PSW

Đề bài

Cho $x,y$ là số thực thoả mãn
$$x^2-y^2+2xy=5.$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $3x^2+2y^2$.

Đề bài

Tết đến xuân về, không ít các bạn trẻ yêu thích món nước ngọt Coca Cola nổi tiếng. Nhưng bạn có biết rằng một lon nước Coca Cola kinh điển cao ốm có đường kính 5,5 cm và chiều cao 14,5 cm?

1. Vậy bạn hãy trổ tài tính thử xem một thùng giấy hình hộp chữ nhật để đựng 24 lon nước này (1 lớp, 4 hàng, mỗi hàng 6 lon) sẽ cần bao nhiêu \(m^2\) giấy ? (Không kể phần giấy rìa để dán mép)
2. Liệu có cách sắp xếp lon nào để tiết kiệm giấy hơn \(1\%\) không ?
3. Nếu ban đầu có $\textbf{48}$ lon nước thì kết quả tốt nhất của bạn là bao nhiêu ?

Topic này dùng để đăng tải đề thi lĩnh vực Đại số của Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổi"

Thời gian công bố đề: 12h00, ngày 11/02/2024 (Mùng 2 Tết)
Hạn cuối nộp bài: 11h59 ngày 12/02/2024 (Mùng 3 Tết)

Sau khi trọng tài hxthanh post đề, các thành viên THCS có thể đăng lời giải vào topic này. BQT sẽ cài đặt để các thành viên không nhìn thấy bài làm của nhau.



Thí sinh cần nhấn “xem trước” bài viết của mình cẩn thận trước khi post bài nhằm tránh sai sót (lỗi Latex, v.v…) vì sau khi gửi bài sẽ không xem lại và không sửa được nữa

Kính chào các thành viên Diễn đàn toán học!

Như các bạn đã biết, năm 2024 là năm kỷ niệm 20 năm thành lập Diễn đàn toán học (VMF). Đối với một đời người thì "20 năm đầu, sung sướng không bao lâu". Nhưng đối với một Forum chuyên về học thuật như VMF thì đó là một chặng đường rất dài. Chúng tôi tin rằng, nếu ai đó trong các thành viên VMF có khả năng viết một cuốn tiểu thuyết về quá trình hình thành và phát triển của Diễn đàn thì cuốn tiểu thuyết đó cũng có số lượng nhân vật không kém "Tam Quốc Diễn Nghĩa", hấp dẫn và kịch tính không kém "1Q84".

Nhân dịp VMF tròn 20 tuổi, BQT Diễn đàn sẽ tổ chức chuỗi hoạt động chào mừng sự kiện trọng đại này. Đầu tiên sẽ là Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổi".

Thể lệ cuộc thi như sau
Điều 1. Ban tổ chức, đối tượng tham dự, trọng tài
a) Ban tổ chức: BQT
b) Đối tượng tham gia:
- Bất kỳ thành viên nào của Diễn đàn toán học, là học sinh THCS đều được tham gia. Các min, mod không được tham gia.
- Cuộc thi này không cần đăng ký tham gia. Người tham dự chỉ cần đọc đề, giải toán và lĩnh thưởng.
c) Trọng tài:
- Tổ trọng tài có nhiệm vụ ra đề, chấm bài, quyết định người được thưởng. Trọng tài không được tham gia thi.
- Tổ trọng tài gồm có: Ispectorgadget, hxthanh, perfectstrong, supermember
Điều 2. Phương thức thi, cách tính điểm:
a) Phương thức thi đấu:
- Số bài thi: 04.
- Lịch thi:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{TT}& \textbf{Lĩnh vực} & \textbf{Thời gian công bố đề} & \textbf{Hạn cuối nộp bài} \\ \hline \text{1}& \text{Đại số} & \text{12h00, ngày 11/02/2024 (Mùng 2 Tết)} & \text{11h59 ngày 12/02/2024 (Mùng 3 Tết)} \\ \hline \text{2}& \text{Số học} & \text{12h00, ngày 12/02/2024 (Mùng 3 Tết)} & \text{11h59 ngày 13/02/2024 (Mùng 4 Tết)}\\ \hline \text{3}& \text{Hình học} & \text{12h00, ngày 13/02/2024 (Mùng 4 Tết)} & \text{11h59 ngày 14/02/2024 (Mùng 5 Tết)}\\ \hline \text{4}& \text{BĐT} & \text{12h00, ngày 14/02/2024 (Mùng 5 Tết)} & \text{11h59 ngày 15/02/2024 (Mùng 6 Tết)}\\ \hline \end{array} $$
- Sau khi đề thi được công bố, các thành viên giải bài trực tiếp bằng cách gõ lời giải vào topic có đề thi. BQT sẽ cài đặt để các thành viên không nhìn thấy bài làm của nhau. Các thành viên cũng có thể giải bài ra giấy rồi chụp ảnh và đăng bài.
- Sau khi hết giờ làm bài, BQT sẽ cho hiện tất cả bài làm. Các thành viên được nhận xét bài làm của nhau.

