Chủ đề này có 2 trả lời

[hoctrocuanewton]

cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp (I) . gọi điểm D bất kỳ trên BC . Đường tròn (P) tiếp xúc với DC,DA tại E,F tiếp xúc trong với (O) tai K . Chứng minh I,E,F thẳng hàng

[thanhdotk14]

cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp (I) . gọi điểm D bất kỳ trên BC . Đường tròn (P) tiếp xúc với DC,DA tại E,F tiếp xúc trong với (O) tai K . Chứng minh I,E,F thẳng hàng

Bài giải:

Bổ đề 1: $AB$ là dây của đườn tròn $(O)$.$(I)$ tiếp xúc với dây $AB$ tại $K$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $T$. Gọi $L$ là giao điểm của $TK$ với $(O)$. Khi đó, ta có: $L$ là trung điểm của cung $AB$ không chứa $T$ và $LA^2=LK.LT$

Bổ đề 2: Điểm $M$ là trung điểm của cung $BC$ không chứa $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $I \in [MA]$ sao cho $MI=MB$.Khi đó, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Quay lại bài toán:

Kẻ $KF$ cắt $(O)$ tại $L$, $AL$ cắt $EF$ tại $I$

Theo bổ đề 1, ta có $AL$ là phân giác của $\widehat{BAC}$

Mặt khác, ta có: $\widehat{FEK}=\widehat{IAK}=\widehat{FKx}$

$\Rightarrow AIEK$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AIK}=\widehat{AEK}=\widehat{EFK}$

$\Delta LFI \sim \Delta LIK$

$\Rightarrow LI^2=LF.LK$

Lại theo bổ đề 1, ta có: $LC^2=LF.LK$

$\Rightarrow LI=LC$

Từ đó, theo bổ đề 2, ta suy ra: $I$ chính là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

Từ đó ta có đpcm

_________________________________

@kreus, zô nhận hàng nè =))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 22-09-2013 - 19:23

[hoctrocuanewton]

Bài giải:

Bổ đề 1: $AB$ là dây của đườn tròn $(O)$.$(I)$ tiếp xúc với dây $AB$ tại $K$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $T$. Gọi $L$ là giao điểm của $TK$ với $(O)$. Khi đó, ta có: $L$ là trung điểm của cung $AB$ không chứa $T$ và $LA^2=LK.LT$

Ảnh chụp màn hình_2013-09-22_081128.png

Bổ đề 2: Điểm $M$ là trung điểm của cung $BC$ không chứa $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $I \in [MA]$ sao cho $MI=MB$.Khi đó, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Ảnh chụp màn hình_2013-09-22_081419.png

Quay lại bài toán:

Kẻ $KF$ cắt $(O)$ tại $L$, $AL$ cắt $EF$ tại $I$

Ảnh chụp màn hình_2013-09-22_080832.png

Theo bổ đề 1, ta có $AL$ là phân giác của $\widehat{BAC}$

Mặt khác, ta có: $\widehat{FEK}=\widehat{IAK}=\widehat{FKx}$

$\Rightarrow AIEK$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AIK}=\widehat{AEK}=\widehat{EFK}$

$\Delta LFI \sim \Delta LIK$

$\Rightarrow LI^2=LF.LK$

Lại theo bổ đề 1, ta có: $LC^2=LF.LK$

$\Rightarrow LI=LF$

Từ đó, theo bổ đề 2, ta suy ra: $I$ chính là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

Từ đó ta có đpcm

_________________________________

@kreus, zô nhận hàng nè =))

 

 

mình cảm ơn bạn , cách làm của bạn rất hay 

tuy nhiên chỗ bôi đỏ nên sửa lại thành LI=LC thì mới đúng bạn ạ