Các bài toán tổng hợp
$\boxed{\text{Bài 1}}$
Cho M là ma trân vuông cấp 3 với các phần tử thuộc $R[x]$ thỏa mãn $M^{3}=xI_{3}$. Đặt $N = M(0)$ (thay x=0 vào các phần tử của M).
Chứng minh rằng N đồng dạng với ma trận $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 2}}$
Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n với các phần tử trong trường K, sao cho A giao hoán với mọi ma trận đường chéo cùng cấp n. Ma trận đường chéo là ma trận có mọi phần tử nằm bên ngoài đường chéo chính bằng 0.
$\boxed{\text{Bài 3}}$
Chứng minh rằng ma trận vuông thực M cấp n có vết bằng 0 (i.e tr(M)=0) khi và chỉ khi tồn tại các ma trận vuông thực X,Y cấp n sao cho $M=XY-YX$
$\boxed{\text{Bài 4}}$
Cho $A = \begin{bmatrix}2006 & 1 & - 2006 \\2005 & 2 & - 2006 \\2005 & 1 & - 2005\end{bmatrix}$ và $B = I + A + A^{2} + ... + A^{2006}$. Tính $Tr(B)$
$\boxed{\text{Bài 5}}$
Phương trình $X^2=A$ có nghiệm hay không với $A$ là ma trận suy biến cấp $n\times n$? Tại sao?
$\boxed{\text{Bài 6}}$
Khẳng định hay bác bỏ mệnh đề sau: "Với mọi ma trận suy biến thực A , tồn tại ma trận (thực hoặc phức) thỏa mãn phương trình $XAX=A^2$".
$\boxed{\text{Bài 7}}$
Cho ma trận vuông thực A, B cấp 2 thỏa mãn $A^{2}=B^{2}=I, AB+BA=0 $. Chứng minh rằng tồn tại ma trận khả nghịch T sao cho $TAT^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ và $TBT^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 8}}$
a) Cho A là ma trận vuông cấp n có tính chất: mỗi hàng và mỗi cột có đúng 1 số có trị tuyệt đối bằng 1, các số còn lại bằng 0. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên m sao cho $A^m =A^t$ với $A^t$ là ma trận chuyển vị của A.
b) Cho A là ma trận vuông cáp n thỏa mãn $A^n =0, A^{n-1} \neq 0 $. Chứng minh răng tồn tại ma tận $P$ sao cho
$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0&0&0&...&0&0\\1&0&0&...&0&0\\ 0&1&0&...&0&0\\...\\\\...\\ 0&0&0&...&1&0\end{pmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 9}}$
Cho $A\in M_{n}(\mathbb{Q})$. Chứng minh rằng tồn tại các ma trận $B,C\in M_{n}(\mathbb{Q})$ sao cho $A=B+C$. Với B là ma trận chéo hóa được còn C là ma trận lũy linh.
$\boxed{\text{Bài 10}}$ Chứng minh rằng không tồn tại ma trận vuông cấp 2 B,C thỏa: $$\begin{bmatrix} 0 &1 \\ 1 &0 \end{bmatrix} =B^{2}+C^{2}$$
$\boxed{\text{Bài 11}}$ Chứng minh rằng với mọi ma trận thực cấp 2 A, B, C, ta luôn có: $$ (AB-BA)^{2004}C=C(AB-BA)^{2004}$$
$\boxed{\text{Bài 12}}$ Cho $A = \left( {{a_{ij}}} \right)$ là ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn ${A^2} = A$, tính tổng $${a_{11}} + {a_{22}} + ... + {a_{nn}}$$
$\boxed{\text{Bài 13}}$ Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 =0. Chứng minh rằng Tr(A)=0
$\boxed{\text{Bài 14}}$ Cho A là ma trận vuông cấp n có các phần tử là các số thực dương thoả mãn tổng tất cả các phần tử trên cùng 1 cột nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng E-A là ma trận khả nghịch
$\boxed{\text{Bài 15}}$ Cho A là ma trận vuông cấp 3, khả nghịch, thỏa mãn $DetA=1$ và $Tr(A)=Tr(A^{-1})=0$. Chứng minh rằng $A^{3}=I$
$\boxed{\text{Bài 16}}$ Cho n là số nguyên dương, A là ma trận cấp nxn hệ số thực. Giả sử $4A^{4}+I=O$. Chứng minh rằng vết của ma trận A là số nguyên
$\boxed{\text{Bài 17}}$ Cho $A$ là ma trận vuông đối xứng. CMR tồn tại ma trận khả nghịch B thỏa mãn $B-B^{-1} = A$
$\boxed{\text{Bài 18}}$
Cho ánh xạ tuyến tính $f:Mat_{n}\left ( \mathbb{R} \right ) \rightarrow \mathbb{R}$.
a) Chứng minh rằng: Tồn tại duy nhất ma trận $C \in Mat_{n}\left ( \mathbb{R} \right )$ thỏa mãn $f(A)=Tr(AC)$ với mọi $A \in Mat_{n} \left ( \mathbb{R} \right )$.