b) Cách tính điểm
- Bài trả lời lần đầu của thí sinh được tính theo thang điểm 10. Nhiều thí sinh cùng được 10đ thì thí sinh trả lời trước được ưu tiên

- Các trả lời sau của cùng thí sinh đó thì được tính là cách giải khác.

Điều 3. Quảng bá, đảm bảo công bằng
- Mọi thành viên của VMF có trách nhiệm quảng cáo, truyền bá về cuộc thi bằng cách giới thiệu trên các diễn đàn, blog, facebook và các phương tiện truyền thông khác về Điều lệ, Lịch thi, kết quả các bài thi.
- Đối với Đề thi:
+ Chỉ được đăng tải đề thi đấu lên diễn đàn khác khi trận đấu đã kết thúc.
+ Nếu đăng đề thi lên blog, facebook, ... trước khi trận đấu kết thúc thì không được phép để người đọc phản hồi bằng cách giải đề thi.
- Mọi thành viên của VMF đều có trách nhiệm phát hiện các vi phạm và thông báo lại cho BQT.

Điều 4. Khen thưởng – kỉ luật
a) Khen thưởng.
- Sau khi kết thúc cuộc thi, BTC sẽ trao 01 giải Chính thức, 02 giải KK cho mỗi bài thi.
+ Giải chính thức: 200.000VND
+ Giải KK: 50.000VND/giải

- Nếu 03 thí sinh được giải trên mà có thêm cách giải khác thì mỗi cách giải đúng khác được +10.000VND.
- Hình thức thưởng: chuyển khoản
b) Kỷ luật
- Thành viên nào post đề bài ở mạng xã hội hoặc diễn đàn khác để nhờ họ giải trước khi trận đấu kết thúc, có hành động phá hoại, gian lận, sửa bài thi sau khi hết giờ thi sẽ bị hủy kết quả.
- Thành viên nào spam, chém gió trong topic thi sẽ bị nhắc nhở theo quy định của diễn đàn.
- Thành viên nào có hành vi khiếm nhã, khinh thường, lăng mạ các toán thủ khác, ... sẽ bị hủy kết quả đồng thời bị nhắc nhở theo quy định của diễn đàn.


Hy vọng cuộc thi sẽ được sự hưởng ứng của các thành viên VMF. Hãy cùng tham gia để nhận tiền lì xì đầu năm và có một thanh xuân đẹp đẽ cùng VMF

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại cách đây 1 tuần nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng  cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng  sẽ mang lại 30 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 14/09 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng  sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng    cho bài toán này.

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   cho bài toán này.

Nếu hết ngày 09/08 mà vẫn không có ai giải được hay phủ định được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng   sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được hay phủ định được bài toán này

Chào các bạn,

BQT lập topic này để cập nhật list Những bài toán trong tuần cho các bạn tiện theo dõi. Các bạn click trực tiếp vào $ \boxed{\text{Bài toán i}}, i \in \{1,..,n\}, n \in \mathbb{N}, n \geq 1 $ để trao đổi về bài toán.
Các bài toán có hoa hồng hi vọng    là các bài toán đã đăng lâu mà chưa ai giải được, người giải được đầu tiên sẽ được nhiều điểm hơn bình thường. Các bài toán màu đỏ là các bài chưa được giải quyết trọn vẹn. Cảm ơn các bạn.

