Chủ đề này có 7 trả lời

[hadesofmath]

Các bạn giải giùm bài này với:

Cho các số hữu tỉ x;y thoả mãn $x^{3}+y^{3}=2xy$. Chứng minh $1-xy$ là bình phương của một số hữu tỉ

Mình học lớp 8.

Thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hadesofmath: 30-11-2013 - 20:11

[Hoang Tung 126]

Ta có :$x^3+y^3=2xy= > (x+y)(x^2-xy+y^2)=2xy= > (x+y)((x+y)^2-3xy)=2xy= > (x+y)^2-3xy=\frac{2xy}{x+y}= > (x+y)^2=xy(\frac{2}{x+y}+3)$

[Yagami Raito]

Xem tại đây

[datcoi961999]

$+)y=0=>t/m\\ +)y\neq 0 <=>\frac{x^3}{y^2}+y=2\frac{x}{y}<=>\frac{x^3}{y^2}-2\frac{x}{y}=-y\\=>\frac{x^4}{y^2}-2\frac{x^2}{y}+1=1-xy=(\frac{x^2}{y}-1)^2$

(chậm mất rồi)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datcoi961999: 30-11-2013 - 20:21

[Rias Gremory]

Các bạn giải giùm bài này với:

Cho các số hữu tỉ x;y thoả mãn $x^{3}+y^{3}=2xy$. Chứng minh $1-xy$ là bình phương của một số hữu tỉ

Mình học lớp 8.

Thanks

Bài này có rất nhiều cách, mình xin đóng góp cách chưa ai dùng hết 

Khi $xy=0$ thì ta có ĐPCM

Khi $xy\neq 0$

Chia cả $2$ vế cho $xy$ ta có $\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}=2$

Mà $\frac{x^{2}}{y}.\frac{y^{2}}{x}=xy$

Nên $\frac{x^{2}}{y},\frac{y^{2}}{x}$ là nghiệm của phương trình 

$X^{2}-2X+xy=0$

$\Delta '=1-xy$ là bình phương của một số hữu tỉ

[Rias Gremory]

Các bạn giải giùm bài này với:

Cho các số hữu tỉ x;y thoả mãn $x^{3}+y^{3}=2xy$. Chứng minh $1-xy$ là bình phương của một số hữu tỉ

Mình học lớp 8.

Thanks

Cách khác

Khi $xy=0$ có ĐPCM

Khi $xy\neq 0$ , ta có :

$\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}=2\Rightarrow \frac{x^{4}}{y^{2}}+\frac{y^{4}}{x^{2}}+2xy=4\Leftrightarrow \frac{x^{4}}{y^{2}}+\frac{y^{4}}{x^{2}}-2xy=4-4xy\Leftrightarrow 1-xy=(\frac{\frac{x^{2}}{y}-\frac{y^{2}}{x}}{2})^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SieuNhanVang: 30-11-2013 - 20:28

[Rias Gremory]

Các bạn giải giùm bài này với:

Cho các số hữu tỉ x;y thoả mãn $x^{3}+y^{3}=2xy$. Chứng minh $1-xy$ là bình phương của một số hữu tỉ

Mình học lớp 8.

Thanks

Cách thứ $3$

Bình phương $2$ vế của PT ta có :

$x^{6}+y^{6}+2x^{3}y^{3}=4x^{2}y^{2}\Leftrightarrow x^{6}+y^{6}-2x^{3}y^{3}=4x^{2}y^{2}-4x^{3}y^{3}\Leftrightarrow 4x^{2}y^{2}(1-xy)=(x^{3}-y^{3})^{2}\Rightarrow 1-xy=(\frac{x^{3}-y^{3}}{2xy})^{2}$

[huuhieuht]

xét Y khác 0 sau đó đặt X=YT rồi thay vào phương trình là ok