Chủ đề này có 69 trả lời

[nghiemthanhbach]

$\frac{x}{\sqrt{1-x}}=\frac{x}{\sqrt{x+y-x}}=\frac{x}{\sqrt{y}}=\frac{1-y}{\sqrt{y}}$

Tương tự với cái cón lại

[canhhoang30011999]

Bài 7: Chứng minh $\frac{(a+b)^2-2}{(a+1)(1-b)}\geq 2\sqrt{2}$ với $a>b>0\wedge ab=1$ (bài này mình post lại vì lần trước post nhầm đề )

Bài 8: Chứng minh $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab}$ với $a\geq 1\wedge b\geq 1$

Bài 9: Chứng minh $\sum _{i=1}^{n}\frac{a_{i}^2}{b_{i}}> \frac{(\sum a_{i})^2}{(\sum b_{i})^{2n+1}}$ biết $\sum b_{i}> 1\wedge 2n+1> 2$

 

Bài 9 là bài mẹo tý thôi chứ dễ lắm

bài 8

biến đổi tương đương ta có $\left ( ab-1 \right )\left ( a+b \right )^{2}\geq 0$

do $a,b\geq 1$ nên bđt luôn đúng

[nguyentrungphuc26041999]

x+y=1 mà bạn

hề hề nhầm

ui da mình nhầm hì hì, sorry nhé

bài 10: Chứng minh$a^{n+k}+b^{n+k}+c^{n+k}\geq a^nb^k+b^nc^k+c^na^k$ với mọi $n,k\in \mathbb{N}$

giả sử $a\geq b\geq c$

theo bất đẳng thức hoán vị hiển nhiên đúng

[canhhoang30011999]

hề hề nhầm

giả sử $a\geq b\geq c$

theo bất đẳng thức hoán vị hiển nhiên đúng

nỏ hiểu

[nghiemthanhbach]

Bài 11: cho $a,b,c\geq 0\wedge a+b+c=1. MaxS=\sum _{cyc}\sqrt[3]{a+b}$

bài 12: Cho $a,b,c,d>0.MinS=(1+\frac{2a}{3b})(1+\frac{2b}{3c})(1+\frac{2c}{3d})(1+\frac{2d}{3a})$

Bài vui vẻ: Chứng minh $(x+1)^r>1+rx$ với $x>-1$ (bất đẳng thức Bernoulli)

Đi ngủ cái, mai chiến tiếp nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 05-10-2013 - 22:34

[nghiemthanhbach]

hề hề nhầm

giả sử $a\geq b\geq c$

theo bất đẳng thức hoán vị hiển nhiên đúng

Giải chi tiết đi bạn, viết vầy mình hiểu sao được?

bài này quả thật mình chưa nghĩ ra

[canhhoang30011999]

Bài 11: cho $a,b,c\geq 0\wedge a+b+c=1. MaxS=\sum _{cyc}\sqrt[3]{a+b}$

bài 12: Cho $a,b,c,d>0.MinS=(1+\frac{2a}{3b})(1+\frac{2b}{3c})(1+\frac{2c}{3d})(1+\frac{2d}{3a})$

Bài vui vẻ: Chứng minh $(x+1)^r>1+rx$ với $x>-1$ (bất đẳng thức Bernoulli)

Đi ngủ cái, mai chiến tiếp nhé

bài 12

S=$\frac{(3b+2a)\left ( 3c+2b \right )\left ( 3d+2c \right )\left ( 3a+2d \right )}{81abcd}$$\geq \frac{\prod 5\sqrt[5]{b^{3}a^{2}}}{81abcd}$$= \frac{5^{4}}{3^{4}}$

[nguyentrungphuc26041999]

Giải chi tiết đi bạn, viết vầy mình hiểu sao được?

