Đến nội dung

Hình ảnh

$(\frac{a^{m}-1}{a-1},a-1)=(m,a-1)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
JMJ

JMJ

    Binh nhì

  • Pre-Member
  • 19 Bài viết

Bài 1: Cho (m,n)=1. Tìm $(m+n;m^{2}+n^{2})$ = ?

Bài 2: Cho $a,m \epsilon \mathbb{Z^{+}};a>1$. CMR

$(\frac{a^{m}-1}{a-1},a-1)=(m,a-1)$

Bài 3:Cho $a,b\epsilon \mathbb{Z},a\neq b$ thoả $ab(a+b)\vdots a^{2}+ab+b^{2}$ .CMR

$\left |a-b \right |>\sqrt[3]{ab}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 26-09-2013 - 22:00


#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết


Bài 1: Cho (m,n)=1. Tìm $(m+n;m^{2}+n^{2})$ = ?

Bài 2: Cho $a,m \epsilon \mathbb{Z^{+}};a>1$. CMR

$(\frac{a^{m}-1}{a-1},a-1)=(m,a-1)$

Bài 3:Cho $a,b\epsilon \mathbb{Z},a\neq b$ thoả $ab(a+b)\vdots a^{2}+ab+b^{2}$ .CMR

$\left |a-b \right |>\sqrt[3]{ab}$

Bài 1. Ta có $\gcd (m+n,m^2+n^2)= \gcd (m+n,2mn)$. Ta sẽ đi chứng minh $\gcd (mn,m+n)=1$.

Thật vậy, giả sử phản chứng rằng $\gcd (mn,m+n)=d>1 \Rightarrow d|mn,d|m+n$. Do đó ít nhất một trong hai số $m,n$ phải chia hết cho một ước nguyên dương khác $1$ của $d$. Không mất tính tổng quát, giả sử $k|m$ với $k>1,k|d$. Khi đó $k|m+n$ suy ra $k|n$. Vậy $k| \gcd (m,n)$, mâu thuẫn.

Vậy $\gcd (mn,m+n)=1$. Do đó $\gcd (m+n,2mn)=2$ hay $\gcd (m+n,m^2+n^2)=2$.

Bài 2. Gọi $\gcd \left( \frac{a^m-1}{a-1},a-1 \right)=d$. Lấy $p$ là một ước nguyên tố bất kì của $d$. Khi đó $p|a-1$ nên theo bổ đề LTE thì $p^k \parallel \frac{a^m-1}{a-1}$ với $m=p^k \cdot q \; (k,q \in \mathbb{N}^*, \gcd (p,q)=1)$. Ta suy ra $p^k \parallel \gcd \left( \frac{a^m-1}{a-1},m \right)$. Do đó nếu $p^o \parallel \gcd  \left( \frac{a^m-1}{a-1},a-1 \right)$ thì $p^o \parallel \gcd \left( m,a-1 \right)$.

Bất kì ước nguyên tố nào của $d$ đều có tính chất trên nên ta suy ra đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 26-09-2013 - 23:44

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết


Bài 3:Cho $a,b\epsilon \mathbb{Z},a\neq b$ thoả $ab(a+b)\vdots a^{2}+ab+b^{2}$ .CMR

$\left |a-b \right |>\sqrt[3]{ab}$

Bài này mình nghĩ bạn ghi sai đề, nên là $ab(a+b)|a^2+ab+b^2$.

Lời giải. Gọi $\gcd (a,b)=d$ thì $a=da_1,b=db_1$ với $d,b_1,a_1 \in \mathbb{Z}, d \ge 1, \gcd (b_1,a_1)=1$. Khi đó $$ab(a+b)|a^2+ab+b^2 \Leftrightarrow da_1b_1(a_1+b_1)|a_1^2+a_1b_1+b_1^2 \Rightarrow da_1b_1(a_1^2-b_1^2)|(a_1-b_1)^3$$

Từ đây ra suy ra $|(a_1-b_1)^3| \ge a_1b_1 \Rightarrow d^3|(a_1-b_1)^3| \ge d^2a_1b_1 \Rightarrow |a-b| \ge \sqrt[3]{ab}$. $\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 26-09-2013 - 23:55

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#4
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

 

Bài 1. Ta có $\gcd (m+n,m^2+n^2)= \gcd (m+n,2mn)$. Ta sẽ đi chứng minh $\gcd (mn,m+n)=1$.

Thật vậy, giả sử phản chứng rằng $\gcd (mn,m+n)=d>1 \Rightarrow d|mn,d|m+n$. Do đó ít nhất một trong hai số $m,n$ phải chia hết cho một ước nguyên dương khác $1$ của $d$. Không mất tính tổng quát, giả sử $k|m$ với $k>1,k|d$. Khi đó $k|m+n$ suy ra $k|n$. Vậy $k| \gcd (m,n)$, mâu thuẫn.

Vậy $\gcd (mn,m+n)=1$. Do đó $\gcd (m+n,2mn)=2$ hay $\gcd (m+n,m^2+n^2)=2$.

 

 

 

Toàn cho anh hỏi, $m+n$ chưa chắc chia hết cho 2 thì sao có cái này?


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#5
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Toàn cho anh hỏi, $m+n$ chưa chắc chia hết cho 2 thì sao có cái này?

Em nhầm :( , như thế sẽ có hai đáp án là $1$ và $2$.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#6
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Em nhầm :( , như thế sẽ có hai đáp án là $1$ và $2$.

 

Chắc phải chia 2 TH :

 

*) Nếu $m+n$ chia hết cho 2 thì ra 2.

 

*) Nếu $m+n$ không chia hết cho 2 thì ra 1.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#7
trandaiduongbg

trandaiduongbg

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết

Bài 2: Cho $a,m \epsilon \mathbb{Z^{+}};a>1$. CMR

$(\frac{a^{m}-1}{a-1},a-1)=(m,a-1)$

Lời giải:

Ta có $(\frac{a^m-1}{a-1},a-1)=(a^{m-1}+a^{m-2}+...+a+1,a-1)=(a^{m-1}-1+a^{m-2}-1+...+a-1+1+m-1,a-1)=(m,a-1)$ (ĐPCM)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 05-12-2013 - 12:19

79c224405ed849a4af82350b3f6ab358.0.gif

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh