Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 5 (6,0 điểm)Cho đa thức $P(x) = a_{21}x^{21} + a_{20}x^{20} + .. +a_1x+a_0$ có các hệ số thuộc $[1011,2021]$. Biết rằng $P(x)$ có nghiệm nguyên và $c$ là một số dương sao cho $\left | a_{k-2}- a_k \right | \leq c$ với mọi $k \in \left\{ 0,1,...,19 \right \}$. a) Chứng minh rằng $P(x)$ có đúng một nghiệm nguyên. b) Chứng minh $\displaystyle \sum_{k=0}^{10} \left ( a_{2k+1} - a_{2k} \right ) ^2 \leq 440c^2$. Bài 6 (7,0 điểm)Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào).a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau)?b) Sau khi chia, học sinh này sơn 30 viên bi đó bởi một số màu (mỗi viên được sơn đúng một màu, một màu có thể sơn cho nhiều viên bi), sao cho không có 2 viên bi nào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từ 2 hộp bất kỳ không thể chọn ra được 8 viên bi được sơn bởi 4 màu. Chứng minh rằng với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn 10 màu để sơn bi.c) Hãy chỉ ra một cách chia sao cho với đúng 10 màu học sinh có thể sơn bi thoả mãn các điều kiện ở câu b). Bài 7 (7,0 điểm)Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$. Đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $B$ cắt trung tuyến đi qua $A$ của tam giác $ABC$ tại $G$. Ch...

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1 (5,0 điểm)Cho dãy số thực $\left ( x_n \right )$ có $x_1 \in \left ( 0; \dfrac{1}{2} \right )$ và $x_{n+1}=3x_n^2-2nx_n^3$ với mọi $n \geq 1$.a) Chứng minh $\lim{x_n}=0$.b) Với mỗi $n \geq 1$ đặt $y_n=x_1+2x_2+...+nx_n$. Chứng minh rằng dãy $\left ( y_n \right )$ có giới hạn hữu hạn. Bài 2 (5,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn$f(x)f(y)=f(xy-1)+xf(y)+yf(x) \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}$ Bài 3 (5,0 điểm)Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có trực tâm $H$ và $D,E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A,B,C$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $HEF$ với tâm $I$ và $K,J$ lần lượt là trung điểm $BC, EF$. Cho $HJ$ cắt lại $(I)$ tại $G$, $GK$ cắt lại $(I)$ tại $L$.a) Chứng minh rằng $AL$ vuông góc với $EF$. b) Cho $AL$ cắt $EF$ tại $M$, $IM$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $IEF$ tại $N$, $DN$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng $PE,QF,AK$ đồng quy. Bài 4 (5,0 điểm)Với số nguyên $n \geq 2$, gọi $s(n)$ là tổng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và không nguyên tố cùng nhau với $n$.a) Chứng minh rằng $s(n)= \dfrac{n}{2} \left (n+1- \varphi (n) \right )$, trong đó $\varphi (n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $n \geq 2$ thoả mãn $s(n)=s(n+2021)$. - HẾT - (Nguồn: Hướng tới Olympic Toán VN)

Kỳ thi Olympic toán học quốc tế lần thứ 61 (IMO2020) đã kết thúc. Đoàn VN đạt được 2 huy chương vàng, 1 huy chương bạc, hai huy chương đồng, đứng thứ 17 toàn đoàn. Ba đội đứng đầu là Trung Quốc, Nga, Mỹ. Đoàn Thái Lan bất ngờ đứng thứ 5. Tuy thứ hạng năm nay không cao, nhưng đoàn VN đã có một thí sinh lọt vào top 4. Đó là em Ngô Quý Đăng (trường THPT chuyên Khoa học tự nhiên Hà Nội). Điều đáng tự hào là em Đăng mới học lớp 10.   Các bạn trong đội tuyển có nick trên VMF không nhỉ?

