Chủ đề này có 1 trả lời

[kurowanko68]

Cho $J=\begin{bmatrix} 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0 \end{bmatrix}$

Xét ma trận $A=\alpha I+\beta J$ , chứng minh rằng $A^{n}$ có dạng: $A^{n}=\alpha _{n}I+\beta _{n}J$ .Tính $\alpha _{n},\beta _{n}$ theo $\alpha ,\beta ,n$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kurowanko68: 25-11-2013 - 13:13

[1110004]

Cho $J=\begin{bmatrix} 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0 \end{bmatrix}$

Xét ma trận $A=\alpha I+\beta J$ , chứng minh rằng $A^{n}$ có dạng: $A^{n}=\alpha _{n}I+\beta _{n}J$ .Tính $\alpha _{n},\beta _{n}$ theo $\alpha ,\beta ,n$

Chứng minh bằng quy nạp thôi!

 

Dễ thấy $A^n=\alpha _nI+\beta _nJ$ 

với   $\left\{\begin{matrix}\alpha _1 & = &\alpha  \\  \alpha _n& = & \alpha _{n-1}^2+\beta _{n-1}^2\end{matrix}\right.$

 

và    $\left\{\begin{matrix}\beta _1 &  =&\beta  \\  \beta _n& = & 2\alpha _{n-1}\beta _{n-1}\end{matrix}\right.$

Nhiệm vụ còn lại là tìm công thức tổng quát của $2$ dãy trên (cái này quá dễ)

ta có:   

          $\left\{\begin{matrix}\alpha _n+\beta _n & = & (\alpha _{n-1}+\beta _{n-1})^2\\ \alpha _n-\beta _n&  =& (\alpha _{n-1}-\beta _{n-1})^2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha _n &  =& \frac{(\alpha +\beta )^{2^{n-1}}+(\alpha -\beta )^{2^{n-1}}}{2}\\ \beta _n & = & \frac{(\alpha +\beta )^{2^{n-1}}-(\alpha -\beta )^{2^{n-1}}}{2}\end{matrix}\right.$

hết!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 26-11-2013 - 18:40