Cho hai ma trận vuông cùng cấp $A,B$. Chứng minh nếu $A+B=AB$ thì $AB=BA$.
Cho $A+B=AB$. Chứng minh $AB=BA$
Bắt đầu bởi Rantaro, 02-10-2013 - 15:01
#1
Đã gửi 02-10-2013 - 15:01
#2
Đã gửi 02-10-2013 - 15:41
Cho hai ma trận vuông cùng cấp $A,B$. Chứng minh nếu $A+B=AB$ thì $AB=BA$.
Bài này đã được giải trên diễn đàn rồi nhưng làm biếng lục lại
Tổng quát, với $a,b \in \mathbb{R},\; ab \neq 0$ và hai ma trận vuông $A,B $ cùng cấp bất kỳ sao cho $aA+bB=AB$ , khi đó ta có $AB=BA$
CM:
$$aA+bB=AB \Leftrightarrow A(aI-B)+b(B-aI)=-abI$$
$$\Leftrightarrow (A-bI)(B-aI)=abI$$
Suy ra $A-bI$ và $\frac{1}{ab}(B-aI)$ khả nghịch và là nghịch đảo của nhau, do đó cũng có
$$(B-aI)(A-bI)=abI \Leftrightarrow aA+bB=BA \Leftrightarrow AB=BA$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 03-10-2013 - 00:18
- hoangtrong2305, Rantaro, Phuong Thu Quoc và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh