẽ không bao giờ có cơ hội tổ chức sinh nhật đúng ngày.

 

Người dịch: Võ Hoàng Trọng, thành viên Chuyên san EXP
Nguồn: https://plus.maths.o...ths-february-29

 

a


Toán học trong điện tâm đồ: Chuỗi Fourier

12-02-2016 - 21:18

Tôi đi khám sức khỏe có đo điện tâm đồ. Dưới đây là ảnh điện tâm đồ của tôi.

 

ecg_sm3.jpg

 

I. ĐIỆN TÂM ĐỒ HOẠT ĐỘNG THẾ NÀO?


File gửi kèm  Ảnh chụp màn hình_2016-02-12_210529.png   234.07K   23 Số lần tải

Các điện cực được kết nối với nhiều vị trí trên cơ thể bạn (ngực, cẳng chân, tay, bàn chân) sử dụng hiệu điện thế để đo đạc và đọc ra điện tâm đồ.

 

Trục tung của điện tâm đồ là thời gian còn trục hoành là biên độ điện thế.

File gửi kèm  ecg-reference-pulse.png   10.96K   18 Số lần tải

Đơn vị biên độ là milivolt ($\text{mV}$) và trên đồ thị, $1\text{ mV}$ có chiều cao bằng $10\text{ mm}$. Thời gian đo là $25\text{ mm}=1\text{ giây}$ (hay $1\text{ mm}$ mỗi $0.04\text{ giây}$ trên đồ thị).

 

Dưới đây là kết quả của tôi theo Chuyển đạo II, biểu diễn hiệu điện thế giữa điện cực dương ở chân trái và điện cực ở tay phải. Mỗi đường thẳng đứng mỏng màu đỏ biểu diễn thời gian 1 giây.

 

ecg-II.gif

 

Theo bác sĩ, kết quả này cho thấy tim tôi vẫn khỏe mạnh.

 

Chi tiết thêm, nét đặc trưng của xung lặp lại mà ta đang nhìn như sau:

 

ecg-PQRSTwaves.gif

 

Sóng $P$ hình thành bởi sự co của tâm nhĩ phải theo sau tâm nhĩ trái (buồng nằm phần đầu của tim).

 

Phức hợp $QRS$ biểu diễn điểm theo thời gian mà các cơ tim hoạt động nhiều nhất, vì vậy điểm này có biên độ cao nhất.

 

Sóng $T$ biểu diễn độ phân cực của tâm thất (buồng nằm phần dưới của tim).

File gửi kèm  ecg-heart.png   83.25K   19 Số lần tải

Tim người với tâm nhĩ và tâm thất

 

II. MÔ HÌNH HÓA NHỊP TIM BẰNG CHUỖI FOURIER

 

Nhịp tim có tính đều đặn (nếu không thì chắc chắn tim có vấn đề). Về toán học, ta gọi một hiện tượng lặp đi lặp lại đều đặn là chu kỳ. Ta có thể biểu diễn một số sóng dưới dạng chuỗi Fourier.

 

1. Giả thuyết

 

Nhịp tim của tôi đập khoảng 70 nhịp/phút. Để đơn giản hóa, tôi giả định rằng nhịp tim của tôi là 60 nhịp/phút hay 1 nhịp/giây, vậy chu kỳ là 1 giây hay 1000 mili giây ($\text{ms}$).

 

Cũng vì mục đích đơn giản, trong bài viết này tôi chỉ mô hình sóng $R$. Để thu được mô hình nhịp tim tốt hơn, tôi chỉ cần làm quy trình tương tự với sóng $P,~Q,~S$ và $T$ và thêm vào mô hình của tôi.

 

Tôi quan sát rằng sóng $R$ của tôi cao khoảng $2.5~\text{mV}$ và kéo dài trong vòng $40~\text{ms}$. Hình dạng của sóng $R$ gần như là hình tam giác nên trng mô hình, tôi có thể dùng các đường thẳng, nhưng điều này sẽ không tạo ra được đường cong trơn (nhất là ở phần đỉnh, chỗ này phải khả vi liên tục).

 

Một hướng tiếp cận tốt hơn đó là dùng đa thức (với những đường đi lên và đi xuống rất gần với dạng đường thẳng), vì vậy mô hình của tôi như sau (đơn vị thời gian mà mili giây):

                            $$f\left( t \right)=-0.0000156{{\left( t+20 \right)}^{4}}+2.5$$

                                              $$f\left( t \right)=f\left( t+1000 \right)$$

2. Giải thích mô hình

 

Mô hình dựa trên hàm bậc 4 vì hàm này gần với dạng đồ thị tôi cần (hình parabol thì quá rộng).

 

Biểu thức $\left( t-20 \right)$ xuất phát từ việc đường cong bắt đầu ở $\left( 0,0 \right)$ (giúp mọi chuyện đơn giản hơn), đường cong sẽ đi qua điểm $\left( 40,0 \right)$ vì xung dài $40~\text{ms}$ và có tâm ở $t=20$. Còn “$+2.5$” có được do biên độ xung là $2.5~\text{mV}$, giá trị $-0.0000156$ là nghiệm khi giải phương trình sau theo $a$ khi $t=0$.

                                              $$a{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5=0$$

Phương trình $f\left( t \right)=f\left( t+1000 \right)$ có nghĩa rằng hàm số lặp lại sau mỗi $1000~\text{ms}$.

 

3. Đồ thị mô hình

 

Đây là đồ thị một phần của một chu kỳ (phần phía trên trục $t$ từ $t=0$ đến $t=40$)

File gửi kèm  ecg-model-quartic.png   5.28K   16 Số lần tải

Đương nhiên đây chỉ là 1 xung. Làm cách nào để ta tạo ra một đồ thị lặp lại các xung này theo những đoạn bằng nhau? Vì vậy, ta sẽ sử dụng chuỗi Fourier, chuỗi này là một chuỗi vô hạn bao gồm các biểu thức lượng giác. Khi ta thêm tất cả biểu thức, bạn sẽ được mô hình toán học của hàm số gốc có chu kỳ.

 

Để thu được chuỗi Fourier, ta cần tìm giá trị trung bình ${{a}_{0}}$ và 2 biểu thức hệ số chứa $n,{{a}_{n}}$ và ${{b}_{n}}$ dùng để nhân vào biểu thức lượng giác và cộng từ 1 đến vô cùng.

 

4. Giá trị trung bình

 

Ta tính ${{a}_{0}}$ bằng cách tính tích phân sau ($L$ là nửa chu kỳ):

       $${{a}_{0}}=\frac{1}{L}\underset{-L}{\overset{L}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt$$

          $$=\frac{1}{500}\underset{-500}{\overset{500}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)dt$$

                                                                     $$=0.16$$

Phần đường cong ta cần tính tích phân nằm từ $t=0$ đến $t=40$, cho nên đó là lý do vì sao ta chọn những giá trị này làm giới hạn tích phân ở dòng áp chót.

 

5. Hệ số ${{a}_{n}}$ đầu tiên

 

Tiếp theo, ta tính ${{a}_{n}}$:

$${{a}_{n}}=\frac{1}{L}\underset{-L}{\overset{L}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)\cos \frac{n\pi t}{L}dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{-500}{\overset{500}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)\cos \frac{n\pi t}{500}dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)\cos \frac{n\pi t}{500}dt$$

$$=-4\times {{10}^{-10}}\left( 5.57\times {{10}^{8}}{{n}^{4}}\sin \left( 0.251n \right)+8.11\times {{10}^{10}}{{n}^{3}}\cos \left( 0.251n \right)-1.94\times {{10}^{12}}{{n}^{2}}\sin \left( 0.251n \right)+2.45\times {{10}^{14}}\sin \left( 0.251n \right)-3.08\times {{10}^{13}}n\cos \left( 0.251n \right)+8.11\times {{10}^{10}}{{n}^{3}}-3.08\times {{10}^{13}}n \right)/{{n}^{5}}$$

 

Đáp án tính phân này khá xấu.

 

6. Hệ số ${{b}_{n}}$ thứ hai:

 

Bây giờ ta tính ${{b}_{n}}$:

$${{b}_{n}}=\frac{1}{L}\underset{-L}{\overset{L}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)\sin \frac{n\pi t}{L}dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{-500}{\overset{500}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)\sin \frac{n\pi t}{L}dt$$

$$=\frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)\sin \frac{n\pi t}{500}dt$$

$$=4\times {{10}^{-10}}\left( 5.57\times {{10}^{8}}{{n}^{4}}\cos \left( 0.251n \right)-8.11\times {{10}^{10}}{{n}^{3}}\sin \left( 0.251n \right)-1.94\times {{10}^{12}}{{n}^{2}}\cos \left( 0.251n \right)+2.45\times {{10}^{14}}\cos \left( 0.251n \right)+3.08\times {{10}^{13}}n\sin \left( 0.251n \right)-2.45\times {{10}^{14}}-5.57\times {{10}^{8}}{{n}^{4}}+1.94\times {{10}^{12}}{{n}^{2}} \right)/{{n}^{5}}$$

 

Cuối cùng, ta ghép các biểu thức trên lại, thu được chuỗi Fourier cho mô hình nhịp tim đơn giản:

$$f\left( t \right)=\frac{{{a}_{0}}}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{a}_{n}}\cos \frac{n\pi t}{L}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{b}_{n}}\sin \frac{n\pi t}{L}$$

$$f\left( t \right)=\frac{0.16}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\left( \frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)\cos \frac{n\pi t}{500}dt \right)\cos \frac{n\pi t}{500}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\left( \frac{1}{500}\underset{0}{\overset{40}{\mathop \int }}\,\left( -0.0000156{{\left( t-20 \right)}^{4}}+2.5 \right)\sin \frac{n\pi t}{500}dt \right)\sin \frac{n\pi t}{500}$$

 

Khi ta vẽ đồ thị với 5 biểu thức đầu tiên ($n=1$ đến $5$), ta có thể thấy điểm bắt đầu của nhịp tim đều 1 giây.

 

ecg-model-5-quartic.gif

 

Đồ thị trên biểu diễn “nhiễu” trong khai triển chuỗi Fourier, nhất là khi bạn lấy không đủ biểu thức.

 

Lấy thêm nhiều biểu thức (lần này, ta lấy 100 biểu thức đầu tiên) cho ta đồ thị dưới đây, ta thấy rằng ta có được xấp xỉ tốt hợp lý cho sóng $R$ đều với chu kỳ 1 giây.

 

ecg-model2-quartic.gif

 

Tôi thêm sóng $T$ vào mô hình (màu xanh)

 

ecg-model-quartic-Twave.gif

 

Tôi dùng hình parabol để biểu diễn sóng $T$ vì hình dạng sóng $T$ rộng hơn hình dạng sóng $R$. Ta có thể thêm sóng $P,Q$ và $S$ để thu được mô hình tốt hơn.

 

Xem thêm cách giải đầy đủ (cho đến sóng $T$, sử dụng phần mềm Scientific Notebook) tại: http://www.intmath.c...artic-plusT.pdf

 

7. Ta đã làm gì?

 

Ta đã lấy từng đỉnh nhọn để đại diện cho một sóng $R$ của nhịp tim. Ta cũng tìm công thức có thể lặp lại đỉnh theo các khoảng thời gian bằng nhau. Chuỗi Fourier (tổng vô hạn các biểu thức lượng giác) đã cho ta công thức.

 

Cuối cùng, ta thêm sóng $T$, sử dụng cùng lý thuyết như trước.

 

Chuỗi Fourier rất hữu dụng trong điện tử học và âm học, nơi các sóng có tính chu kỳ.

 

Bài viết do Võ Hoàng Trọng, thành viên Chuyên san EXP dịch.

 

Nguồn: http://www.intmath.c...ier-series-4281