Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $A+B=AB$. Chứng minh $AB=BA$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Rantaro

Rantaro

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết

Cho hai ma trận vuông cùng cấp $A,B$. Chứng minh nếu $A+B=AB$ thì $AB=BA$.



#2
phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết

Cho hai ma trận vuông cùng cấp $A,B$. Chứng minh nếu $A+B=AB$ thì $AB=BA$.

 

Bài này đã được giải trên diễn đàn rồi nhưng làm biếng lục lại :D

 

Tổng quát, với $a,b \in \mathbb{R},\; ab \neq 0$ và hai ma trận vuông $A,B $ cùng cấp bất kỳ sao cho $aA+bB=AB$ , khi đó ta có  $AB=BA$

 

CM:

 

$$aA+bB=AB \Leftrightarrow A(aI-B)+b(B-aI)=-abI$$

 

$$\Leftrightarrow (A-bI)(B-aI)=abI$$

 

Suy ra $A-bI$ và $\frac{1}{ab}(B-aI)$ khả nghịch và là nghịch đảo của nhau, do đó cũng có

 

$$(B-aI)(A-bI)=abI \Leftrightarrow aA+bB=BA  \Leftrightarrow AB=BA$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 03-10-2013 - 00:18

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh