Chủ đề này có 8 trả lời

[4869msnssk]

cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $x+y=\sqrt{10}$

tìm min $Q=(x^4+1)(y^4+1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 4869msnssk: 26-01-2014 - 09:00

[lahantaithe99]

cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $x+y=\sqrt{10}$

tìm min $Q=(x^4+1)(y^4+1)$

Mình làm thế này không bít có đúng không

$Q=(x^4+\frac{25}{4}-\frac{21}{4})(\frac{25}{4}+y^4-\frac{21}{4})$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

$Q\geq (\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}y^2-\frac{21}{4})^2\geq (\frac{5}{4}(x+y)^2-\frac{21}{4})^2=\frac{841}{16}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\sqrt{2,5}$

[4869msnssk]

Mình làm thế này không bít có đúng không

$Q=(x^4+\frac{25}{4}-\frac{21}{4})(\frac{25}{4}+y^4-\frac{21}{4})$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

$Q\geq (\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}y^2-\frac{21}{4})^2\geq (\frac{5}{4}(x+y)^2-\frac{21}{4})^2=\frac{841}{16}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\sqrt{2,5}$

chỗ này không an tâm lắm

[lahantaithe99]

Nói thật khi làm đến chỗ ấy chính bản thân mình cũng không an tâm

Không biết áp dụng bất đẳng thức Bunhia như vậy đúng hay ko 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 26-01-2014 - 10:07

[letankhang]

Mình làm thế này không bít có đúng không

$Q=(x^4+\frac{25}{4}-\frac{21}{4})(\frac{25}{4}+y^4-\frac{21}{4})$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

$Q\geq (\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}y^2-\frac{21}{4})^2\geq (\frac{5}{4}(x+y)^2-\frac{21}{4})^2=\frac{841}{16}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\sqrt{2,5}$

Sai rồi !! $\min Q=45$ mới đúng chứ bạn !!
 

 

cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $x+y=\sqrt{10}$

tìm min $Q=(x^4+1)(y^4+1)$

Đặt $xy=t$
$\Rightarrow Q=t^{4}+2t^{2}-40t+101=t^{4}-8t^{2}+16+10t^{2}-40t+40+45=(t^{2}-4)^{2}+10(t-2)^{2}+45\geq 45$
Vậy :
$\min Q=45\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy=2 & \\ x+y=\sqrt{10} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} & \\ y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2} & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2} & \\ y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$
 

[mnguyen99]

Sai rồi !! $\min Q=45$ mới đúng chứ bạn !!
 

 

Đặt $xy=t$
$\Rightarrow Q=t^{4}+2t^{2}-40t+101=t^{4}-8t^{2}+16+10t^{2}-40t+40+45=(t^{2}-4)^{2}+10(t-2)^{2}+45\geq 45$
Vậy :
$\min Q=45\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy=2 & \\ x+y=\sqrt{10} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} & \\ y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2} & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2} & \\ y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$
 

sao bạn ra Q thế này được.

[letankhang]

sao bạn ra Q thế này được.

$gt\Rightarrow Q=x^{4}y^{4}+x^{4}+y^{4}+1$
Đặt $xy=t$
$\Rightarrow x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}=((x+y)^{2}-2xy)^{2}-2t^{2}=(10-2t)^{2}-2t^{2}=2t^{2}-40t+100$
$\Rightarrow Q=t^{4}+2t^{2}-40t+101$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 26-01-2014 - 09:51

[wtuan159]

$x+y=\sqrt{10}$ (1)

$Q=(x^{4}+1)(y^{4}+1)=x^{4}y^{4}+x^{4}+y^{4}+1=x^{4}y^{4}+[(x+y)^{2}-2xy]^{2}-2x^{2}y^{2}+1(2)$

Thế (1) vào (2):

<=>$Q=x^{4}y^{4}+2x^{2}y^{2}-40xy+101$

Ta có: 

$(x+y)^{2}\geq 4xy$

<=>$xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{5}{2}$

Đặt t=xy $(-\infty ;\frac{5}{2})$

Xét $f(t)=t^{4}+2t^{2}-40t+101 \forall t \epsilon (-\infty ;\frac{5}{2}]$

$f'(t)=4t^{3}+4t-40$$f'(t)=0 <=>t=2 (n)$

Lập BBT trên đoạn từ $(-\infty ;\frac{5}{2}]$

Ta thấy Min Q=Min f(t)=Min f(2)=45

Kết luận Min Q=$45$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wtuan159: 26-01-2014 - 10:00

[wtuan159]

Mình làm thế này không bít có đúng không

$Q=(x^4+\frac{25}{4}-\frac{21}{4})(\frac{25}{4}+y^4-\frac{21}{4})$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

$Q\geq (\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}y^2-\frac{21}{4})^2\geq (\frac{5}{4}(x+y)^2-\frac{21}{4})^2=\frac{841}{16}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\sqrt{2,5}$

Kết quả này là Max chứ ko phải Min