Bài 2 , Lời giải của Nguyenta98
Ngoài nghiệm tầm thường $p=2$ và $a=b=1$ thì xét các nghiệm khác :
Gọi $gcd(x,y)=d\Rightarrow x=dm ,y=dn,gcd(m,n)=1$
Suy ra $p^{n}=d^{3}(m^{3}+n^{3})$
Nhận thấy $p^{n}\vdots d^{3}$ $\Rightarrow p^{n}\vdots d$ $\Rightarrow d=1 , p^{x}$
TH1: $d=1$ $\Rightarrow p^{n}=m^{3}+n^{3},gcd(m,n)=1$
$\Rightarrow p^{n}=(m+n)(m^{2}-mn+n^{2})$
Nên $m+n=1$ hoặc $m+n=p^{a}$ nhưng $m,n\geq 1\Rightarrow m+n=p^{a}\Rightarrow m^{2}-mn+n^{2}=p^{b}$
với $a+b=n$ và $a,b\geq 1$
Khi ấy suy ra $(m+n)^{2}-(m^{2}-mn+n^{2})=p^{2a}-p^{b}=3mn$
$\blacksquare$ Nếu $p=3\Rightarrow 3^{2a-1}-3^{b-1}=mn$ mà thấy nếu $b> 1\Rightarrow mn\vdots 3\Rightarrow$ m hoặc n chia hết cho 3
Giả sử $m\vdots 3$\
Nhưng thấy $m+n=3^{a}\Rightarrow n\vdots 3$ vô lý do $gcd(m,n)=1$
Do đó suy ra $b=1\Rightarrow 3^{2a-1}-1=mn$
Kết hợp ta có cặp phuơng trình sau $3^{2a-1}-1=mn$ và $3^{a}=m+n\Rightarrow (m+n)^{2}-4mn=3^{2a}-4(3^{2a-1}-1)=(m-n)^{2}$
Do đó $3^{2a}-4(3^{2a-1}-1)$ là số chính phương hay $3.3^{2a-1}-4.3^{2a-1}+4$ chính phương hay $4-3^{2a-1}\geq 0\Rightarrow 3^{2a-1}=3\Rightarrow a=1(3^{2a-1}\neq 1 do a>0 )$
Như vậy ta có thể thấy $p=3$ thì $n=2$ và khi đó thỏa mãn đề bài
$\blacksquare$ Nếu $p\neq 3\Rightarrow p^{2a}-p^{b}=3mn$
Thấy $a,b> 0\Rightarrow p^{2a}-p^{b}\vdots b\Rightarrow m,n\vdots p$ ( do $gcd(3,p)=1$ )
Như vậy giả sử $m\vdots p$ nhưng $m+n=p^{a}$ với $a> 0$ nên suy ra $n\vdots p$ suy ra vô lý do $gcd(m,n)=1$ loại TH này
TH2: $d=p^{x}\Rightarrow p^{n-3x}=m^{3}+n^{3}$ đến đây giống TH1
Vậy $p=3$