b) Giả sử $f$ thỏa mãn $f(AB)=f(BA)$ với mọi $A,B \in Mat_{n} \left ( \mathbb{R} \right )$. Chứng minh rằng tồn tại $\lambda \in \mathbb{R}$ sao cho $f(A)=\lambda .Tr(A)$, với mọi $A \in Mat_{n}\left ( \mathbb{R} \right )$
$\boxed{\text{Bài 19}}$
Giả sử X là một ma trận vuông cấp n khả nghịch, có các cột lần lượt là $X_{1}, X_{2},..,X_{n}$, và Y là ma trận với các cột $X_{2}, X_{3},..,X_{n},0$. Đặt $A=Y.X^{-1}$, $B=X^{-1}.Y$
a) Chứng minh rằng $r(A)=r(B)=n-1$.
b) Chứng minh A, B chỉ có trị riêng là 0
$\boxed{\text{Bài 20}}$
Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n, giả sử tồn tại $(n+1)$ số thực $ t_{1}, t_{2},...,t_{n+1}$ sao cho $ C_{i}= A+t_{i}.B$ là lũy linh. Chứng minh A, B lũy linh
$\boxed{\text{Bài 21}}$
Một ma trận vuông $M$ được gọi là trực giao nếu $M^{T}M=MM^{T}=I_{n}$.
Chứng minh rằng: mọi ma trận vuông $A$ đều có thể biểu diễn dưới dạng $A=PXQ$, trong đó $P, Q$ là các ma trận trực giao và $X$ là ma trận đối xứng.
$\boxed{\text{Bài 22}}$ Cho các ma trận $ A=\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 2 & 1 \end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} -7 & 9\\ -6&8 . \end{bmatrix} $. Tìm Ma trận $Y$ sao cho $ A . Y^{10} = B.A $
$\boxed{\text{Bài 23}}$ Giả sử A là ma trận vuông thực cấp n khả nghịch, cho biết trong mỗi dòng của A có đúng một số khác 0 và bằng $\pm 1$. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k để $A^{k}=A^{T}$
$\boxed{\text{Bài 24}}$ Chứng minh rằng với bất kì số tự nhiên n,ta đều tìm được một ma trận A thỏa mãn
\[{{A}^{n}}=\left( \begin{matrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & 1976 \\
0 & 1 & 2 & \cdots & 1975 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 1974 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{matrix} \right)\]
$\boxed{\text{Bài 25}}$ Cho $ A,B\in {{M}_{2}}({R}) $, $ AB=BA $, $ {{A}^{2011}}={{B}^{2011}}=0 $
Chứng minh rằng $ {{(A+B)}^{3}}=0 $
$\boxed{\text{Bài 26}}$ Cho $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ thỏa $2012A^{3}=2011A+I_{n}$
Chứng minh rằng tồn tại giới hạn $\underset{k\rightarrow \propto }{lim}A^{k}=D$ và $D^{2}=D$
$\boxed{\text{Bài 27}}$ Cho A, B là các ma trận vuông thực thỏa $AB=BA$ và tồn tại các số nguyên dương $p, q$ sao cho $$(A-I)^{p}=(B-I)^{q}=O$$
Chứng minh rằng ma trận tích $AB$có các trị riêng đều bằng $1$
$\boxed{\text{Bài 28}}$ Cho ma trận vuông thực cấp n khác không thỏa mãn
$A=(a_{ij})_{1\leq i,j \leq n},a_{ik}a_{jk}=a_{kk}a_{ij}, \forall i,j,k$
Chứng minh rằng:
a) $Tr(A)=0$
b) A là ma trận đối xứng
c) Đa thức đặc trưng của A bằng $x^{n-1}\left ( x-Tr(A) \right )$.
$\boxed{\text{Bài 29}}$ Cho $A, B\in M_{n}(\mathbb{R}):Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ Chứng minh: $A=B^{T}$
$\boxed{\text{Bài 30}}$ Phương trình nào có nghiệm là một ma trận vuông thực, không cần thiết chỉ ra nghiệm!
$X^{3}=\bigl(\begin{smallmatrix} 0 &0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 2&3 &0 \end{smallmatrix}\bigr)$
$2X^{5}+X=\bigl(\begin{smallmatrix} 3 & 5&0 \\ 5 & 1 & 9\\ 0 &9 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$
$X^{6}+2X^{4}+10X=\bigl(\begin{smallmatrix} 0 &-1 \\ 1&0 \end{smallmatrix}\bigr)$
$X^{4}=\bigl(\begin{smallmatrix} 3 &4 & 0\\ 0& 3&0 \\ 0&0 & -3 \end{smallmatrix}\bigr)$
$\boxed{\text{Bài 31}}$ Tìm tất cả các ma trận $\in M_{2}(\mathbb{R})$ thỏa
$X^{3}-4X^{2}+5X=\begin{pmatrix} 10 & 20 \\ 5 & 10 \end{pmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 32}}$ Cho $A$ là ma trận vuông cấp n thỏa mãn: $AB+BA=O_{n}$ trong đó $B=AX-XA$ với $X$ là ma trận vuông cấp n tùy ý.
Chứng minh rắng $A^{2}$ là ma trận có dạng
$\begin{pmatrix} k & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & k & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & k \end{pmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 33}}$ Cho $A,B$ là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn $AB=BA$ và tốn tại số $p\in \mathbb{N}$ sao cho $A^{p}=O$. Chứng minh rằng:
$\det (A^{2}+AB+B^{2})=(\det (B))^{2}$
$\boxed{\text{Bài 34}}$ Nếu A và B là các ma trận vuông cấp 2 có hệ số thực và $A^{2}+B^{2}=AB$. Chứng minh rằng $(AB-BA)^{2}=O_{2}$
$\boxed{\text{Bài 35}}$ Cho $ A,B\in M_{n}(\mathbb{R})$ không giao hoán
Các số $ q,p,r\in R^* $ thỏa mãn $ pAB+qBA={{I}_{n}} $ và $A^2=rB^2$
Chứng minh rằng $ p=q $
$\boxed{\text{Bài 36}}$
Nếu $u$và $v$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình bậc hai $x^{2}-px+q=0$ thì ta có $u+v=p$ và $uv=q$
Giả sử $P,Q,U$ và $V$ là các ma trận vuông cấp $2$ sao cho $U$ và $V$ là các ma trận phân biệt thỏa phương trình $X^{2}-PX+Q=O$ ($X$ là ẩn).
Chứng tỏ rằng $Tr(U+V)=Tr(P)$ và $\det (UV)=\det (Q)$ là đúng nếu ta thêm một giả thiết là $U-V$ khả nghịch.
$\boxed{\text{Bài 37}}$
Đặt $M=\begin{pmatrix} p & q & r \\ r & p & q \\ q & r & p \end{pmatrix}$
Trong đó $p,q,r>0$ và $p+q+r=1$
Chứng minh rằng
$\underset{n\rightarrow \propto}{lim}M^{n}=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$
$\boxed{\text{Bài 38}}$ Cho $A,B,C$ là các ma trận vuông thực cấp $n$ thỏa mãn $A^{3}=-I$ và $BA^{2}+BA=C^{6}+C+I$ với $C$ là một ma trận đối xứng. Hỏi $n$ có thể bằng $2005$ không? Tại sao?
$\boxed{\text{Bài 39}}$ Cho $A,B \in M_{2010}(\mathbb{R})$ giao hoán và $A^{2010}=B^{2010}=I$. Chứng minh rằng:
Nếu $Tr(AB)=2010$ thì $Tr(A)=Tr(B)$
$\boxed{\text{Bài 40}}$
Cho A là ma trận vuông cấp n với $rank(A)=1$. Chứng minh rằng
a) Với mọi ma trận vuông B cấp n thì $ABA=Tr(AB).A$
b) Với $B_{1}, B_{2}, ..., B_{k}$ là các ma trận vuông cấp n tùy ý thì
$\prod_{i=1}^{k}(AB_{i})=\left ( \prod_{i=1}^{k-1}Tr(AB_{i}) \right ) AB_{k}$
$\boxed{\text{Bài 41}}$ Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
1) Chứng minh rằng
$A^{n}=\begin{pmatrix} F_{n+1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n-1} \end{pmatrix}, \forall n\geq 1$
trong đó $(F_{n})$ là dãy số Fibonacci xác định bởi
$\left\{\begin{matrix} F_{0}=0, F_{1}=1 \\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}, n\geq 2 \end{matrix}\right.$
2) Từ đó chứng minh
a) $F_{n+1}.F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$
b) $F_{m+n+1}=F_{n+1}.F_{m+1}+F_{n}.F_{m} \forall m,n\geq 0$
$\boxed{\text{Bài 42}}$ Tìm ma trận $A$, cho biết $A$ là ma trận vuông cấp n thỏa mãn $tr(AXY)=tr(AYX)$ với mọi ma trận $X,Y$
$\boxed{\text{Bài 43}}$ Cho M là ma trận cấp 3x2 và N là ma trận cấp 2x3 thỏa $$MN=\begin{bmatrix} 8 & 2 & -2\\ 2 & 5 & 4\\ -2 & 4 & 5 \end{bmatrix}$$
Tìm NM?
$\boxed{\text{Bài 44}}$
Cho A, B là các ma trận vuông cấp 2 thỏa
$AB=BA=A+B+I$
Chứng minh rằng
$\det (A+B)-\det (AB)=1+tr(AB)$
$\boxed{\text{Bài 45}}$ Cho A ,B là các ma trận vuông cấp 2 sao cho $(AB)^2=0$ .Chứng minh $(BA)^2=0$
$\boxed{\text{Bài 46}}$
Cho 2 ma trận vuông cấp $n$ sao cho $AB-BA=B.$
a) CMR: $\forall k\:\epsilon \:\mathbb{N},\: AB^k=B^k\left ( A+kI_n \right )$
b) CMR: $\det B=0$
c) CMR: $B$ lũy linh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-10-2013 - 06:44