 

$\boxed{\text{Bài toán 301}}$

Cho $n\in \mathbb{N},n\ge 3,f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ sao cho với mọi $n-$ giác đều $A_1A_2...A_n$ ta luôn có

$$f(A_1)+f(A_2)+\cdots+f(A_n)=0$$

(nếu $A_i(x_i;y_i)$ thì ta kí hiệu $f(A_i):=f(x_i;y_i)$). Chứng minh $f\equiv 0$.

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 302}}$

Tìm ước chung lớn nhất của $$ a^2b+b^2c+c^2a, ab^2+bc^2+ca^2,  a+b+c$$ với $a,b,c \in \mathbb{Z},a,b,c>1$ và $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau.

 

$$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}}{x^{4}-x^{2}+1}dx$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 306}}$

Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $

Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $

 

$\boxed{\text{Bài toán 307}}$

$$x^3-\left(9\tan^2 3 \alpha+6\right)x^2+\left(6 \tan^2 3\alpha+9\right) x-\tan ^2 3 \alpha=0$$

1. $u_{n+1}\le u_n+u_n^2$.
2. Tồn tại hằng số $M>0$ sao cho $\sum\limits_{k=1}^n u_k\le M \forall n\in \mathbb{N}$.

Chứng minh rằng $\lim\limits_{n\to +\infty}n.u_n=0$

 

$\boxed{\text{Bài toán 310}}$

Cho các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng

$\boxed{\text{Bài toán 281}}$
Giả sử rằng đa thức $ P(x) $ có hệ số nguyên, nhận giá trị bằng 2 ứng với 4 giá trị $x$ thuộc $\mathbb{Z}$. Chứng minh $ P(x) $ không thể nhận các giá trị 1,3,5,7,9 với mọi $x$ thuộc $\mathbb{Z}$

$\boxed{\text{Bài toán 282}}$
Có tồn tại hay không tứ diện với tọa độ các đỉnh là số nguyên ,và diện tích của bốn mặt là số vô tỷ ?

$\boxed{\text{Bài toán 283}}$
Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có một bội mà chỉ bao gồm các chữ số 0 và 7.

$\boxed{\text{Bài toán 284}}$
Cho hình thang ABCD biết $AD=3BC,AB$ đi qua điểm $M(-12;0), C(2 ; -5),AD$ đi qua $N(-3;5)$. Viết phương trình đường thẳng $AB, AD$ biết diện tích ABCD là $50, AB$ không song song với $Ox,Oy$

$\boxed{\text{Bài toán 285}}$
Cho đường tròn $\left(C\right): x^{2} + y^{2}-6x+2y-15=0$.Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $d: 3x-2y-6=0$ sao cho từ $M$ kẻ tới $\left(C\right)$ hai tiếp tuyến $MA,MB$ ($A,B$ là tiếp điểm) mà $AB$ đi qua điểm $C(0;1)$.

$\boxed{\text{Bài toán 286}}$
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Biết cạnh huyền nằm trên đường thẳng $d: x+7y-31=0$. Điểm $N(7;7)$ thuộc đường thẳng $AC$, điểm $M(2;-3)$ thuộc đường thẳng $AB$ và nằm ngoài đoạn $AB$.

$\boxed{\text{Bài toán 287}}$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=671$.CMR :
$$\sum \frac{x^2-yz}{x^2-yz+2013}\geq 0$$

$\boxed{\text{Bài toán 288}}$
Chứng minh:
\[\sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{C_{2n}^{n} }{2^{2n}} a^{3n} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - a^3}}\]
với 0 < a < 1 và $C_{2n}^{n}$ là tổ hợp chập $n$ của $2n$.

