Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3.CMR: $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)} \leq \frac{1}{abc}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
ocean99

ocean99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết

Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3.CMR:

$\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)} \leq \frac{1}{abc}$



#2
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3.CMR:

$\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)} \leq \frac{1}{abc}$

Chắc ý bạn là$\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$

Phải không? :)



#3
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Nếu thế thì ta có :$\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}=\sum \frac{1}{1+a(ab+ac)}=\sum \frac{1}{1+a(3-bc)}=\sum \frac{1}{1+3a-abc}$.Mặt khác theo bđt cosi ta có :$ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$ nên $3\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$ hay $abc\leq 1$$< = > -abc\geq -1< = > 1+3a-abc\geq 1+3a-1=3a< = > \frac{1}{1+3a-abc}\leq \frac{1}{3a}$ nên $\sum \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \sum \frac{1}{3a}=\frac{ab+bc+ac}{3abc}=\frac{3}{3abc}=\frac{1}{abc}$(đpcm)



#4
VodichIMO

VodichIMO

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=3.CMR:

$\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)} \leq \frac{1}{abc}$

Bài này giống bài mình chế lại. có giải ở link này:

http://diendantoanho...a-mãn-abacbc-3/


BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC  :namtay





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh