Đến nội dung


Zaraki

Đăng ký: 07-03-2011
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#668479 Tuần 3 tháng 1 năm 2017: Chứng minh $PA^2=PI \cdot PJ$.

Gửi bởi Zaraki trong 15-01-2017 - 21:28

Như vậy lời giải cho bài Tuần 2 tháng 1 đã được thầy Hùng cho tại đây và kèm theo đó là bài toán mới. Xin được trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với tâm nội tiếp $I$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với $CA,AB$ tại $E,F$ và tiếp xúc trong $(O)$. Tiếp tuyến qua $A$ của các đường tròn $(K),(L)$ ngoại tiếp các tam giác $ABE, ACF$ cắt $BE,CF$ lần lượt tại $S,T$. $KS$ cắt $LT$ tại $M$. Trung trực $AI$ cắt $AO$ tại $N$. $MN$ cắt $AI$ tại $P$. Chứng minh rằng $PA^2= PI \cdot PJ$.

 

 Screen Shot 2017-01-16 at 12.25.20 AM.png




#668256 Đề ra kì này tạp trí Pi số đầu tiên

Gửi bởi Zaraki trong 14-01-2017 - 02:09

Mong các bạn không thảo luận đề bài còn hạn trên diễn đàn nhé. :)

Nếu các bạn biết đề đã cũ và đã được giải ở đâu đó trên diễn đàn và các bạn có ý định gửi lời giải, mình nghĩ tốt nhất các bạn hãy ghi rõ nguồn lời giải rồi gửi cho tạp chí.




#667699 Tuần 2 tháng 1/2017: Chứng minh đường tròn đi qua 2 điểm cố định

Gửi bởi Zaraki trong 09-01-2017 - 03:06

Như vậy bài toán Tuần 1 tháng 1 đã được thầy Hùng cho lời giải tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $P$ di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. $S,T$ là hai điểm cố định trên $(O)$. $PS,PT$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $EF$ cắt một đường tròn $(K)$ cố định qua $BC$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng đường tròn $(PQR)$ luôn đi qua hai điểm cố định khi $P$ thay đổi.

 

 Screen Shot 2017-01-09 at 6.05.53 AM.png




#667337 Đề Thi VMO năm 2017

Gửi bởi Zaraki trong 06-01-2017 - 20:07

Một ý tưởng khác cho câu 6b ?

 

Bài 6 câu b nhìn vào vế trái ta cũng có thể liên tưởng đến đẳng thức quen thuộc

$$\sum_{k=0}^{m-1}(-1)^k\binom{n}k=(-1)^{m-1}\binom{n-1}{m-1}.$$

Ta đưa về việc chứng minh $(-1)^{(p-1)/4} \binom{p-1}{(p-1)/4}-1 \equiv 3(2^{p-1}-1) \pmod{p^2}$. Nhìn nó đơn giản hơn cái ban đầu nhưng mình vẫn chưa có ý tưởng khai thác gì. Mong các bạn có thể cho ý kiến thêm.




#667333 Đề Thi VMO năm 2017

Gửi bởi Zaraki trong 06-01-2017 - 19:55

Như vậy ta chỉ cần chứng minh $$2\sum_{i=1}^{(p-1)/4}\frac 1i \equiv 3 \sum_{i=1}^{(p-1)/2} \frac 1i \pmod{p}.$$

Đến đây thì mình tắc ...

