Chủ đề này có 2 trả lời

[BoFaKe]

Tính $V$ tứ diện $ABCD$ có $AB=a;AC=b;AD=c$ và $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAB}=60^{\circ}$.

[tanh]

Tính $V$ tứ diện $ABCD$ có $AB=a;AC=b;AD=c$ và $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAB}=60^{\circ}$.

 

Giả sử $( a < b; a<c)$

Trên $AC$ lấy điểm $E$ ; trên $AD$ lấy điểm $F$ sao cho $AB=AE=AF$

$\rightarrow ABEF$ là tứ diện đều cạnh $a.$

$\rightarrow V_{ABEF}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

$\rightarrow \frac{V_{ABEF}}{V_{ABCD}}=\frac{AB}{AB}.\frac{AE}{AC}.\frac{AF}{AD}=\frac{a^{2}}{b.c}$

$V_{ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}.\frac{b.c}{a^{2}}=\frac{abc\sqrt{2}}{12}$

[Rias Gremory]

Không mất tính tổng quát giả sử: $0< a\leq b\leq c$

Trên các cạnh AC, AD lần lượt lấy M, N sao cho AM = AN = a

Ta có:

$\frac{V_{ABMN}}{V_{ABCD}}=\frac{AM.AN}{AC.AD}=\frac{a^{2}}{bc}$

Lại có : MB = MN = BN = a 

Gọi O là hình chiếu của A lên (BMN) thì O là trọng tâm tam giác BMN

$BO=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$AO^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{3}=\frac{2a^{2}}{3}\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABMN}=\frac{1}{3}AO.S_{BMN}=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

$\Rightarrow V_{ABCD}=abc\frac{\sqrt{2}}{12}$