Đến nội dung


Chuyên mục

 Photo

Đề thi IRAN TST 2017 - Phần 3

Hôm qua, 18:48

\[\textbf{IRAN TST 2017}\]  $\text{Ngày thứ nhất}$ Bài Toán 1. Cho số nguyên $n>1$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $n-1 \ge m \ge \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$ sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên thỏa mãn $a_m>0:$$\displaystyle\frac{a_{m}}{m+1}+\frac{a_{m+1}}{m+2}+ \cdots + \frac{a_{n-1}}{n}=\frac{1}{\textrm{lcm}\left ( 1,2, \cdots , n \right )}.$Bài Toán 2. Cho $P$ là một điểm nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho$\angle BPC=2\angle BAC  , \angle PCA = \angle PAD  , \angle PDA=\angle PAC.$Chứng minh rằng $\angle PBD= \left | \angle BCA - \angle PCA \right |.$Bài Toán 3. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb {R}^+ \times \mathbb {R}^+ \to \mathbb {R}^+$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau với mỗi ba số thực dương $x,y,z$.1) $f\left ( f(x,y),z \right )=x^2y^2f(x,z).$2) $f\left ( x,1+f(x,y) \right ) \ge x^2 + xyf(x,x).$ $\text{Ngày thứ hai}$ Bài Toán 4. Cho $6$ điểm nằm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết rằng trong $4$ điểm bất kỳ trong các điểm đã cho, tồn tại một điểm có phương tích đối với đường tròn đi qua ba điểm còn lại bằng một hằng số $k$. Chứng minh rằng cả $6$ điểm đã cho cùng nằm trên một đường tròn.Bài Toán 5. Cho $\left \{ c_i \right \}_{i=0}^{\infty}$ là một dãy các số thực không âm thỏa mãn $c_{2017}>0$. Xét dãy đa thức $P_n(x)$ xác định bởi$P_{-1}(x)=0 \ , \ P_0(x)=1 \ , \ P_{n+1}(x)=xP_n(x)+c_nP_{...

  67 Lượt xem · 0 Trả lời

 Photo

Tuần 5 tháng 5/2017: Chứng minh rằng bốn điểm $R,H,J,K$ cùng thuộc một đường tròn.

Hôm qua, 04:00

Như vậy lời giải cho hai bài toán tuần 4 tháng 5/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Trịnh Huy Vũ. Xin được trích dẫn lại hai bài toán. Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $K$ là hình chiếu của $H$ lên trung tuyến $AM$. $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Lấy $L$ trên $AD$ sao cho $GL \perp GA$. $P$ là hình chiếu của $L$ lin $EF$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $PLH$ cắt $LG$ tại $Q$ khác $L$. $QH$ cắt $PL$ tại $R$. $J$ thuộc $PK$ sao cho $RJ \parallel EF$. Chứng minh rằng bốn điểm $R,H,J,K$ cùng thuộc một đường tròn.   Bài 2. Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $MN$ là đường kính của $(K)$ sao cho $MN$ vuông gcc $EF$. Lấy $H$ thuộc $(AMN)$ sao cho $AH$ vuông góc $BC$. $L$ là trung điểm $BC$. Chứng minh rằng $AH =2KL$.

  146 Lượt xem · 1 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi xuantrandong )

 Photo

Tuần 4 tháng 5/2017: Chứng minh rằng $MY \parallel KR$.

21-05-2017

Như vậy lời giải cho bài Tuần 3 tháng 5/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và bạn Nguyễn Tiến Hoàng. Xin trích dẫn lại hai bài toán: Bài 1. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. $P,Q$ là hai điểm đối xứng nhau qua trung điểm $BC$ sao cho $PQ \perp AB$. $K$ là lâm ngoại tiếp tam giác $APQ$ và $AR$ là đường đối trung của tam giác $APQ$. $M$ đối xứng $C$ qua phân giác $\angle PAQ$. Lấy $E$ trên $AQ$ sao cho $CE=CQ$. Giả sử có $X$ thuộc $KR$ và $Y$ thuộc $AX$ sao cho $AX=AP, AY=EQ$. Chứng minh rằng $MY \parallel KR$.   Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định với $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. $AO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$ tại $P$ khác $A$. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $APH$ cắt $(O)$ tại $X$ khác $A$. Chứng minh rằng $AX$ luôn đi qua điểm cố định. 

  593 Lượt xem · 7 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi anonymous01 )

 Photo

Olympic Toán Châu Á - Thái Bình Dương 2017

16-05-2017

Olympic Toán Châu Á - Thái Bình Dương 2017 lần thứ XXIX Tháng ba, 2017Thời gian làm bài: 4 tiếng                                                                                                                                                                                                      Số điểm mỗi bài toán là 7 Các bài toán phải được giữ bí mật cho đến khi chúng được đăng lên ở đây: http://apmo.ommenlinea.org/. Không được tiết lộ cũng như trao đổi về các bài toán trên internet cho đến khi đó. Thí sinh không được sử dụng máy tính. $\text{Bài toán 1}$. Ta gọi một bộ $5$ số nguyên là sắp xếp được nếu các phần tử của nó có thể được đánh dấu $a,b,c,d,e$ theo một thứ tự nào đó sao cho $a-b+c-d+e=29$. Xác định tất cả các bộ $2017$ số nguyên $n_1,n_2,\dots ,n_{2017}$ sao cho nếu ta đặt chúng lên đường tròn theo chiều kim đồng hồ thì bất kỳ bộ $5$ số nguyên liên tiếp nào cũng...

  885 Lượt xem · 6 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi lamNMP01 )

 Photo

Đề thi IRAN TST 2017 - Phần 1

15-05-2017

\[\textbf{IRAN TST 2017}\] $\text{Ngày thứ nhất}$ Bài 1. Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương với $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng\[\frac{(a+c)^{2}}{ad+bc}+\frac{(b+d)^{2}}{ac+bd}+4\geq 4\left ( \frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1} \right )\]Bài 2. Có $13$ học sinh tham gia kỳ thi chọn đội $\text{IMO}$ của một quốc gia. Họ đã làm $6$ bài kiểm tra và điểm đã được công bố. Giả sử không có hai học sinh có điểm bằng nhau ở một bài kiểm tra. Để chọn ra đội tuyển, hội đồng quyết định chọn một hoán vị của $6$ bài kiểm tra và bắt đầu từ bài kiểm tra đầu tiên, ai có điểm cao nhất trong bài này thì được chọn,… Hỏi theo cách này, mọi học sinh đều có thể được chọn? (Đội $\text{IMO}$ sẽ gồm $6$ học sinh).Bài 3. Cho tam giác $ABC$ với $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$. Gọi $\omega $ là một đường tròn bất kỳ qua $A,I_a$ và cắt phần kéo dài của các cạnh $AB,AC$ (kéo dài từ $B,C$) tại $X,Y$ tương ứng. Gọi $S,T$ là các điểm trên các đoạn $I_aB,I_aC$ tương ứng sao cho $\angle AXI_a=\angle BTI_a$ và $\angle AYI_a=\angle CSI_a$. Các đường thẳng $BT,CS$ cắt nhau tại $K$. Các đường thẳng $KI_a,TS$ cắt nhau tại $Z$. Chứng minh rằng $X,Y,Z$ thẳng hàng. $\text{Ngày thứ hai}$ Bài 4. Gọi $P_i$ là số nguyên tố thứ $i$. Cho $n_1<n_2< \cdots$ là dãy các số nguyên dương sao cho với mỗi $i=1,2,3,\cdots$, phương trình $x^{n_i} \equiv 2 \pmod {p_i}$ có nghiệm. Liệu...

  956 Lượt xem · 4 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi lethamduong12 )

 Photo

Tuần 3 tháng 5/2017: đường thẳng $AQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ that đổi.

14-05-2017

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 2 tháng 5/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới. Xin trích dẫn lại hai bài đó: Bài 1. (Trần Quang Hùng) Cho đường tròn $(O)$ cố định với day $BC$ cố định và $A$ di chuyển bên trong $(O)$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA,AB$ và tiếp xúc trong $(O)$. Một đường tròn khác $(O)$ qua $B,C$ tiếp xúc $(K)$ tại $P$. $J$ là tâm bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$. $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. $M,N$ là trung điểm $BC,AH$. $MN$ cắt $JP$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường thẳng $AQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi. Bài 2.  (Trần Quang Hùng, Trịnh Huy Vũ, Trần Quang Huy, Ngô Quang Dương) Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$. $P$ là một điểm nằm trên đường thẳng qua $Q$ song song $BC$. $Q$ là đẳng giác của $P$ trong tam giác $ABC$. $QB,QC$ cắt $EF$ tại $M,N$. Chứng minh rằng $A,M,H,N$ cùng thuộc một đường tròn.