Điều trên tương đương với việc chứng minh $$A=\sum_{i=1}^{(p-1)/4}\frac 1i+ 3 \sum_{j=(p+3)/4}^{(p-1)/2} \frac 1j =B+C \equiv 0 \pmod{p}.$$

Kí hiệu $s(a)$ là ước số lẻ lớn nhất của $a$. Nếu $a>b$ là hai số nguyên dương trong khoảng $\left[ \frac{p+3}{4}, \frac{p-1}{2} \right]$ thì $s(a) \ne s(b)$, vì nếu $s(a)=s(b)$ thì $a \ge 2b \ge \frac{p+3}{2}>\frac{p-1}{2}$ suy ra $a$ không nằm trong khoảng, mâu thuẫn. Ta gọi tính chất này là tính chất $(1)$. Cũng để ý rằng nếu $a \in \left[ \frac{p+3}{4}, \frac{p-1}{2} \right]$ thì $\frac{a}{2^k} \in \left[ 1, \frac{p-1}{4} \right]$ với $1 \le k \le \nu_2(a)$.

 

Ta ghép $A$ như sau: Với mỗi số nguyên dương $a \in \left[ \frac{p+3}{4}, \frac{p-1}{2} \right]$ ta lấy $\frac{2}{a}$ từ $C$ và $\frac{1}{a/2},\cdots, \frac{1}{a/2^{\nu_2(a)}}$ từ $B$ để ghép thành nhóm tổng $T_a$ là $\frac{2}{a}+\frac{1}{a/2}+ \cdots + \frac{1}{a/2^{\nu_2(a)}}= \frac{2}{a/2^{\nu_2(a)}}.$

 

Theo tính chất $(1)$ ta thấy $s(a) \ne s(b)$ với mọi $a,b \in \left[ \frac{p+3}{4}, \frac{p-1}{2} \right]$ nên ta suy ta mỗi số hạng $\frac 1i$ trong $B$ thuộc duy nhất một nhóm $T_a$. Do đó, sau khi tiến hành nhóm tổng như trên, ta sẽ được tổng mới $$A= \sum_{i=(p+3)/4}^{(p-1)/2} \left( \frac{2}{a/2^{\nu_2(a)}}+\frac{1}{a} \right).$$

Bây giờ, với mỗi $a \in \left[ \frac{p+3}{4}, \frac{p-1}{2} \right]$ ta chứng minh rằng tồn tại duy nhất một $d(a) \in \left[ \frac{p+3}{4}, \frac{p-1}{2} \right]$ sao cho $2d(a)+\frac{a}{2^{\nu_2(a)}} \equiv 0 \pmod{p}$, tức $p \mid \frac{2}{a/2^{\nu_2(a)}}+\frac{1}{d(a)}$. Thật vậy, giả sử mâu thuẫn, không tồn tại $d(a) \in \left[ \frac{p+3}{4}, \frac{p-1}{2} \right]$ thì ta suy ra tồn tại $c \in \left[ 1, \frac{p-1}{4} \right]$ sao cho $2c+\frac{a}{2^{\nu_2(a)}} \equiv 0 \pmod{p}$. Tuy nhiên, $0<2c+ \frac{a}{2^{\nu_a(2)}} \le \frac{p-1}{2}+\frac{p-1}{2}<p$, mâu thuẫn. Vậy tồn tại $d(a)$. Dễ dàng chứng minh $d(a)$ là duy nhất. Như vậy $$A=\sum_{i=(p+3)/4}^{(p-1)/2} \left( \frac{2}{a/2^{\nu_2(a)}}+\frac{1}{a} \right) = \sum_{i=(p+3)/4}^{(p-1)/2} \left( \frac{2}{a/2^{\nu_2(a)}}+\frac{1}{d(a)} \right) \equiv 0 \pmod{p}.$$

Từ đây ta suy ra $\frac{2VT}{p} \equiv \frac{2VP}{p} \pmod{p}$ suy ra $VT \equiv VP \pmod{p^2}$.




#667309 Đề Thi VMO năm 2017

Gửi bởi Zaraki trong 06-01-2017 - 18:10

Bài 6 . (7,0 điểm) 

 

Chứng minh rằng:

 

a)$\sum_{k=1}^{1008}kC_{2017}^{k}\equiv 0$ (mod $2017^2$ )

 

b)$\sum_{k=1}^{504}\left ( -1 \right )^kC_{2017}^{k}\equiv 3\left ( 2^{2016}-1 \right )$ (mod $2017^2$ )

 

a) Để ý rằng $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$ nên bài toán tương đương với việc chứng minh $2017 \mid \sum_{k=0}^{1007} \binom{2016}{k} \equiv 0 \pmod{2017}$. Điều này đúng do $\binom{p-1}{i} \equiv (-1)^i \pmod{p}$ với mọi $0 \le i \le p-1$.

 

b) Hiện tại mình chưa thể xử lí nốt phần cuối, hy vọng các bạn có thêm ý tưởng để giải quyết phần này: Bài toán tương đương với chứng minh $$\sum_{k=1}^{(p-1)/4} (-1)^k \binom{p}{k} \equiv 3(2^{p-1}-1) \pmod{p^2}$$ với mọi $p \equiv 1 \pmod{4}$. Ta thấy rằng $$\frac 1p \binom{p}{k} = \frac{(p-1)!}{k!(p-k)!}= \frac{(p-k+1) \ldots (p-1)}{k!} \equiv \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{k!}= \frac{(-1)^{k-1}}{k} \pmod{p}.$$

Do đó $$\frac{2VT}{p} \equiv - 2\sum_{k=1}^{(p-1)/4} \frac{1}{k} \pmod{p}.$$

Mặt khác, do $2^p= \sum_{i=1}^p \binom{p}{i}$ nên $$\frac{2VP}{p}=\frac{3(2^p-2)}{p}= 3 \cdot \frac 1p \sum_{i=1}^{p-1}\binom{p}{i}= 3 \sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i}\binom{p-1}{i-1} \equiv 3 \sum_{i=1}^{p-1} \frac{(-1)^{i-1}}{i} \pmod{p}.$$

Do $p \mid 1+\frac 12+ \cdots + \frac{1}{p-1}$ nên $$\sum_{i=1}^{p-1}\frac{(-1)^{i-1}}{i}= \sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i}- \sum_{i=1}^{(p-1)/2}\frac 1i \equiv -\sum_{i=1}^{(p-1)/2} \frac 1i \pmod{p}.$$

Như vậy ta chỉ cần chứng minh $$2\sum_{i=1}^{(p-1)/4}\frac 1i \equiv 3 \sum_{i=1}^{(p-1)/2} \frac 1i \pmod{p}.$$

Đến đây thì mình tắc ...




#667303 Đề cử Thành viên nổi bật 2016

Gửi bởi Zaraki trong 06-01-2017 - 17:49

Xin cho mình/em rút khỏi cuộc bình chọn năm nay vì một số lí do.

 

1. Tên ứng cử viên: baopbc, tritanngo99, I Love MC, PlanBbyFESNvanchanh123.

2. Thành tích đóng góp nổi bật: Các thành viên trên đều tích cực tham gia thảo luận trên diễn đàn. tritanngo99 mình thấy rất tích cực điều hành trong box THCS. Bảo (baopbc) đã giúp duy trì thảo luận về chuyên mục Mỗi tuần một bài toán của thầy Hùng trên diễn đàn trong suốt năm 2016. 




#666533 Tuần 1 tháng 1/2017: Chứng minh đường thẳng chia đôi đoạn thẳng

Gửi bởi Zaraki trong 01-01-2017 - 22:15

Như vậy thầy Hùng đã đưa lời giải cho bài Tuần 4 tháng 12/2016 tại Tuần 1 tháng 1 năm 2017 và kèm theo đó là bài toán mới. Xin được trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ có đường đối trung $AD$. $O,K,L$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $ABC,ADB,ADC$. $J$ thuộc $KL$ sao cho $JD \perp BC$. Trung trực $KL$ cắt $OJ$ tại $P$. $I,Q$ lần lượt là trung điểm $AO,JD$. $H$ là hình chiếu của $I$ lên đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $AD$. Chứng minh rằng $QH$ chia đôi $AP$.




