Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số nguyên dương n,x,y thoả mãn $p^{n}=x^{3}+y^{3}$

số nguyên tố

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
HAGL

HAGL

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Bài 1: CMR nếu $3^{n}+2^{n}+1$ la số nguyên tố $\forall n\epsilon Z^{+}$ thì $n=3^{k}$$(k\epsilon Z^{+})$

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số nguyên dương n,x,y thoả mãn $p^{n}=x^{3}+y^{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 04-10-2013 - 17:39


#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
 

Bài 1: CMR nếu $3^{n}+2^{n}+1$ la số nguyên tố $\forall n\epsilon Z^{+}$ thì $n=3^{k}$$(k\epsilon Z^{+})$

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số nguyên dương n,x,y thoả mãn $p^{n}=x^{3}+y^{3}$

Bài 1. Đề đúng nên là $4^n+2^n+1$. Xem tại đây

Bài 2. Không mất tính tổng quát, ta hoàn toàn có thể giả sử $p \nmid x, p \nmid y$.

Nhận thấy $p=2,n=1$ thì $x=y=1$.

Với $p \ge 3$ thì ta có $p^n=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Nếu $p \nmid x+y$ thì $x+y=1$, mâu thuẫn. Vậy $p|x+y$ và $p|x^2-xy+y^2$. Đặt $y=pk-x$ với $k \in \mathbb{N}$ thì $$x^2-y+y^2=x^2-x(pk-x)+(pk-x)^2=3x^2+p^2k^2-3xpk$$

Nếu $3 \nmid p$ thì $p|x^2-xy+y^2 \Leftrightarrow p|x^2 \Leftrightarrow p|x$, mâu thuẫn điều giả sử.

Vậy $p=3$. Khi đó $x^3+y^3=3^n$ và $x^2-xy+y^2=3x^2+9k^2-9xk \equiv 3 \pmod{9}$. Do đó $x^2-xy+y^2=3 \Rightarrow (2x-y)^2+3y^2=12 \Rightarrow y^2 \in \{ 1;4 \}$.

  1. Nếu $y^2=1 \Rightarrow y=1$ thì $(2x-1)^2=9 \Rightarrow x=2$.
  2. Nếu $y^2=4 \Rightarrow y=2$ thì $(2x-2)^2=0 \Rightarrow x=1$.

Vậy $(x,y,p,n)=(2 \cdot 3^k,3^k,3,3k+2),(3^k,2 \cdot 3^k,3,3k+2),(1,1,2,1)$ với $k \in \mathbb{N}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 04-10-2013 - 18:28

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Bài 2 , Lời giải của Nguyenta98

Ngoài nghiệm tầm thường $p=2$ và $a=b=1$ thì xét các nghiệm khác :

Gọi $gcd(x,y)=d\Rightarrow x=dm ,y=dn,gcd(m,n)=1$

Suy ra $p^{n}=d^{3}(m^{3}+n^{3})$

Nhận thấy $p^{n}\vdots d^{3}$ $\Rightarrow p^{n}\vdots d$ $\Rightarrow d=1 , p^{x}$

TH1: $d=1$ $\Rightarrow p^{n}=m^{3}+n^{3},gcd(m,n)=1$

$\Rightarrow p^{n}=(m+n)(m^{2}-mn+n^{2})$

Nên $m+n=1$ hoặc $m+n=p^{a}$ nhưng $m,n\geq 1\Rightarrow m+n=p^{a}\Rightarrow m^{2}-mn+n^{2}=p^{b}$

với $a+b=n$ và $a,b\geq 1$

Khi ấy suy ra $(m+n)^{2}-(m^{2}-mn+n^{2})=p^{2a}-p^{b}=3mn$

$\blacksquare$ Nếu $p=3\Rightarrow 3^{2a-1}-3^{b-1}=mn$ mà thấy nếu $b> 1\Rightarrow mn\vdots 3\Rightarrow$ m hoặc n chia hết cho 3 

Giả sử $m\vdots 3$\

Nhưng thấy $m+n=3^{a}\Rightarrow n\vdots 3$ vô lý do $gcd(m,n)=1$

Do đó suy ra $b=1\Rightarrow 3^{2a-1}-1=mn$

Kết hợp ta có cặp phuơng trình sau $3^{2a-1}-1=mn$ và $3^{a}=m+n\Rightarrow (m+n)^{2}-4mn=3^{2a}-4(3^{2a-1}-1)=(m-n)^{2}$

Do đó $3^{2a}-4(3^{2a-1}-1)$ là số chính phương hay $3.3^{2a-1}-4.3^{2a-1}+4$ chính phương hay $4-3^{2a-1}\geq 0\Rightarrow 3^{2a-1}=3\Rightarrow a=1(3^{2a-1}\neq 1 do a>0  )$

Như vậy ta có thể thấy $p=3$ thì $n=2$ và khi đó thỏa mãn đề bài

$\blacksquare$ Nếu $p\neq 3\Rightarrow p^{2a}-p^{b}=3mn$

Thấy $a,b> 0\Rightarrow p^{2a}-p^{b}\vdots b\Rightarrow m,n\vdots p$ ( do $gcd(3,p)=1$ )

Như vậy giả sử $m\vdots p$ nhưng $m+n=p^{a}$ với $a> 0$ nên suy ra $n\vdots p$ suy ra vô lý do $gcd(m,n)=1$ loại TH này 

TH2: $d=p^{x}\Rightarrow p^{n-3x}=m^{3}+n^{3}$ đến đây giống TH1

Vậy $p=3$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số nguyên tố

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh