Đến nội dung

Hình ảnh

Giải hệ phương trình (đề thi hsg tp.hà nội)

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
mathlike8

mathlike8

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}         \ x^3=3y^3-3z+1\ & & \\          \ y^3=3z^2-3x+1\ & & \\            \ z^3=3x^2-3y+1\ & & \end{matrix}\right.$

 

Mình coppy y nguyên đề thi hsp tp.HN trên trang chủ, mọi người cho ý kiến về phương trình đầu tiên và giải giúp mình.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathlike8: 25-11-2013 - 16:30


#2
nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết

 

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}         \ x^3=3y^3-3z+1\ & & \\          \ y^3=3z^2-3x+1\ & & \\            \ z^3=3x^2-3y+1\ & & \end{matrix}\right.$

 

Mình coppy y nguyên đề thi hsp tp.HN trên trang chủ, mọi người cho ý kiến về phương trình đầu tiên và giải giúp mình.

 

Đây là cách của mình mọi người xem có lỗi chỗ nào ko nhé :D

$\left\{\begin{matrix} \ x^3=3y^3-3z+1\ & & \\ \ y^3=3z^2-3x+1\ & & \\ \ z^3=3x^2-3y+1\ & & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix} x= \frac{y^3-3z^2-1}{3} & & \\ y= \frac{z^3-3x^2-1}{3} & & \\ z= \frac{x^3-3y^3-1}{3} & & \end{matrix}\right.$

Nếu $x>y$ ta chia 2 TH:

TH1: $y<z$

Ta có: $z=\frac{x^3-3y^2-1}{3}>\frac{y^3-3z^2-1}{3}=x$ => $z>x>y$

lại có: $y=\frac{z^3-3x^2-1}{3}>\frac{y^3-3z^2-1}{3}=x$ => $y>x$ (vô lý)

TH2 $x>y>z$

Ta có: $z=\frac{x^3-3y^3-1}{3} > \frac{z^3-3x^2-1}{3}=y$ => $z>y$ (vô lý)

Nếu $x<y$ tương tự => $x=y=z$ thế vào hệ => $x=y=z=1$



#3
mathlike8

mathlike8

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Hình như bạn nhầm dấu trong phép biến đổi tương đương ở bước 1 rồi



#4
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Đây là cách của mình mọi người xem có lỗi chỗ nào ko nhé :D

$\left\{\begin{matrix} \ x^3=3y^3-3z+1\ & & \\ \ y^3=3z^2-3x+1\ & & \\ \ z^3=3x^2-3y+1\ & & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix} x= \frac{y^3-3z^2-1}{3} & & \\ y= \frac{z^3-3x^2-1}{3} & & \\ z= \frac{x^3-3y^3-1}{3} & & \end{matrix}\right.$

Nếu $x>y$ ta chia 2 TH:

TH1: $y<z$

Ta có: $z=\frac{x^3-3y^2-1}{3}>\frac{y^3-3z^2-1}{3}=x$ => $z>x>y$

lại có: $y=\frac{z^3-3x^2-1}{3}>\frac{y^3-3z^2-1}{3}=x$ => $y>x$ (vô lý)     Có vần đề thì phải: $-3x^2>-3z^2$ có đúng khi $x<z<0$  không

TH2 $x>y>z$

Ta có: $z=\frac{x^3-3y^3-1}{3} > \frac{z^3-3x^2-1}{3}=y$ => $z>y$ (vô lý)

Nếu $x<y$ tương tự => $x=y=z$ thế vào hệ => $x=y=z=1$

Cách của mình: 

Từ hệ suy ra $(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0$ (*)

 

*Nếu $x=0$, $(*)\Leftrightarrow z=2-y$. 

 

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: $3y^2-3y+7=0$    (Phương trình vô nghiệm)

 

*Tương tự, $y=0$, $z=0$ hệ cũng vô nghiệm nên $xyz\neq 0$

 

*Đặt $x=ay=bz,ab\neq 0$

 

Hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3=\frac{3}{a^2}.x^2-\frac{3}{b}.x+1 & & & \\ x^3=\frac{3a^3}{b^2}.x^2-3a^3.x+a^3 & && \\ x^3=3b^2.x^2-\frac{3b^3}{a}.x+b^3 & & & \end{matrix}\right.$

 

Đống nhất hệ số, ta được $a=b=1$  $\Rightarrow x=y=z$

 

$(*)\Leftrightarrow 3(x-1)^3=0\Leftrightarrow x=1$

 

Thử lại, $x=y=z=1$ thỏa mãn



#5
BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết

Cách của mình: 

Từ hệ suy ra $(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0$ (*)

 

*Nếu $x=0$, $(*)\Leftrightarrow z=2-y$. 