$\boxed{\text{Bài toán 289}}$
1. Đếm số cách chia $n$ cái kẹo (giống nhau) thành $3$ phần không tính đối xứng.
Các cách chia $(a,b,c)$ và $(c,b,a)$ được xem là như nhau. Các phần có thể rỗng

2. Giả sử có 3 mệnh giá tiền là $1$ đồng, $2$ đồng và $4$ đồng. Tính số cách đổi $2n$ đồng ra các loại mệnh giá trên.0


$\boxed{\text{Bài toán 290}}$
Cho tam giác $ABC$. Trên $BC$ lấy các điểm $D, E$ sao cho $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$. Đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD$ và $ACE$ tiếp xúc BC tương ứng tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{MB}+\dfrac{1}{MD}=\dfrac{1}{NE}+\dfrac{1}{NC}$$



---

Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là số phức thỏa $|z_i-1|\le r$ với mọi $r\in (0;1)$, Chứng minh:

\[ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).\]

Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có một bội mà chỉ bao gồm các chữ số 0 và 7. Ví dụ: 2 có bội là 70, 3 có bội là 777.

$\boxed{\text{Bài toán 271}}$ Cho $a,b,c$ thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm $max$ của
$$P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$$

$\boxed{\text{Bài toán 272}}$
Cho tứ diện $S.ABC$ có $SA=a, SB=b, SC=c$ đôi một vuông góc với nhau. Lấy điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ Gọi $u, v, w$ lầ lượt là khoảng cách từ $M$ đến $SA, SB, SC$. Chứng minh rằng :
$$u^2+v^2+w^2 \ge \dfrac{2(abc)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$$.

$\boxed{\text{Bài toán 273}}$ Với mỗi số nguyên dương $n$ gọi $S$ là tập tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ sao cho các hệ số của $P(x)$ đều nguyên dương và không vượt quá $n!$. Một đa thức $P(x)$ thuộc S gọi là 'đẹp' nếu với mọi số nguyên dương $k$ tồn tại vô hạn số trong dãy $P(1);P(2);..$ nguyên tố cùng nhau với $k$.
Cmr : Có tối thiểu $71$% đa thức trong $S$ là 'đẹp'.

$\boxed{\text{Bài toán 274}}$
Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương và $6xyz+30xy+21xz+2yz+105 x+10y+7z = 812$, tìm $x+y+z$.

$\boxed{\text{Bài toán 275}}$ Giải phương trình: $$\left(\cos 2x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\cos \frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$$

$\boxed{\text{Bài toán 276}}$ Cho $\Delta ABC$, đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Đường thẳng $GH$ cắt đường thẳng qua $A$ song song $BC$ tại $L$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.Qua $M$ vẽ tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ cắt $AL$ tại $X$. Chứng minh rằng
$$XA=XL \Leftrightarrow \cos \widehat{BAC}=\frac{b+c}{2a+b+c}$$

$\boxed{\text{Bài toán 277}}$
Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^{3}+y^{2}$ chia hết cho $xy+1$.

$\boxed{\text{Bài toán 278}}$
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $BC=a,AB=AC=b$, biết $\widehat{A}=\dfrac{\pi }{7}$. Chứng minh rằng :
$$a^4-3a^2b^2-ab^3+b^4=0$$

$\boxed{\text{Bài toán 279}}$
Cho tam giác $ABC$, trực tâm $H$. Hai đường thẳng $d$ và $d'$ bất kì qua $H$. $d$ cắt $AB,BC,CA$ tại $C',A',B'$ và $d'$ cắt $AB,BC,CA$ tại $C'',A'',B''$. Gọi tâm của $(HA'A''), (HB'B''),(HC'C'') $ là $ O_{1} , O_{2} , O_{3} $. $HO_{1} , HO_{2} , HO_{3} $ cắt $A'A'',B'B'',C'C''$ tại $M,N,P$. CMR: $M,N,P$ thẳng hàng

$\boxed{\text{Bài toán 280}}$
Cho $p$ là số nguyên tố.
Tính $S= \sum\limits_{k=1}^{ \dfrac{p-1}{2} }[ \dfrac{k^2}{p}]$
với $p \equiv 1\pmod4 $
$[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$


---

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   cho bài toán này.

Nếu hết ngày 07/09 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng   sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng    cho bài toán này.

Nếu hết ngày 3/9 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng    sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   cho bài toán này.

Nếu hết ngày 24/08 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng   sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.