Như vậy lời giải bài Tuần 3 tháng 6/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và bạn Nguyễn Đức Bảo. Xin được trích dẫn lại hai bài toán: Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$ cố định với $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. Các đường cao qua $B,C$ của tam giác $ABC$ cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C$. Gọi $K,L$ lần lượt là tâm ngoại tiếp tam giác $OCM, OBN$. $BK$ cắt $CL$ tại $P$. Chứng minh rằng đường thẳng $AP$ luôn đi qua điểm cố định khi $A$ di chuyển.   Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với hai điểm Brocard là $\Omega_1$ và $\Omega_2$. $\Omega_1A, \Omega_1B, \Omega_1C$ cắt $(O)$ tại $X,Y,Z$ khác $A,B,C$. $\Omega_1\Omega_2$ cắt các đường tròn $(\Omega_1BC)$ và $(\Omega_1YZ)$ tại $M$ và $N$ khác $\Omega_1$. $AN$ và $XM$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P$ và $Q$ khác $D,X$. Chứng minh rằng $PQ$ đi qua $\Omega_2$. 

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 2 tháng 6/2017 đã được đưa tại đây kèm theo là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và các anh Ngô Quang Dương, Trần Quang Huy. Xin được trích dẫn lại hai bài toán: Bài 1. (Trần Quang Hùng) Cho tam giác $ABC$ có các điểm $E,F$ lần lượt nằm trên các cạnh $CA,AB$. $O,K$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $ABC,AEF$. $AK$ cắt $BC$ tại $L$ và cắt đường tròn $(KEF)$ tại $J$ khác $K$. $EF$ cắt $BC$ tại $D$. $OD$ cắt đường tròn $(DLJ)$ tại $G$ khác $D$. Chứng minh rằng $\angle ADO= \angle OAG$. Bài 2. (Ngô Quang Dương, Trần Quang Huy) Cho tam giác $BC$ với $P,Q$ là hai điểm đẳng giác. $PA$ cắt đường tròn $(PBC)$ tại $X$ khác $P$. $QA$ cắt đường tròn $(QBC)$ tại $Y$ khác $Q$. Chứng minh rằng $QX,PY,BC$ đồng quy tại $D$ và $AD$ chia đôi $PQ$. 

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1 tháng 6/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và bạn Nguyễn Hoàng Nam. Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA,AB$ và tiếp xúc trong $(O)$. Trung trực $CA,AB$ cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ tại $E,F$. $J$ là trung điểm $AK$. $JE,JF$ cắt trung trực $AD$ tại $M,N$. $P,Q$ là đối xứng của $D$ qua $KM,KN$. Trên $OF,OE$ lần lượt lấy $U,V$ sao cho $MU \perp AP, NV \perp AQ$. Chứng minh rằng $UV \perp AD$.   Bài 2. Cho tam giác $ABC$ với $P,Q$ là hai điểm đẳng giác trong tam giác. Giao điểm $AP,CQ$ với $(ABC)$ lần lượt là $D,E$. Giao điểm của $DE$ và $BQ$ là $F$. Trung trực của $AB$ cắt $PQ$ tại $T$. Giao điểm của $TE$ và $AB$ là $G$. Chứng minh rằng bốn điểm $B,E,F,G$ cùng thuộc một đường tròn.

Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào các trường THPT chuyên năm học 2017-2018 $\boxed{1}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương $\boxed{2}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Sư Phạm - Hà Nội (vòng 1 + vòng 2) $\boxed{3}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Võ Nguyên Giáp - Quảng Bình $\boxed{4}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Bạc Liêu $\boxed{5}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Trần Hưng Đạo - Bình Thuận (Hệ số 1) $\boxed{6}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Trần Hưng Đạo - Bình Thuận (Hệ số 2) $\boxed{7}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Khánh Hòa $\boxed{8}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên PTNK - ĐHQG TP HCM (vòng 1) $\boxed{9}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên PTNK - ĐHQG TP HCM (vòng 2) $\boxed{10}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hưng Yên $\boxed{11}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định (vòng 1) $\boxed{12}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định (vòng 2) $\boxed{13}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Bà Rịa Vũng Tàu (vòng 1) $\boxed{14}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Bà Rịa Vũng Tàu (vòng 2) $\boxed{15}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Tây Ninh $\boxed{16}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Thành Phố Hồ Chí Minh $\boxed{17}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa $\boxed{18}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Ninh Bình $\boxed{19}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Bình Phước $\boxed{20}$ Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT c...