bài này quả thật mình chưa nghĩ ra

theo bất đẳng thức hoán vị

$\sum a^{n+k}=\sum a^{n}.a^{k}\geq \sum a^{n}b^{k}$

vì $a\geq b\geq c$ nên đó là  2 dãy đồng điệu cùng chiều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrungphuc26041999: 05-10-2013 - 22:42

[canhhoang30011999]

theo bất đẳng thức hoán vị

$\sum a^{n+k}=\sum a^{n}.a^{k}\geq \sum a^{n}b^{k}$

vì $a\geq b\geq c$ nên đó là  2 dãy đồng điệu cùng chiều

rứa thì $c^{n+k}\geq c^{n}a^{k}$ răng được

[nguyentrungphuc26041999]

Bài 11: cho $a,b,c\geq 0\wedge a+b+c=1. MaxS=\sum _{cyc}\sqrt[3]{a+b}$

$\sum \sqrt[3]{a+b}= \sum \sqrt[3]{\frac{9}{4}}\sqrt[3]{\frac{2}{3}\frac{2}{3}\left ( a+b \right )}$

$\leq \sum \sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+a+b}{3}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}\left ( \frac{4}{3}+\frac{2\left ( a+b+c \right )}{3} \right )$

$\sqrt[3]{\frac{9}{4}}\left ( \frac{4}{3}+\frac{2\left ( a+b+c \right )}{3} \right )=2\sqrt[3]{\frac{9}{4}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrungphuc26041999: 06-10-2013 - 08:41

[nguyentrungphuc26041999]

rứa thì $c^{n+k}\geq c^{n}a^{k}$ răng được

ảo à hoàng,hoán vị mà

[nguyentrungphuc26041999]

Bài 11: cho $a,b,c\geq 0\wedge a+b+c=1. MaxS=\sum _{cyc}\sqrt[3]{a+b}$

bài 12: Cho $a,b,c,d>0.MinS=(1+\frac{2a}{3b})(1+\frac{2b}{3c})(1+\frac{2c}{3d})(1+\frac{2d}{3a})$

Bài vui vẻ: Chứng minh $(x+1)^r>1+rx$ với $x>-1$ (bất đẳng thức Bernoulli)

Đi ngủ cái, mai chiến tiếp nhé

bài bernulli thiếu đề

các dạng cơ bản 

$a>-1,n\in R+$ thì $\left ( 1+a \right )^{n}\geq 1+na$

dạng 2 $\left ( 1+a \right )^{n}\leq 1+na$ với $a> -1,r\in Q$ $0\leq r\leq 1$

dạng 3$\left ( 1+a \right )^{n}\geq 1+na$ với $a> -1,r\in Q$ với $r\leq 0$hoặc $r\geq 1$

[Rias Gremory]

Chứng minh BĐT Bernoulli

Khi $r=0$, BĐT trở thành $(1+x)^{0}\geq 1+0x$ tức là $1\geq 1$ ( luôn đúng)

Bây giờ giả sử BĐT đúng với r=k :$(1+x)^{k}\geq 1+kx$

Cần chứng minh: $(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x$

Thật vậy :$(1+x)^{k+1}=(1+x)(1+x^{k})\geq (1+x)(1+kx)$( vì theo giả thiết $(1+x)\geq 0$ )

$=1+kx+x+kx^{2}=1+(k+1)x+kx^{2}\geq 1+(k+1)x$ (vì $kx^{2}\geq 0$ )

$\Rightarrow$ Bất đẳng thức đúng với r=k 

Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi $r\geq 0$

Số mũ $r$ có thể tổng quát hoá thành số thực bất kỳ như sau: nếu $x> -1$ , thì 

$(1+x)^{r}\geq 1+rx$

Với $r\leq 0$ or $r\geq 1$ và :

$(1+x)^{r}< 1+rx$

Với $0\leq r\leq 1$

 bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu $x\geq -1$ và $1\leq r$ thuộc tập số tự nhiên.

