Chủ đề này có 1 trả lời

[Forgive Yourself]

Cho $x\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^2+(3-x)^2\geq 5$. Tìm $Min$ của $P=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$

[Forgive Yourself]

Đặt $y=3-x$ bài toán đã cho trở thành:

 

Tìm $Min$ của $P=x^4+y^4+6x^2y^2$ trong đó $x,y$ là các số thực thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y=3\\ x^2+y^2\geq 5 \end{matrix}\right.$

 

Từ các hệ thức trên ta có: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2xy=9\\ x^2+y^2\geq 5 \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow (x^2+y^2)+4(x^2+y^2+2xy)\geq 5+4.9=41$

 

$\Rightarrow 5(x^2+y^2)+4(2xy)\geq 41$

 

Mặt khác:

 

$16(x^2+y^2)^2+25(2xy)^2\geq 40(x^2+y^2)(2xy)$    ($1$)

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x^2+y^2)=5(2xy)$

 

Cộng hai vế của BĐT ($1$) với $25(x^2+y^2)^2+16(2xy)^2$ ta thu được

 

$41[(x^2+y^2)^2+(2xy)^2]\geq [5(x^2+y^2)+4(2xy)]^2\geq 41^2$

 

Suy ra: $(x^2+y^2)^2+(2xy)^2\geq 41\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\geq 41$

 

Đẳng thức xảy ra 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=3\\ x^2+y^2=5\\ 4(x^2+y^2)=5(2xy) \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} (x;y)=(1;2)\\ (x;y)=(2;1) \end{bmatrix}$

 

Do đó $P_{Min}=41\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=2$