Chủ đề này có 1 trả lời

[diepviennhi]

Chứng minh rằng tam giác $ABC$ có ít nhất một góc có số đo $60^{\circ}\Leftrightarrow \frac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}=\sqrt{3}$

[Tran Hoai Nghia]

Chứng minh rằng tam giác $ABC$ có ít nhất một góc có số đo $60^{\circ}\Leftrightarrow \frac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}=\sqrt{3}$

nếu ABC là tam giác đều thì hiển nhiên đúng.Ta có:

$\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\cos A+\cos B+\cos C}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \sin (60-A)+\sin (60-B)+\sin (60-C)=0$

$\Leftrightarrow 2\sin (60-\frac{A+B}{2})\cos \frac{B-A}{2}+2\sin (30-\frac{C}{2})\cos (30-\frac{C}{2})=0$

$\Leftrightarrow 2\sin (-30+\frac{C}{2})\cos \frac{B-A}{2}+2\sin (30-\frac{C}{2})\cos (30-\frac{C}{2})=0\Rightarrow \sin (-30+\frac{C}{2})=0\Rightarrow C=60$

vậy có ít nhất một góc 60 độ.