Chủ đề này có 2 trả lời

[NVHT]

Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E$ là giao điểm của $AC, BD$. Giả sử có điểm $P$ nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho $\angle PAB+\angle PCB=\angle PBC+\angle PDC= 90^0$. Chứng minh ba điểm $E,O,P$ thẳng hàng.

[BlackSelena]

Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E$ là giao điểm của $AC, BD$. Giả sử có điểm $P$ nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho $\angle PAB+\angle PCB=\angle PBC+\angle PDC= 90^0$. Chứng minh ba điểm $E,O,P$ thẳng hàng.

Tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $D$ cắt nhau tại $X$, tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau tại $Y$.

Dễ dàng $\text{Angle-chasing}$ để có $P \in (X,XB)$ và $P \in Y,YC)$. Nên nó nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn, kí hiệu tạm là $\Delta$

Mặt khác $O, E \in \Delta$ nên có đpcm~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 26-11-2013 - 21:04

[haitienbg]

Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E$ là giao điểm của $AC, BD$. Giả sử có điểm $P$ nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho $\angle PAB+\angle PCB=\angle PBC+\angle PDC= 90^0$. Chứng minh ba điểm $E,O,P$ thẳng hàng.

Cách giải khác..

Gọi $(M),(N)$ lần lượt là đtròn $(PAC),(PBD)$ 

Từ giả thiết ta được $AOC+AMC=180^0$ nên hai đường tròn $(M), (O)$ trực giao

$\Rightarrow$ $AC$ là polar của $M$

Tương tự $BD$ là polar của $N$

Do đó $OE, MN$ vuông góc

Mà $PE, MN$ vuông góc nên có đpcm