  404 Lượt xem · 3 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi manhtuan00 )

 Photo

Đề thi USA JMO 2017

14-05-2017

\[\textbf{USA JMO 2017}\] $\text{Ngày thứ nhất}$ Bài 1. Chứng minh rằng có vô hạn cặp số nguyên $(a,b)$ sao cho $a>1,b>1$,$(a,b)=1$ và $a^b+b^a$ chia hết cho $a+b$.Bài 2. Xét phương trình $(3x^3+xy^2)(x^2y+3y^3)=(x-y)^7$$(a)$ Chứng minh rằng phương trình có vô hạn nghiệm nguyên dương;$(b)$ Tìm tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình.Bài 3. Cho tam giác đều $ABC$ và điểm $P$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của nó. Gọi $D$ là giao điểm của $PA$ và $BC$, $E$ là giao điểm của $PB$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $PC$ và $AB$. Chứng minh rằng diện tích của tam giác $DEF$ gấp đôi diện tích của tam giác $ABC$. $\text{Ngày thứ hai}$ Bài 4. Tồn tại hay không bộ ba các số nguyên dương $(a,b,c)$ sao cho $(a-2)(b-2)(c-2)+12$ là một số nguyên tố và nó là ước thực sự của số nguyên dương $a^2+b^2+c^2+abc-2017$ ?Bài 5. Cho $O$ và $H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $M$ và $D$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BM=CM$ và $\angle BAD = \angle CAD$. Tia $MO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$ tại $N$. Chứng minh rằng $ \angle ADO=  \angle HAN$.Bài 6. Cho $P_1,P_2,...,P_{2n}$ là $2n$ điểm phân biệt trên đường tròn $x^2+y^2=1$, khác $(1,0)$. Mỗi điểm được tô xanh hoặc đỏ, sao cho có đúng $n$ điểm đỏ và $n$ điểm xanh. Gọi $R_1,R_2,...,R_n$...

  451 Lượt xem · 2 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi Mr Cooper )

 Photo

Tuần 2 tháng 5/2017: Chứng minh rằng trung trực $HL$ chia đôi $BC$.

08-05-2017

Như vậy lời giải cho hai bài toán Tuần 1 tháng 5/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và của hai anh Hoàng Hữu Quốc Huy, Ngô Quang Dương. Xin trích dẫn lại hai bài toán: Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$ và có đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. $AO$ cắt $EF$ tại $J$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AJD$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $HK$ cắt $EF$ tại $P$. $N$ là trung điểm $EF$. $Q$ đối xứng $P$ qua $N$. $R$ là hình chiếu của $H$ trên $AN$. Trên $QR$ lấy $L$ sao cho $HL \perp EF$. Chứng minh rằng trung trực $HL$ chia đôi $BC$.   Bài 2. Cho hai điểm $P,Q$ liên hợp đẳng giác với tam giác $ABC$. $PA,PB,PC$ cắt $BA,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Một đường thẳng $\ell$ đi qua $Q$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $X,Y,Z$. Chứng minh rằng các đường tròn $(ADX),(BEY),(CFZ),(ABC)$ có một điểm chung.

  537 Lượt xem · 3 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi mr dong )

 Photo

BMO 2017

06-05-2017

$34^{th}$ Balkan Mathematical Olyimpiad 2017 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn: \ 2. Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $\Gamma$. $t_{B}$ và $t_{C}$ lần lượt là các tiếp tuyến của $\Gamma$ tại $B$ và $C$, $L$ là giao điểm của 2 tiếp tuyến đó. Đường thẳng qua $B$ song song với $AC$ cắt $t_{C}$ tại điểm $D$. Đường thẳng qua $C$ song song với $AB$ cắt $t_{B}$ tại điểm $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDC$ cắt $AC$ tại $T$ ($T$ nằm giữa $A$ và $C$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEC$ cắt đường thẳng $AB$ tại $S$ ($B$ nằm giữa $S$ và $A$). Chứng minh rằng $ST,AL$ và $BC$ đồng quy. 3. Kí hiệu $\mathbb{N}$ là tập hợp các số tự nhiên. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ sao cho \[n+f(m)\mid f(n)+nf(m)\] với $m,n\in \mathbb{N}$ 4. Trên $1$ bàn tròn có $n>2$ học sinh ngồi. Đầu tiên, mỗi học sinh có $1$ viên kẹo. Mỗi bước tiếp theo, mỗi học sinh chọn một trong những hành động sau: (A) Đưa $1$ viên kẹo cho học sinh ngồi bên trái hoặc bên phải người đó. (B) Chia số kẹo thành $2$ phần (có thể không có gì), $1$ phần đưa cho người bên trái và phần còn lại cho người bên phải người đó. Mỗi bước, các học sinh thực hiện hành động của mình cùng một lúc. Sự phân chia số kẹo được gọi là hợp lệ nếu nó xảy ra trong số bước hữu hạn. Tìm số lượng phân chia hợp lệ. (Hai sự sắp xếp khác nhau khi mà có một học sinh ở mỗi sự sắp xếp có số kẹo khác nhau ) Spoiler Tiếng anh tàm tạm. Bài tổ hợp dịch kh...

  562 Lượt xem · 7 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi dungxibo123 )

 Photo

Đề thi Olympic chuyên KHTN 2017

06-05-2017

$\text{TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN}$$\textbf{TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN}$ \[\textbf{ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2017}\]Môn thi: TOÁNThời gian làm bài: 180 phút,không kể thời gian phát đề $\text{Ngày thi thứ nhất}$ Câu 1. Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=2017$ và\ với mọi số nguyên dương $n \ge 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ để $a_n - 2$ chia hết cho $5^{2017}$Câu 2. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho\ với mọi bộ số $(a,b,c)$ thỏa mãn $ab+bc+ca+1=0$Câu 3. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,E,F$. Trên đường thẳng $EF$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $CM \parallel BN \parallel DA$. $DM,DN$ lần lượt cắt đường tròn $(I)$ tại $P,Q$ khác $D$.a) Chứng minh rằng $BP,CQ,AD$ đồng quy tại điểm $J$b) Gọi $X$ là trung điểm $PQ$. Chứng minh rằng $JX$ đi qua trung điểm $MN$.Câu 4. Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng\[ \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 + ca \left( \frac{2+b}{1+b+c} \right)^2+ a \left( \frac{2+c}{1+c+a} \right)^2 \le 1+a+ca \] $\text{Ngày thi thứ hai}$ Câu 5. Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(m,n,k)$ thỏa mãn\ Câu 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. $AI$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PK$...

  5025 Lượt xem · 55 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi Hieutran2000 )


Những bài toán trong tuần

Khảo sát sự hội tụ của dãy số $x_n$ với $$\begin{cases}x_0 \geq 0 \\ x_{n+1}=\frac{6}{2+x_n^2} \end{cases} \ \ \ n \geq 0$$ .

>>Tham gia giải bài toán này<<

Những bài toán đã qua


Mỗi tuần 1 bài toán hình học

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. $P,Q$ là hai điểm đối xứng nhau qua trung điểm $BC$ sao cho $PQ \perp AB$. $K$ là lâm ngoại tiếp tam giác $APQ$ và $AR$ là đường đối trung của tam giác $APQ$. $M$ đối xứng $C$ qua phân giác $\angle PAQ$. Lấy $E$ trên $AQ$ sao cho $CE=CQ$. Giả sử có $X$ thuộc $KR$ và $Y$ thuộc $AX$ sao cho $AX=AP, AY=EQ$. Chứng minh rằng $MY \parallel KR$.
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định với $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. $AO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$ tại $P$ khác $A$. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $APH$ cắt $(O)$ tại $X$ khác $A$. Chứng minh rằng $AX$ luôn đi qua điểm cố định.


Tham gia giải bài toán này

Ấn phẩm của Diễn đàn Toán học

 

 

 

Bài viết mới


  • 576180 Bài viết
  • 93317 Thành viên
  • ngocdiepnguyenthi Thành viên mới nhất
  • 17600 Online đông nhất

554 người đang truy cập (trong 20 phút trước)

1 thành viên, 553 khách, 0 thành viên ẩn danh   (Xem đầy đủ danh sách)


NTL2k1


Portal v1.4.0 by DevFuse | Based on IP.Board Portal by IPS