Ngày 1 Bài 1. Cho tứ giác lồi $ABCD$. Điểm $P$ nằm bên trong của $ABCD$. Biết rằng:$$\angle PAD :\angle PBA :\angle DPA = 1: 2: 3 = \angle CBP :\angle BAP :\angle BPC.$$Chứng minh rẳng ba đường thẳng sau cùng đi qua một điểm: các phân giác trong của các góc $\angle ADP$ và $\angle PCB$ và đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Bài 2. Cho các số thực $a, b, c, d$ thỏa mãn $a \geq b \geq c \geq d > 0$ và $a + b + c + d = 1$. Chứng minh rằng:$$(a + 2b + 3c + 4d) a^a b^b c^c d^d < 1.$$ Bài 3. Cho $4n$ viên sỏi với khối lượng $1, 2, 3, . . . , 4n$. Mỗi viên sỏi được tô bởi một trong $n$ màu và có đúng bốn viên mỗi màu. Chứng minh rằng ta có thể chia các viên sỏi thành hai đống sao cho hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:• Tổng khối lượng của các viên sỏi ở hai đống là bằng nhau.• Trong mỗi đống có đúng hai viên sỏi mỗi màu Ngày 2 Bài 4.Cho số nguyên $n > 1$. Có $n^2$ ga cáp treo trên một sườn núi tại các độ cao khác nhau. Có hai công ty cáp treo $A$ và $B$, mỗi công ty vận hành $k$ xe cáp treo. Mỗi xe vận chuyển khách từ một ga này đến một ga khác ở vị trí cao hơn và không dừng ở các ga trung gian. Biết rằng, $k$ xe của công ty $A$ có $k$ ga đi khác nhau và $k$ ga đến khác nhau, đồng thời xe nào xuất phát ở ga cao hơn cũng sẽ kết thúc ở ga cao hơn. Điều này cũng đúng với các xe của công ty $B$. Ta nói rằng hai ga được nối bời một công ty nếu có thể xuất phát từ ga thấp hơn đi đến ga cao hơn mà chỉ sử dụng một hoặc nhiều xe của công ty...

Giả sử Hercules phải tiêu diệt một con Hydra. Nó được mô tả như ở Hình 1. Nếu ai đã biết đến lý thuyết đồ thị: Một con Hydra đơn giản là một cây có gốc (rooted tree). Gốc cây (màu đỏ) là thân của Hydra và lá cây (màu xanh lá) là các đầu của nó.Trong một cây có gốc, nếu hai đỉnh (node) được nối với nhau thì đỉnh gần gốc hơn sẽ được gọi là đỉnh cha (parent node) và đỉnh xa gốc hơn được gọi là đỉnh con (child node). Trong Hình 1, mỗi mũi tên đều trỏ từ một đỉnh vào một đỉnh con của nó. Lá cây là các đỉnh không có đỉnh con.  Hình 1. Ví dụ về Hydra (cây có gốc). Gốc cây là phần thân. Lá cây là các đầu. Hercules sẽ chặt từng chiếc đầu của con Hydra. Mỗi khi một đầu bị chặt con Hydra sẽ mọc thêm nhiều đầu mới theo quy tắc như sau: Nếu đầu bị chặt nối trực tiếp với thân, không mọc thêm đầu mới.Nếu không, gọi $H$ là đầu bị chặt, gọi $P$ là đỉnh cha của $H$ và gọi $G$ là đỉnh cha của $P$ ($P$ không phải gốc cây). Đánh dấu đỉnh $P$ và toàn bộ con cháu của nó (trừ đỉnh $H$ đã bị chặt), và mọc từ đỉnh $G$ thêm một số bản sao (bao nhiêu cũng được) của phần vừa đánh dấu. Người đọc có thể xem Hình 3 về ví dụ sau 3 lần chặt. Hình 2. Chặt đầu H. Hydra mọc thêm từ G 3 bản sao của phần được đánh dấu màu xanh.  Hình 3. Hydra sau 3 lần chặt. Câu hỏi: Có cách nào để Hercules tiêu diệt con Hydra hay không?  Trả lời: Hercules luôn có cách để thắng.  Tuy nhiên câu trả lời trên chưa thực sự ấn tượng. Ta có câu trả lời tiếp theo, đó chính là nội dung của định lý Goo...

Gon-ichi, cha của Kunihiko, từng học ngành nông nghiệp và chính trị ở Tokyo Imperial University, trong thời gian sinh con trai, ông làm việc ở Bộ Nông nghiệp. Ông thôi việc ở Bộ Nông nghiệp năm 1939 và được bầu vào Nghị viện Nhật Bản, nơi ông phục vụ xuyên suốt Thế chiến II. Sau khi Nhật Bản bị đánh bại, phe đồng minh cách chức ông. Ngoài những hoạt động đó, ông có viết khoảng 40 cuốn sách chuyên môn và 350 bài báo chuyên môn. Ichi, mẹ của Kunihiko, là con gái của hiệu trưởng Kyuji Kanai. Kunihiko là con cả trong gia đình, có một người em trai tên là Nobuhiko (sinh năm 1919).  Kunihiko vào học cấp hai năm 1921 nhưng những năm đó chẳng dễ dàng gì cho ông. Ông khá nhút nhát và thường nói lắp, đặc biệt là khi chịu áp lực. Ông không phải tuýp người thể thao, vì vậy, ông vô cùng ghét lớp học thể dục. Trong tự truyện của mình, ông kể rằng ông từng là học sinh yếu kém ở trường tiểu học, mặc dù nhìn chung ông là người khiêm tốn, nhưng có lẽ ông thực sư không có gì tỏa sáng trong giai đoạn này. Mặc dù vậy, ông có niềm đam mê với những con số từ khi còn rất nhỏ, thích đếm những hạt đậu, năm mười tuổi ông cố kiểm chứng xem chó có biết đếm không. Khi chú chó đẻ chó con, ông đã giấu chúng đi và chờ cho chó mẹ bực bội đi tìm chúng cho đến khi ông trả chúng lại. Thế nhưng khi ông giấu một vài con chó con đi, chó mẹ dường như vẫn hạnh phúc với những chú chó con lại, vì vậy Kunihiko năm mười tuổi đã đi đến kết luận: chó không biết đếm. Gon-ichi, cha của Kunihiko, đã ở Đức vào những nă...

Bài dịch từ bài gốc trên mathstackexchange: https://math.stackex...eCpTL64-MwpRhBI Q: Tôi đang chuẩn bị bắt đầu tự học hình học đại số (HHĐS). Tôi tự hỏi rằng vì sao các nhà toán học nghiên cứu HHĐS? Các bài toán nào được quan tâm bởi các nhà HHĐS? Những định lý đẹp nhất của HHĐS là gì? Câu trả lời của thành viên Javier Álvarez: Bản thân tôi khuyến khích bạn bắt đầu và lấy động lực từ những tài liệu miễn phí sau. Chúng rất mang tính sư phạm, từ những nội dung cơ bản nhất của đường cong đại số phức tới Lược đồ (scheme) và Lý thuyết giao (intersection theory) với định lý Grothendieck-Riemann-Roch, tới một số định lý mà tôi sẽ nói dưới đây. Chúng rất tuyệt cho việc tự học khi vừa chặt chẽ về mặt toán học, vừa có rất nhiều hình vẽ (đáng tiếc là một số trong chúng lại không được phổ thông cho lắm?) Matt Kerr - Lecture Notes Algebraic Geometry III/IV, Washington University in St. Louis.Andreas Gathmann - Class Notes: Algebraic Geometry, University of Kaiserslautern.Tài liệu sau đây khá nổi tiếng, dài, nặng, trừu tượng, và phù hợp cho việc tự học:Ravi Vakil - Foundations of Algebraic Geometry, Stanford University.Ngoài ra còn có một số nhiều video bài giảng đầy đủ về HHĐS sơ cấp, mặt đại số,...Miles Reid - Lecture Courses on Video (WCU project at Sogang University),mà bạn có thể bắt đầu một cách từ từ (cùng sách của tác giả) để đi đến định lý phân loại mặt. Ngày nay, HHĐS là một trong những ngành lâu đời nhất, sâu nhấ...

Với lý thuyết phạm trù: Toán học thoát khỏi các đẳng thức Bài dịch rất tâm huyết của bạn Nguyễn Hoàng Khang - lớp K19 tài năng Toán học - Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TP.HCM. Nguồn: Tạp chí Quantamagazine. Dấu bằng là nền tảng của toán học. Nó dường như phát biểu một điều hết sức cơ bản và được chấp nhận một cách không phải bàn cãi: những đối tượng này đều giống nhau, đều là một cả mà thôi. Nhưng càng ngày, càng có một cộng đồng lớn hơn của những nhà toán học coi dấu bằng là một sai lầm cơ bản của toán học. Họ coi nó chỉ là một lớp vỏ bọc dùng để che đậy những thứ phức tạp hơn trong quan hệ định lượng giữa các đối tượng – những thứ phức tạp mang sức mạnh để có thể giải quyết được một số lượng khổng lồ các bài toán. Họ muốn tái xây dựng toán học theo một ngôn ngữ lỏng hơn của sự tương đương. “Chúng ta đã sáng tạo nên khái niệm về sự bằng nhau”, Jonathan Campbell của đại học Duke nói, “đáng lẽ nó đã phải là sự tương đương từ đầu thì tốt hơn” Nhân vật nổi bật nhất trong cộng  đồng này là Jacob Lurie. Trong tháng $7$ vừa rồi, Lurie, $41$, rời khỏi biên chế giáo sư ở đại học Harvard để tới với một vị trí tại viện nghiên cứu cấp cao (Institute for Advanced Study) ở Princeton, New Jersey, nhà của nhiều trong số những nhà toán học được kính nể nhất thế giới. Ý tưởng của Lurie mang tính cách mạng ở một mức độ hiếm thấy trong bất kì ngành nào. Thông qua những cuốn sách mà anh đã phát hành, gồm hàng ngàn trang đặc và đầy tính kĩ thuật, anh đã xâ...

Nghị viện Châu Âu tổ chức cuộc bầu cử vào tháng 5/2019 để bầu đại diện của các quốc gia trong châu Âu cũng như của các đảng phái, dựa vào tỉ lệ của kết quả trúng cử. Ý tưởng để xác định số ghế đại diện của 1 đảng đó là nếu đảng có $x\text{%}$ tổng số phiếu bầu thì đảng sẽ lấy $x\text{%}$ ghế. Tuy nhiên, cách lấy tỉ lệ $\text{%}$ này đôi khi dẫn đến kết quả không phải là số nguyên dương, ví dụ nếu như ta có $600000$ cử tri bầu chọn ra $100$ nghị sĩ đến từ $3$ đảng, kết quả mỗi đảng có $200000$ phiếu bầu, thì mỗi đảng sẽ lấy $1/3$ trong tổng số ghế, tức $100/3 \approx 33.33$ ghế, điều này là phi thực tế.  Để giải quyết vần để này, ta cần một phương pháp để chuyển đổi tỉ lệ phần trăm sang số ghế. Trong cuộc bầu cử Nghị viện châu Âu 2019, Nghị viện dùng phương pháp d'Hondt, ý tưởng của phương pháp này đó là một ghế trong Nghị viện có giá trị tương ứng với một số lượng phiếu bầu, mỗi đảng có thể "mua" nhiều ghế dựa vào giá trị số phiếu bầu họ có, nếu bầu theo cách chia tỉ lệ rồi làm tròn sẽ xảy ra hiện tượng một đảng nhận ít (hoặc nhiều) ghế hơn giá trị phiếu họ có, điều này hiển nhiên thiếu công bằng, nếu một đảng "mua" hết ghế, tức trong Nghị viện không được thừa ghế trống nào cả. Xác định giá trị thích hợp cho 1 ghế trong Nghị viện có vẻ như khá phức tạp, nhưng ta có một quy trình lặp có thể giúp ta có được giá trị mong muốn. Ta sẽ bắt đầu bằng cách cho mỗi đảng số lượng phiếu bầu lớn nhất có thể để có được 1 ghế, sau đó, với mỗi đảng, ta tính giá trị sau$$N=\fra...

Hiện nay cá voi đang chịu nhiều sự đe dọa, ví dụ như nạn săn cá voi, môi trường sống bị suy giảm, nước biển bị ô nhiễm, ảnh hưởng từ thiết bị phát hiện tàu ngầm, hay biến đổi khí hậu. Ngoài ra, cá voi có thể bị mắc kẹt vào tàu cá. Do đó, để tránh cá voi, thủy thủ trên tàu phải biết vị trí của cá voi để tránh. Để giải quyết bài toán này ta cần sử dụng đến một định lý đã có từ thời xa xưa và rất quen thuộc với các bạn học sinh: Định lý Pythagoras. Cá voi beluga I. ĐỊNH LÝ PYTHAGORAS Cho một tam giác vuông như hình dưới, định lý Pythagoras nói rằng diện tích hình vuông ở cạnh huyền $c^{2}$ bằng với tổng 2 diện tích của 2 hình vuông ở 2 cạnh góc vuông, tức $a^{2}+b^{2}$ Định lý PythagorasHay nói cách khác$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$Định lý này được đặt tên theo nhà Toán học tên là Pythagoras đến từ vùng Samos vào thời Hi Lạp cổ đại. II. TÌM CÁ VOI Một cách để xác định vị trí của cá voi đó là dùng máy thủy âm định vị để phát ra âm thanh và thu lại tiếng vang. Tuy nhiên, cá voi rất ghét âm thanh này vì nó làm cho cá voi bị nhầm tín hiệu với cá voi khác, làm đảo lộn hành vi của cá voi, thậm chí có cá voi phải bơi lên cạn để tránh âm thanh này. Do đó, thay vì sự dụng máy thủy âm định vị phát ra âm thanh trực tiếp đến cá voi, ta hãy lắng nghe chính âm thanh phát ra từ cá voi, hay nói cách khác là nghe cá voi "hát" giống như clip dưới đâyNếu cá voi bơi gần bề mặt mặt biển và cách tàu một khoảng $L$, thì thời gian $T$ để âm thanh từ cá voi phát ra đi đến tàu là:$$T=\frac...