#662211 Tạp chí PI của bạn - Thách đấu Toán học số 1

Gửi bởi Zaraki trong 17-11-2016 - 11:20

k biết khi nào mới xuất bản nhỉ ,mà có khó lắm k nhỉ

Bạn chịu khó đọc thông tin mình có trích trên post đầu, hoặc đọc trong trang FB tạp chí PI. Mấy câu bạn hỏi đều có câu trả lời trên đó hết.




#662032 Tạp chí PI của bạn - Thách đấu Toán học số 1

Gửi bởi Zaraki trong 15-11-2016 - 17:30

Bài hình câu 6, câu 7 đề thiếu chính xác.

Ý bạn là đề sai hay sao? Mình không nghĩ vậy. 




#662021 Tạp chí PI của bạn - Thách đấu Toán học số 1

Gửi bởi Zaraki trong 15-11-2016 - 16:49

Pi(3).jpg

 

Tạp chí PI của bạn là tạp chí toán mới do thầy Hà Huy Khoái làm tổng biên tập và GS Ngô Bảo Châu làm Phó tổng biên tập. Tạp chí sẽ được ra hằng tháng bắt đầu từ năm sau. Hiện tại các bạn có thể biết thêm thông tin về tạp chí nếu bằng cách follow FB PI của bạn.

 

Trích dẫn một số thông tin về tạp chí từ FB:

 

 

 

Tạp chí Pi dự kiến sẽ được xuất bản hàng tháng gồm 4 trang bìa (màu) và 64 trang ruột khổ 19 x 27cm. Nội dung của Tạp chí dự kiến bao gồm các chuyên mục sau:
+ Cùng bạn giải toán: Trước mỗi bài toán, tìm các hướng tiếp cận trên cơ sở phân tích kỹ đề ra. phân tích sự kết nối giữa các bài toán, các ý tưởng giải toán, so sánh các lời giải khác nhau của cùng một bài toán để làm nổi lên cái cốt lõi của nó. Các thầy chia sẻ kinh nghiệm chuyên môn về hình thức chuyển tải một khái niệm, một định lý khó.
+ Toán học từ cổ điển đến hiện đại: Giới thiệu phương pháp tư duy của toán học hiện đại thông qua những khái niệm, những định lý chính, cũng như thông qua sự liên hệ giữa những bài toán ở mức phổ thông với toán cao cấp. Chuyên mục này dành cho sinh viên toán đại học, các thầy cô dạy toán và các học sinh chuyên đặc biệt năng khiếu.
+ Toán học trong thế giới tự nhiên: Diễn giải các khái niệm, các định lý của toán học thông qua các hiện tượng thiên nhiên và xã hội mà chúng ta quan sát hoặc cảm nhận được. Giới thiệu những thành công của toán học ứng dụng vào đời sống. Làm cho bạn cảm nhận vẻ đẹp của toán thông qua sự tưởng tượng trong không gian, việc trải nghiệm với thời gian, tính tổng quát và sự tối giản trong phát biểu các khái niệm và các định lý, sự chặt chẽ và tính bất ngờ trong các chứng minh…
+ Giới thiệu sách: Giới thiệu sách toán và khoa học xuất bản bằng tiếng Việt và tiếng nước ngoài. Giải thích thuật ngữ mới, xây dụng hệ thống thuật ngữ chuẩn trong tiếng Việt. 
+ Đấu trường Toán học: Giới thiệu các cuộc thi Olympic trong nước và trên thế giới: hình thức thi, thể lệ, các đề thi và lời giải, cùng các bình luận phân tích để bạn đọc có thể vận dụng vào việc tổ chức các kỳ thi cũng như việc tổ chức các đề thi học sinh giỏi các cấp. 
+ Đối thoại toán học: Bao gồm những bài phóng sự, những bài phỏng vấn về những con người cụ thể, những tấm gương trong việc học, dạy, nghiên cứu và truyền bá toán học.
+ Thách thức toán học: Bao gồm đề thi mỗi kỳ cho các cấp học; lời giải cho những đề ở số trước do độc giả gửi, cùng với lời bình luận của biên tập. Tổ chức trao giải cho học sinh sinh viên có nhiều lời giải hay cho các đề toán ra hàng tháng. Dự kiến các học sinh có thành tích cao sẽ dự Vòng Chung kết năm dưới hình thức thi theo các khu vực có giám sát. Các học sinh đạt giải cao sẽ được tạp chí trao phần thưởng và đề nghị với các Quỹ Khuyến học, Quỹ Phát triển tài năng trao học bổng có giá trị nhằm cổ vũ và tạo điều kiện để các em phát triển tài năng.
+ Quán Toán: Các câu chuyện vui về toán học, nghề làm toán và các nhà toán học, bao gồm cả Lịch sử Toán học (phân tích xuất xứ các khái niệm, định lý Toán học, sự phát sinh và phát triển của các ý tưởng, các xu hướng trong Toán học…), đố vui toán học, “sai đâu sửa đấy” hay “sai lầm ở đâu” (tìm cái sai trong lập luận),…
+ Thư bạn đọc.
+ Một số mục khác.