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 5 tháng 5/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới. Xin được trích dẫn lại hai bài toán mới: Bài 1. (Trần Quang Hùng) Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. $M,N$ là đối xứng của $D$ qua $CA,AB$. $Q,R$ là trung điểm $HC,HB$. $K,L$ là tâm ngoại tiếp tam giác $FNR$ và $EMQ$. $EK$ cắt $FL$ tại $P$. Đường thẳng qua tâm $O$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ song song với $DP$ cắt $CA,AB$ tại $U,V$. $O,H$ cắt $AB,AC$ tại $S,T$. $SU$ cắt $TV$ tại $X$. Chứng minh rằng $XB=XC$.   Bài 2. (Trần Quang Hùng, Ngô Quang Dương) Cho tam giác $ABC$ có $P,Q$ là hai điểm đẳng giác trong tam giác. Đường nối tâm các đường tròn $(PAB),(QAC)$ và $(PAC),(QAB)$ cắt nhau tại $D$. $X$ là tâm đường tròn đi qua tâm các đường tròn $(PAB),(QAC),(PAC),(QAB)$. Tương tự có $E,Y,F,Z$. Chứng minh rằng các đường thẳng $DX,EY,FZ$ đồng quy trên đường thẳng song song với $PQ$ đi qua tâm đường tròn $(ABC)$. 

\[\textbf{IRAN TST 2017}\]  $\text{Ngày thứ nhất}$ Bài Toán 1. Cho số nguyên $n>1$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $n-1 \ge m \ge \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$ sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên thỏa mãn $a_m>0:$$\displaystyle\frac{a_{m}}{m+1}+\frac{a_{m+1}}{m+2}+ \cdots + \frac{a_{n-1}}{n}=\frac{1}{\textrm{lcm}\left ( 1,2, \cdots , n \right )}.$Bài Toán 2. Cho $P$ là một điểm nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho$\angle BPC=2\angle BAC  , \angle PCA = \angle PAD  , \angle PDA=\angle PAC.$Chứng minh rằng $\angle PBD= \left | \angle BCA - \angle PCA \right |.$Bài Toán 3. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb {R}^+ \times \mathbb {R}^+ \to \mathbb {R}^+$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau với mỗi ba số thực dương $x,y,z$.1) $f\left ( f(x,y),z \right )=x^2y^2f(x,z).$2) $f\left ( x,1+f(x,y) \right ) \ge x^2 + xyf(x,x).$ $\text{Ngày thứ hai}$ Bài Toán 4. Cho $6$ điểm nằm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết rằng trong $4$ điểm bất kỳ trong các điểm đã cho, tồn tại một điểm có phương tích đối với đường tròn đi qua ba điểm còn lại bằng một hằng số $k$. Chứng minh rằng cả $6$ điểm đã cho cùng nằm trên một đường tròn.Bài Toán 5. Cho $\left \{ c_i \right \}_{i=0}^{\infty}$ là một dãy các số thực không âm thỏa mãn $c_{2017}>0$. Xét dãy đa thức $P_n(x)$ xác định bởi$P_{-1}(x)=0 \ , \ P_0(x)=1 \ , \ P_{n+1}(x)=xP_n(x)+c_nP_{...

Như vậy lời giải cho hai bài toán tuần 4 tháng 5/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Trịnh Huy Vũ. Xin được trích dẫn lại hai bài toán. Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $K$ là hình chiếu của $H$ lên trung tuyến $AM$. $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Lấy $L$ trên $AD$ sao cho $GL \perp GA$. $P$ là hình chiếu của $L$ lin $EF$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $PLH$ cắt $LG$ tại $Q$ khác $L$. $QH$ cắt $PL$ tại $R$. $J$ thuộc $PK$ sao cho $RJ \parallel EF$. Chứng minh rằng bốn điểm $R,H,J,K$ cùng thuộc một đường tròn.   Bài 2. Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $MN$ là đường kính của $(K)$ sao cho $MN$ vuông gcc $EF$. Lấy $H$ thuộc $(AMN)$ sao cho $AH$ vuông góc $BC$. $L$ là trung điểm $BC$. Chứng minh rằng $AH =2KL$.

