Chủ đề này có 1 trả lời

[Alexman113]

Tìm số $k$ bé nhất để bất phương trình:$$2\sqrt{x^2-x^4}+\left(1-k\right)\left(\left|x\right|+\sqrt{1-x^2}\right)+2-k\leq0$$ $\forall x\in\left[-1;\,1\right]$

 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

ĐK: $- 1 \leq x \leq 1$

Đặt $t = |x| + \sqrt{1 - x^2} \, (1 \leq t \leq \sqrt{2}) \Rightarrow t^2 = 1 + 2\sqrt{x^2 - x^4}$

Ta được: $t^2 - 1 + (1 - k)t + 2 - k \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{t^2 + t + 1}{t + 1} \leq k \, (1)$

Khi đó, yêu cầu bài toán trở thành:

Tìm giá trị nhỏ nhất của k để: $\dfrac{t^2 + t + 1}{t + 1} \leq k$ đúng với mọi $t \in [1; \sqrt{2}]$

Xét hàm số: $f(t) = \dfrac{t^2 + t + 1}{t + 1}$ với $t \in [1; \sqrt{2}]$

Có: $f’(t) = \dfrac{t^2 + 2t}{(t + 1)^2} > 0$ $\forall$ $1 \leq t \leq \sqrt{2}$

Vậy hàm đồng biến trên $[1; \sqrt{2}]$, suy ra: $f(1) \leq f(x) \leq f(\sqrt{2})$

Khi đó, $\dfrac{t^2 + t + 1}{t + 1} \leq k$ đúng với mọi $t \in [1; \sqrt{2}]$ khi $k \geq f(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 1$