Chủ đề này có 4 trả lời

[sherry Ai]

Cho a, b, c không âm thỏa mãn a+b+c=1. Tìm min:

$A=(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})$

[nguyenqn1998]

ta cần c/m $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geq \frac{250}{729}(a+b+c+1)^2$

cái này dùng cauchy schwarz là ra do tìm dc dấu '=' khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ rồi

[25 minutes]

Cho a, b, c không âm thỏa mãn a+b+c=1. Tìm min:

$A=(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})$

D0 vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a\leqslant b\leqslant c\Rightarrow a+b\leqslant \frac{2}{3}$

Ta sẽ chứng minh $(1+a^2)(1+b^2)\geqslant \left [ 1+\frac{(a+b)^2}{4} \right ]^2$

            $\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2b^2 \geqslant \frac{(a+b)^4}{16}+\frac{(a+b)^2}{2}$

            $\Leftrightarrow a^2+b^2-\frac{(a+b)^2}{2} \geqslant \frac{(a+b)^4}{16}-a^2b^2$

            $\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{2} \geqslant \frac{(a-b)^2\left [ (a+b)^2+4ab \right ]}{16}$

            $\Leftrightarrow 8\geqslant (a+b)^2+4ab$

BĐT trên luôn đúng do giả sử

Vậy $\prod (1+a^2)\geqslant \left [ 1+\frac{(a+b)^2}{4} \right ]^2(1+c^2)=\left [ 1+\frac{(1-c)^2}{4} \right ]^2(1+c^2)=f(c)$

Khảo sát $f(c)$ với $c \in \left [ \frac{1}{3};1 \right ]\Rightarrow f(c) \geqslant f(\frac{1}{3})=\frac{1000}{729}$

                $\Rightarrow \prod (1+a^2)\geqslant \frac{1000}{729}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}/{3}$

[Hoang Tung 126]

Hoặc cách như sau : Ta có :$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(a^2b^2c^2+1)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+(a^2+b^2+c^2)=(1-abc)^2+(1-(ab+bc+ac))^2+(a+b+c)^2-1=(1-abc)^2+\left [ 1-(ab+bc+ac) \right ]^2$

Theo bđt AM-GM có :$abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27}= > (1-abc)^2\geq (1-\frac{1}{27})^2,ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}= > (1-(ab+bc+ac))^2\geq (1-\frac{1}{3})^2$

Đến đây cộng theo vế là ra đpcm

[Binh Le]

ta cần c/m $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geq \frac{250}{729}(a+b+c+1)^2$

cái này dùng cauchy schwarz là ra do tìm dc dấu '=' khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ rồi

ban dung BDT gi vay? trinh bay ro ra giup minh dc ko? tks