Chủ đề này có 4 trả lời

[DinhThanhDuc]

$\left\{\begin{matrix} 5\left ( x+\frac{1}{x} \right )=12\left ( y+\frac{1}{y} \right )=13\left ( z+\frac{1}{z} \right)\\xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$

[mystery266]

$\left\{\begin{matrix} 5\left ( x+\frac{1}{x} \right )=12\left ( y+\frac{1}{y} \right )=13\left ( z+\frac{1}{z} \right)\\xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$

Lượng giác hoá

 

đặt $x=tg\alpha , y=tg\beta ,z=tg\gamma$(0<$\alpha ,\beta ,\gamma$<90)

 

Hệ$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5(tg\alpha +\frac{1}{tg\alpha })=12(tg\beta +\frac{1}{tg\beta })=13(tg\gamma +\frac{1}{tg\gamma }) \\ \\tg\alpha tg\beta+tg\beta tg\gamma +tg\gamma tg\alpha =1 \end{matrix}\right.$

 

$Pt(2)\Leftrightarrow tg\gamma (tg\alpha +tg\beta )=1-tg\alpha tg\beta$

 

$\Leftrightarrow cotg\gamma =\frac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha tg\beta}$

 

$\Leftrightarrow tg(\frac{\pi}{2}-\gamma )=tg(\alpha +\beta )$$\Leftrightarrow \alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi}{2}$(nên $2 \alpha, 2\beta +2\gamma$ là 3 góc trong 1 tam giác

 

 

$Pt(1)\Leftrightarrow \frac{5}{sin2\alpha }=\frac{12}{sin2\beta }=\frac{13}{sin2\gamma }$

 

5,12, 13 là bộ 3 số PYthagore nên tam giác chứa 3 góc $2\alpha ,2\beta, 2\gamma$ là tam giác vuông nên $2\gamma =90\Rightarrow \gamma =45\Rightarrow z=1$

rồi thay vào  tìm x,y

 

nếu x,y,z là nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm Từ đó kết luận

[namdenck49]

bạn ơi mình muốn có cách khác!

[mystery266]

bạn ơi mình muốn có cách khác!

Chiều theo yệu cầu của bạn sau đây là cách 2

$\left\{\begin{matrix} 5\left ( x+\frac{1}{x} \right )=12\left ( y+\frac{1}{y} \right )=13\left ( z+\frac{1}{z} \right)\\xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$

 

$PT(1 )\Leftrightarrow\frac{5(x^2+1)}{x}=\frac{12(y^2+1)}{y}=\frac{13(z^2+1)}{z}$

 

thay  PT(2) vào PT trên

 

$\Leftrightarrow\frac{5(x^2+xy+yz+xz)}{x}=\frac{12(y^2+xy+yz+xz)}{y}=\frac{13(z^2+xy+yz+xz)}{z}$

 

$\Leftrightarrow\frac{5(x+z)(x+y)}{x}=\frac{12(y+x)(y+z)}{y}=\frac{13(z+x)(z+y)}{z}$

 

đến đây ngon rồi

[namdenck49]

cảm ơn cậu nhiều!