Chủ đề này có 2 trả lời

[Tungvansoan]

Tìm tất cả các hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn: $xf(y) -yf(x)=f\left ( \frac{y}{x} \right )$;$\forall x\neq 0;y \in R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tungvansoan: 01-08-2013 - 18:39

[barcavodich]

Mình giải thế này các bạn góp ý nhé

Thay $y=0$ vào phương trình đầu ta được $xf(0)=f(0)\forall x\neq 0\Rightarrow f(0)=0\forall x\neq 0$

Thay $x=y\neq 0$ ta được $f(1)=0$

Thay $y=1$ ta được $xf(1)-f(x)=f(\frac{1}{x})\Rightarrow f(x)+f(\frac{1}{x})=0\forall x\neq 0$

Hay $f\equiv 0$

[nguyenthehoan]

Mình giải thế này các bạn góp ý nhé

Thay $y=0$ vào phương trình đầu ta được $xf(0)=f(0)\forall x\neq 0\Rightarrow f(0)=0\forall x\neq 0$

Thay $x=y\neq 0$ ta được $f(1)=0$

Thay $y=1$ ta được $xf(1)-f(x)=f(\frac{1}{x})\Rightarrow f(x)+f(\frac{1}{x})=0\forall x\neq 0$

Hay $f\equiv 0$

Duẩn làm sai rồi kìa,nghiệm của nó là $f(x)=a(x-\frac{1}{x})$ mà...

 

Nếu $f$ là hằng số,hiển nhiên $f(x)=0$.Xét khi $f$ không là hằng số.Xét $P(x,y)$ thoả mãn tính chất hàm $f$.

 

$P(1,y) $\Rightarrow f(1)=0$

 

$P(x,1)\Rightarrow f(x)+f(\frac{1}{x})=0$.Do đó ta có $xf(y)+yf(\frac{1}{x})=f(\frac{y}{x})$  (*)

 

Mặt khác với $x,y$ khác $0$ ta có 

 

$\frac{f(y)}{y}-\frac{f(x)}{x}=\frac{f(\frac{y}{x})}{xy}$.Do đó 

 

$\frac{f(\frac{y}{x})}{xy}=\frac{f(y)}{y}-\frac{f(x)}{x}=(\frac{f(y)}{y}-\frac{f(z)}{z})+(\frac{f(z)}{z}-\frac{f(x)}{x})$

 

$=\frac{f(\frac{y}{z})}{yz}+\frac{f(\frac{z}{x})}{zx}$

 

Cho $z=xy$ ta có $\frac{f(\frac{1}{x})}{y}+\frac{f(y)}{x}=f(\frac{y}{x})$   (**)

 

Từ (*) và (**) ta có $\frac{f(\frac{1}{x})}{y}+\frac{f(y)}{x}=xf(y)+yf(\frac{1}{x})$.

 

Thay $x\rightarrow \frac{1}{x}$ ta có 

 

$f(y)(x-\frac{1}{x})=f(x)(y-\frac{1}{y})$,hay $\frac{f(x)}{x-\frac{1}{x}}=const$

 

Và ta có $f(x)=a(x-\frac{1}{x})$,thử lại thỏa mãn.