Chủ đề này có 3 trả lời

[vo van duc]

Cho $A$ là ma trận vuông sao cho $A^{10}=O$.

 

Chứng minh rằng $I+A^2+A^5$ là ma trận khả nghịch.

[zarya]

Có: $I+A^{2}+A^{5}=(I+A^{2})(I+A^{5})$ vì $A^{10}=0$.

Ta chứng minh $(I+A^{2})$ và $(I+A^{5})$ là ma trận khả nghịch.

 

$I=I^{10}+A^{10}=(I^{2})^{5}+(A^{2})^{5}=(I^{2}+A^{2})(A^{8}-A^{6}+A^{4}-A^{2}+I)=(A^{8}-A^{6}+A^{4}-A^{2}+I)(I^{2}+A^{2})$

 

$I=I^{10}-A^{10}=(I^{5})^{2}-(A^{5})^{2}=(I^{5}+A^{5})(I^{5}-A^{5})=(I^{5}-A^{5})(I^{5}+A^{5})$

 

Do đó,  $(I+A^{2})$ và $(I+A^{5})$ khả nghịch. Ma trận tích $(I+A^{2})(I+A^{5})=I+A^{2}+A^{5}$ cũng khả nghịch.

Ma trận nghịch đảo: $(I-A^{5})(I+A^{8}-A^{6}+A^{4}-A^{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 03-08-2013 - 14:26

[duong vi tuan]

Có: $I+A^{2}+A^{5}=(I+A^{2})(I+A^{5})$ vì $A^{10}=0$.

 

 

$A^{10} =0$ chứ $A^7=0$ đâu  !

$A^{10}=0$ nên A luỹ linh => $B= A^2+ A^5$ luỹ linh => B+I khả nghịch

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 19-08-2013 - 08:31

[1110004]

$A^{10} =0$ chứ $A^7=0$ đâu  !

$A^{10}=0$ nên A luỹ linh => $B= A^2+ A^5$ luỹ linh => B+I khả nghịch

để mình làm theo hướng khác nha!!(sai xin cho mình ý kiến mới học còn tệ lắm)

 Gọi GTR của ma trận $A$ là $\lambda$ thì  GRT của $I+A^2+A^5$ là $ \lambda^2+\lambda^5+1$.do $A$ luỹ linh nên $A$ chỉ có gtr bằng $0$ suy ra GRT của $I+A^2+A^5$ chỉ là $1$ nên $I+A^2+A^5$ khả nghịch