[nghiemthanhbach]

Bài 11:  Cho $0< a,b,c\leq 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}+\sum (1-a)$

Bài 12:  Chứng minh $S=1+\sqrt{\frac{2+1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3+1}{3}}+...+\sqrt[n]{\frac{n+1}{n}}< n+1$

Bài 13: Chứng minh $\sqrt[n]{1+\frac{\sqrt[n]{n}}{n}}+\sqrt[n]{1-\frac{\sqrt[n]{n}}{1}}$

Bài 14: Cho $a\geq 2$. Tìm min $S=a+\frac{1}{a}$

Bài 15 (Mở đầu chương mới): Quy nạp bđt Buhiacopsky (AM-GM) dạng $(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k})^2\leq \sum _{k=1}^{n}a_k^2 \sum _{k=1}^{n}b_{k}^2$

Mình sẽ post lý thuyết sau, mọi người làm tạm mấy bài này trước nhé,

Bài sau sẽ là pp CBS dạng Engel

32

[Rias Gremory]

Bài 14. Chém câu dễ này trước!!

Nhận thấy điểm rơi là $a=2$

Ta có:

$S=a+\frac{1}{a}=a+\frac{4}{a}-\frac{3}{a}\geq 2\sqrt{a.\frac{4}{a}}-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$

Dấu = xảy ra khi a=2

[nghiemthanhbach]

Bài 14. Chém câu dễ này trước!!

Nhận thấy điểm rơi là $a=2$

Ta có:

$S=a+\frac{1}{a}=a+\frac{4}{a}-\frac{3}{a}\geq 2\sqrt{a.\frac{4}{a}}-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$

Dấu = xảy ra khi a=2

ồ, mình chép sai đề hì hì, phải là $S=a+\frac{1}{a^2}$. Hèn chi thấy giải dễ thế

[nguyentrungphuc26041999]

ồ, mình chép sai đề hì hì, phải là $S=a+\frac{1}{a^2}$. Hèn chi thấy giải dễ thế

ta có 

$a+\frac{1}{a^{2}}=\frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{3a}{4}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{64a^{2}}}+\frac{3a}{4}= \frac{3}{4}+\frac{3}{2}= \frac{9}{4}$

dấu bằng xảy ra khi $a=2$

[HungHuynh2508]

Đóng gọp Topic một số bài`

Bài 16,

Cho $x,y,z> 0$ . Chứng minh rằng :

$\sum \frac{2x}{x^{6}+y^{^{4}}}\leq \sum \frac{1}{x^{4}}$

Bài 17,

Cho a,b,c là các số dương thoã mãn a+b+c=3. Chung minh:

$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq \frac{9a^{2}b^{2}c^{2}}{1+2a^{2}b^{2}c^{2}}$

Bài 18,

Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh

$\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}$

[Rias Gremory]

Chém bài 16 trước ( khá dễ)

Ta có:

$x^{6}+y^{4}\geq 2\sqrt{x^{6}y^{4}}=2x^{3}y^{2}\Rightarrow \frac{2x}{x^{6}+y^{4}}\leq \frac{2x}{2x^{3}y^{2}}=\frac{1}{x^{2}y^{2}}$

Tương tự với 2 phân thức còn lại...

Chỉ cần chứng minh được BĐT :$\sum \frac{1}{x^{2}y^{2}}\leq \sum \frac{1}{x^{4}}$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo BDDT quen thuộc
$ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$ $\forall a,b,c\epsilon R$

Bài toán được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1

[Rias Gremory]

Bài 17,

BĐT $\Leftrightarrow (a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(2+\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}})\geq 9$

$\Leftrightarrow 2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+\frac{1}{ab^{2}}+\frac{1}{bc^{2}}+\frac{1}{ca^{2}}\geq 9$

Mà $a^{2}b+a^{2}b+\frac{1}{ab^{2}}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b.a^{2}b.\frac{1}{ab^{2}}}=3a$

Tương tự ....

$\Rightarrow 2\sum a^{2}b+\sum \frac{1}{ab^{2}}\geq 9$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1