Chủ đề này có 1 trả lời

[hihi2zz]

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} u_1=1,u_2=2,u_3=3,u_4=4\\ u_{n+4}=\frac{1}{4}(u_{n}+u_{n+1}+u_{n+2}+u_{n+3}),\forall n \in \mathbb{N^{*}} \end{matrix}\right.$

Tìm $\lim u_n$.

[Ispectorgadget]

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} u_1=1,u_2=2,u_3=3,u_4=4\\ u_{n+4}=\frac{1}{4}(u_{n}+u_{n+1}+u_{n+2}+u_{n+3}),\forall n \in \mathbb{N^{*}} \end{matrix}\right.$

Tìm $\lim u_n$.

Đặt $a_n=\max\{u_n;x_{n+1};u_{n+2};u_{n+3}\}; b_n=\min \{u_n;u_{n+1};u_{n+2};u_{n+3}\}$

Ta chứng minh $a_{n+1}\le a_n$ .
Nếu $a_{n+1}>a_n$ thì $a_{n+1}\neq u_{n+1};u_{n+2};u_{n+3}$ do đó
Do đó $a_{n+1}=a_{n+4}\Rightarrow u_{n+4}>a_n \ge u_n$
Như vậy $u_{n+4}>\frac{1}{4}(u_{n}+u_{n+1}+u_{n+2}+u_{n+3})$

Mâu thuẫn với giả thiết

 

Do đó $a_{n+1}\le a_n$

Tương tự $b_{n+1}\ge b_n$

Vậy ta có dãy các đoạn lồng nhau $$[b_1;a_1]\supset [b_2;a_2]\supset ...[b_n;a_n]\supset ...$$

Ta chứng minh tiếp $d_n=a_n-b_n \to 0$.

Dễ thấy $(d_n)$ là dãy giảm. Và
$x_{n+4}-x_n\le a_{n+4}-b_n \le a_n-b_n=d_n$
$x_{n+4}-x_n\ge b_{n+3}-a_n\ge b_n-a_n =-d_n$
$\Rightarrow |x_{n+4}-x_n|\le d_n$
$$\Rightarrow |x_{n+5}-x_{n+4}=\begin{vmatrix}
\frac{x_n+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}+x_{n+4}}{4}-\frac{x_n+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}}{4}
\end{vmatrix}=\frac{|x_{n+4}-x_n|}{4}\le \frac{d_n}{4}$$

Tương tự $|x_{n+6}-x_{n+5}|\le \frac{d_n}{3}$
$$|x_{n+6}-x_{n+4}|\le |x_{n+6}-x_{n+5}|+|x_{n+5}-x_{n+4}|\le \frac{d_n}{2}$$

Suy ra $d_{n+4}=a_{n+4}-b_{n+4}\le \frac{d_n}{2}$

Ta có $d_5\le \frac{d_1}{2};d_6 \le \frac{d_2}{2};...$
$\Rightarrow d_n^4 \le \left(\frac{1}{2} \right )^{n-4}d_1d_2d_3d_4$

Hay $0\le d_n \le \sqrt[4]{\left(\frac{1}{2} \right )^{n-4}d_1d_2d_3d_4}$

 

Mà $ \sqrt[4]{\left(\frac{1}{2} \right )^{n-4}d_1d_2d_3d_4}\to 0$ nên $d_n \to 0$.
Như vậy các đoạn thắt trên có một điểm chung $c$ duy nhất.
Ta có $b_n\le u_n \le a_n;b_n\le c\le a_n$
$\Rightarrow |u_n-c|\le a_n-b_n=d_n$

Mà $d_n\to 0$ nên $u_n\to c$.
Để tìm $c$ ta tìm $\alpha;\beta;\gamma;\lambda$ sao cho $u_{n+3}=\alpha +\beta u_{n+2}+\gamma u_{n+1}+\lambda u_n$

Cho $n=1;2;3;4$ thì ta sẽ tìm được công thức truy hồi của dãy.

 

Tới đây tìm được $c$ từ đó suy ra giới hạn :v .