Như vậy lời giải cho bài Tuần 3 tháng 5/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và bạn Nguyễn Tiến Hoàng. Xin trích dẫn lại hai bài toán: Bài 1. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. $P,Q$ là hai điểm đối xứng nhau qua trung điểm $BC$ sao cho $PQ \perp AB$. $K$ là lâm ngoại tiếp tam giác $APQ$ và $AR$ là đường đối trung của tam giác $APQ$. $M$ đối xứng $C$ qua phân giác $\angle PAQ$. Lấy $E$ trên $AQ$ sao cho $CE=CQ$. Giả sử có $X$ thuộc $KR$ và $Y$ thuộc $AX$ sao cho $AX=AP, AY=EQ$. Chứng minh rằng $MY \parallel KR$.   Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định với $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. $AO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$ tại $P$ khác $A$. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $APH$ cắt $(O)$ tại $X$ khác $A$. Chứng minh rằng $AX$ luôn đi qua điểm cố định. 

Olympic Toán Châu Á - Thái Bình Dương 2017 lần thứ XXIX Tháng ba, 2017Thời gian làm bài: 4 tiếng                                                                                                                                                                                                      Số điểm mỗi bài toán là 7 Các bài toán phải được giữ bí mật cho đến khi chúng được đăng lên ở đây: http://apmo.ommenlinea.org/. Không được tiết lộ cũng như trao đổi về các bài toán trên internet cho đến khi đó. Thí sinh không được sử dụng máy tính. $\text{Bài toán 1}$. Ta gọi một bộ $5$ số nguyên là sắp xếp được nếu các phần tử của nó có thể được đánh dấu $a,b,c,d,e$ theo một thứ tự nào đó sao cho $a-b+c-d+e=29$. Xác định tất cả các bộ $2017$ số nguyên $n_1,n_2,\dots ,n_{2017}$ sao cho nếu ta đặt chúng lên đường tròn theo chiều kim đồng hồ thì bất kỳ bộ $5$ số nguyên liên tiếp nào cũng...

\[\textbf{IRAN TST 2017}\] $\text{Ngày thứ nhất}$ Bài 1. Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương với $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng\[\frac{(a+c)^{2}}{ad+bc}+\frac{(b+d)^{2}}{ac+bd}+4\geq 4\left ( \frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1} \right )\]Bài 2. Có $13$ học sinh tham gia kỳ thi chọn đội $\text{IMO}$ của một quốc gia. Họ đã làm $6$ bài kiểm tra và điểm đã được công bố. Giả sử không có hai học sinh có điểm bằng nhau ở một bài kiểm tra. Để chọn ra đội tuyển, hội đồng quyết định chọn một hoán vị của $6$ bài kiểm tra và bắt đầu từ bài kiểm tra đầu tiên, ai có điểm cao nhất trong bài này thì được chọn,… Hỏi theo cách này, mọi học sinh đều có thể được chọn? (Đội $\text{IMO}$ sẽ gồm $6$ học sinh).Bài 3. Cho tam giác $ABC$ với $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$. Gọi $\omega $ là một đường tròn bất kỳ qua $A,I_a$ và cắt phần kéo dài của các cạnh $AB,AC$ (kéo dài từ $B,C$) tại $X,Y$ tương ứng. Gọi $S,T$ là các điểm trên các đoạn $I_aB,I_aC$ tương ứng sao cho $\angle AXI_a=\angle BTI_a$ và $\angle AYI_a=\angle CSI_a$. Các đường thẳng $BT,CS$ cắt nhau tại $K$. Các đường thẳng $KI_a,TS$ cắt nhau tại $Z$. Chứng minh rằng $X,Y,Z$ thẳng hàng. $\text{Ngày thứ hai}$ Bài 4. Gọi $P_i$ là số nguyên tố thứ $i$. Cho $n_1<n_2< \cdots$ là dãy các số nguyên dương sao cho với mỗi $i=1,2,3,\cdots$, phương trình $x^{n_i} \equiv 2 \pmod {p_i}$ có nghiệm. Liệu...