Chủ đề này có 2 trả lời

[nntd111193]

 Cho S gồm các số S={1,2,3,..,2013}. gọi T là tập hợp tất cả các tập con  khác rỗng của S. với mỗi $X\in T$ , kí hiệu m(x) là trung bình cộng các phần tử của X.

Tính : $m=\frac{\displaystyle\sum_{X\in T}m(X)}{|T|}$

[hxthanh]

 Cho S gồm các số S={1,2,3,..,2013}. gọi T là tập hợp tất cả các tập con  khác rỗng của S. với mỗi $X\in T$ , kí hiệu m(x) là trung bình cộng các phần tử của X.

Tính : $m=\frac{\displaystyle\sum_{X\in T}m(X)}{|T|}$

$S_n=\{1,2,...,n\}$

$|T|=\sum_{k=1}^n C_n^k$

Gọi $X_k$ tập tất cả tập con của $S_n$ có $k$ phần tử

Gọi $m(X_k)$ là tổng tất cả các giá trị trung bình cộng của mỗi phần tử của $X_k$

Ta có: $k.m(X_k)=(1+2+...+n)C_{n-1}^{k-1}\Rightarrow m(X_k)=\dfrac{n+1}{2}\cdot C_n^k\quad(*)$

Suy ra

$M_n=\dfrac{\displaystyle\sum_{X\in T}m(X)}{|T|}=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n m(X_k)}{|T|}=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{n+1}{2}C_n^k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n C_n^k}=\dfrac{n+1}{2}$

 

Bài toán tương ứng với $n=2013$ là $M_{2013}=1007$

Tại sao lại có $(*)$?

Mỗi phần tử của $X_k$ là một tập con có $k$ phần tử, vậy nên

$k.m(X_k)$ là tổng của tất cả các phần tử của tất cả các tập của $X_k$

Rõ ràng mỗi phần tử $i$ có tất cả $C_{n-1}^{k-1}$ lần xuất hiện trong $X_k$

(Chọn $k-1$ trong $n-1$ phần tử còn lại)

Từ đó ta có $(*)$

[LNH]

 Cho S gồm các số S={1,2,3,..,2013}. gọi T là tập hợp tất cả các tập con  khác rỗng của S. với mỗi $X\in T$ , kí hiệu m(x) là trung bình cộng các phần tử của X.

Tính : $m=\frac{\displaystyle\sum_{X\in T}m(X)}{|T|}$

Đây chính là bài VMO 2002