 

Địa chỉ gửi bài viết và bài dự thi Giải Toán trên Tạp chí PI:

1) Thư điện tử gửi về: bbt@pi.edu.vn 
2) Thư gửi qua Bưu điện theo địa chỉ:
Toà soạn Tạp chí PI
Phòng 705 - B8
Tầng 7, Thư viện Tạ Quang Bửu 
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội.
Số 1 Đại Cồ Việt, Hà Nội
Chú ý: Đề thi Giải toán qua thư trên Tạp chí PI sẽ công bố vào ngày 15/11/2016 cho 2 cấp học: THCS và THPT. Mong các nhà trường thông báo để các học sinh yêu toán có thể tham gia.

 

 

Hiện tại tạp chí đã cho ra mục Thách đấu toán học (tương đương với Đề ra kì này trong THTT). "Thách thức toán học sẽ là chuyên mục định kỳ của tạp chí Pi. Mỗi số, Ban biên tập sẽ tuyển chọn từ các đề đề xuất ra 10 bài toán, trong đó có 4 bài toán đầu (từ P1 đến P4) dành cho cấp THCS và 6 bài toán sau (từ P5 đến P10) dành cho cấp THPT. Tuy nhiên các bạn có thể giải bất kỳ bài nào có thể.

Thời hạn giải bài sẽ là một tháng kể từ ngày đăng đề. Những lời giải hay sẽ được chọn đăng trong số báo của tháng tiếp theo (tức là sau 2 tháng). Những lời giải hay cho các bài kỳ này sẽ được chọn đăng trong số đầu tiên của tạp chí Pi!

Đề đề xuất cho chuyên mục và bài dự thi giải toán trên tạp chí Pi xin gửi về: 
1) Thư điện tử: bbt@pi.edu.vn 
2) Gửi qua Bưu điện theo địa chỉ: Toà soạn Tạp chí Pi, phòng 705 B8; tầng 7; thư viện Tạ Quang Bửu, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Số 1 Đại Cồ Việt, Hà Nội.

Pi(1).jpg

Pi(2).jpg

Nguồn từ FB tạp chí PI.

 




#661708 Chứng minh $ 3$ là căn nguyên thủy mod $p$.

Gửi bởi Zaraki trong 13-11-2016 - 05:37

Bài toán tương đương với việc chứng minh $\text{ord}_p(3)=p-1=2^n$ hay $p \mid 3^{(p-1)/2}+1=3^{2^{n-1}}+1$. Dễ thấy $p \ge 3$ thì $p \equiv 2 \pmod{3}$ suy ra $\left( \frac{p}{3} \right)=-1$. Theo Luật tương hỗ Gauss thì $$\left( \frac{3}{p} \right) \left( \frac{p}{3} \right)= (-1)^{\frac{3-1}{2} \cdot \frac{p-1}{2}}=1.$$

Do đó $\left( \frac{3}{p} \right)=-1$ hay $p \mid 3^{(p-1)/2}+1$.




#655353 Tập hợp đề thi Toán các tỉnh thành qua các năm (Update 2016-2017)

Gửi bởi Zaraki trong 24-09-2016 - 15:13

Năm 2016-2017

 

I. Chọn đội tuyển thi VMO

 

Chuyên KHTN:

Olympic chuyên KHTN

 

1. Đề vòng 1 (ngày 1,2)

 

2. Đề vòng 2 (ngày 1,2)

 

3. TP Đà Nẵng

 

4. PTNK TP HCM ngày 1

 

5. PTNK TP HCM ngày 2

 

6. Tỉnh Hà Tĩnh

 

7. Tỉnh Hoà Bình Vòng 1

  

   ĐỀ THI CHỌN ĐT QUỐC GIA TP HÒA BÌNH ( NGÀY 2 )

 

8. Chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk vòng 2

 

Chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk vòng 1

 

9. Thành phố Hà Nội

 

10. Tỉnh BÌnh Dương Vòng 2 ngày 1

 

11. Tỉnh Bình Dương vòng 2 ngày 2

 

12. Tỉnh Bình Dương vòng 1

 

13. Trường Hà Nội Amsterdam

 

14. Chuyên Kon Tum

 

15. Chuyên Bảo Lộc (Lâm Đồng)

 

16. ĐỀ THI CHỌN ĐT QG TỈNH QUẢNG NINH NĂM 2016-2017 Vòng1

      

     Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia tỉnh Quảng Ninh ngày 2 2016-2017

 

17.Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia tỉnh Bắc Ninh 2016-2017

 

18.Đề chọn đội tuyển học sinh quốc gia thành phố Hồ Chí Minh năm 2016-2017 (ngày 2)

 

19.Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Thái Nguyên, năm học 2016 - 2017

 

20.Đề thi chọn đội tuyển Quốc gia tỉnh Bà Rịa-Vũng Tàu năm 2016-2017

 

21.Đề thi chọn đội tuyển Quốc gia tỉnh Nghệ An năm 2016-2017

 

22.ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BÊN TRE năm 2016-2017

 
 
 

 

     Đề thi chọn đội tuyển Quốc gia tỉnh Thanh Hóa năm 2016-2017(vòng 2)

 

25.Đề Thi HSG Toán TP Hải Phòng ( bảng không chuyên ) năm 2016-2017

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinh Xuan Hung:To Be Continued
 

II. Đề khác

 

1. HSG Khối 10 ĐHSP HN

 

III. Trại hè, GGTH, Olympic 30/4

1. Trại hè Hùng Vương toán 10

Trường thu Toán học Hùng Vương

2. Trại hè Phương Nam

3. Trường hè Toán học bài kiểm tra số 1

Trường hè Toán học bài kiểm tra số 2

Trường hè Toán học phần đại số (bài giảng thầy Trần Quốc Luật)

Trường hè Toán học phần tổ hợp (bài giảng thầy Trần Mạnh Sang)

4. GGTH lần VIII




#655041 Đề chọn đội tuyển Quốc Gia Hà Tĩnh 2016-2017 (2 ngày)

Gửi bởi Zaraki trong 21-09-2016 - 21:27

Bài 4 ngày 1 của đề lấy từ IMO Shortlist 2008 C2.




#649892 Thặng dư toàn phương

Gửi bởi Zaraki trong 16-08-2016 - 17:18

Gợi ý là sử dụng kiến thức liên quan đến số chính phương modulo $p$: $\left( \frac 2p \right), \left( \frac 3p \right), \left( \frac 6p \right)$.