 

Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: $3y^2-3y+7=0$    (Phương trình vô nghiệm)

 

*Tương tự, $y=0$, $z=0$ hệ cũng vô nghiệm nên $xyz\neq 0$

 

*Đặt $x=ay=bz,ab\neq 0$

 

Hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3=\frac{3}{a^2}.x^2-\frac{3}{b}.x+1 & & & \\ x^3=\frac{3a^3}{b^2}.x^2-3a^3.x+a^3 & && \\ x^3=3b^2.x^2-\frac{3b^3}{a}.x+b^3 & & & \end{matrix}\right.$

 

Đống nhất hệ số, ta được $a=b=1$  $\Rightarrow x=y=z$

 

$(*)\Leftrightarrow 3(x-1)^3=0\Leftrightarrow x=1$

 

Thử lại, $x=y=z=1$ thỏa mãn

Chỉ được đồng nhất $2$ đa thức khi nó đúng với mọi giá trị của biến số.

-----------------------------------------------

Cộng $3$ phương trình của hệ cho ta : $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}=0$

Do là hệ hoán vị nên ta chỉ cần xét $2$ TH:

TH 1: $x> y> z$.

Từ $y>z\Rightarrow y^{3}> z^{3}\Rightarrow 3z^{2}-3x> 3x^{2}-3y\Leftrightarrow 3(z^{2}-x^{2})> 3(x-y)> 0\Rightarrow z^{2}>x^{2}$

Kết hợp giả thiết ta có $0>x>z$.

Mặt khác lại có :$(y-1)^{3}=(1-x)^{3}+(1-z)^{3}> 0\Rightarrow y> 1> 0> x$ (Trái với điều giả sử)

Th 2:  $x> z> y$.

Tương tự :

 

$x> z\Leftrightarrow x^{3}> z^{3}\Rightarrow 3y^{2}-3z> 3x^{2}-3y\Leftrightarrow y^{2}-x^{2}> z-y> 0\Rightarrow 0>x>y$

Mà $x>z>y$ nên $0>x>z>y$.Vậy nên $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}<0$.

Vậy ta có $x=y=z$.Thay vào giải được $x=y=z=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 01-12-2013 - 17:37

~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#6
nuocmamkhamkham

nuocmamkhamkham

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
từ z^{2} > x^{2} sao lại suy được luôn z < x <0.Hoàn toàn có thể xảy ra z<0<;x mà !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuocmamkhamkham: 06-12-2013 - 21:52


#7
kb1212

kb1212

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Chỉ được đồng nhất $2$ đa thức khi nó đúng với mọi giá trị của biến số.

-----------------------------------------------

Cộng $3$ phương trình của hệ cho ta : $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}=0$

Do là hệ hoán vị nên ta chỉ cần xét $2$ TH:

TH 1: $x> y> z$.

Từ $y>z\Rightarrow y^{3}> z^{3}\Rightarrow 3z^{2}-3x> 3x^{2}-3y\Leftrightarrow 3(z^{2}-x^{2})> 3(x-y)> 0\Rightarrow z^{2}>x^{2}$

Kết hợp giả thiết ta có $0>x>z$.

Mặt khác lại có :$(y-1)^{3}=(1-x)^{3}+(1-z)^{3}> 0\Rightarrow y> 1> 0> x$ (Trái với điều giả sử)

Th 2:  $x> z> y$.

Tương tự :

 

$x> z\Leftrightarrow x^{3}> z^{3}\Rightarrow 3y^{2}-3z> 3x^{2}-3y\Leftrightarrow y^{2}-x^{2}> z-y> 0\Rightarrow 0>x>y$

Mà $x>z>y$ nên $0>x>z>y$.Vậy nên $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}<0$.

Vậy ta có $x=y=z$.Thay vào giải được $x=y=z=1$.

bạn ơi nhìn kĩ lại cái hệ thấy nó có hoán vị vòng quanh đâu bạn. cộng 3 phương trình lại hình như không được $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}=0$

phương trình đầu tiên là 3y^3 các phương trình còn lại là 3z^2 và 3x^2 mà.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh