Chủ đề này có 2 trả lời

[luantran1997]

Tìm tất cả các nghiệm (x,y) thoả mãn :   $ 2^{k} \mid 73^{73^{x}} - 9^{9^{y}} $ , trong đó $ k \geq  7 $ . 

[luantran1997]

Bài này mình định chứng minh phương trình có vô số cặp (x,y) thỏa mãn, cảm thấy khá ổn nhưng lại không đả động gì tới điều kiện $ k \geq  7 $ và với $ k\leq 6 $ thì lại luôn thỏa.  Còn nếu muôn $ 2^{8} \models  73^{73^{x}} - 9^{9^{y}} $  theo modulo lại luôn chọn được x,y thỏa mãn ?

[WhjteShadow]

Tìm tất cả các nghiệm (x,y) thoả mãn :   $ 2^{k} \mid 73^{73^{x}} - 9^{9^{y}} $ , trong đó $ k \geq  7 $ . 

 

Bài này mình định chứng minh phương trình có vô số cặp (x,y) thỏa mãn, cảm thấy khá ổn nhưng lại không đả động gì tới điều kiện $ k \geq  7 $ và với $ k\leq 6 $ thì lại luôn thỏa.  Còn nếu muôn $ 2^{8} \models  73^{73^{x}} - 9^{9^{y}} $  theo modulo lại luôn chọn được x,y thỏa mãn ?

Tại vì bài này là tìm "số nghiệm" chứ k phải tìm tất cả các nghiệm bạn ạ Và đề bài thiếu $0\leq x,y<2^{k}$.

Ta chứng min bổ đề sau :

$\bullet$ Nếu $73^{73^x}\equiv 73^{73^y}\pmod{2^k}\Leftrightarrow x-y \vdots 2^{k-6}$

Thật vậy nhắc lại bổ đề nâng lũy thừa LTE với số nguyên tố 2 :  Gọi $v_x(x)$ là lũy thừa của 2 trong khai triển thừa số nguyên tố, lúc đó nếu $4\mid x-y$, $x,y$ lẻ thì $v_2(x^n-y^n)=v_2(x-y)+v_2(n)$.

Ta có $73^{73^x}\equiv 73^{73^y}\pmod{2^k}\Leftrightarrow 73^{73^x-73^y}\equiv 1\pmod{2^{k}}$

Áp dụng bổ đề nâng lũy thừa :

$$v_2(73^{73^x-73^y}-1)=v_2(72)+v_2(73^x-73^y)\\=3+v_2(72)+v_2(x-y)\\=6+v_2(x-y)$$

Vậy $v_2(73^{73^x-73^y}-1)\geq k\Leftrightarrow v_2(x-y)\geq k-6$ ta có điều phải chứng minh

Từ bổ đề 1 ta suy ra tập $\{73^{73^x},x=\overline{0;2^k-1}$ có thể phân hoạch thành $64 \,(2^{6})$ tập mà mỗi tập có $2^{k-6}$ phần tử, các phần tử trong 1 tập bất kì không đồng dư với nhau $\pmod{2^{k}}$ .

Mặt khác lại theo bổ đề nâng lũy thừa, ta dễ dàng chứng minh :

$$73^{73^{x}}\equiv 73\equiv 9\equiv 9^{9^{y}}\pmod{2^{6}}$$

Từ đây ta thấy tập $\{73^{73^x},x=\overline{0;2^k-1}$ có thể phân hoạch thành $64 \,(2^{6})$ tập mà mỗi tập có $2^{k-6}$ phần tử, mỗi phần tử có dạng $2^6.t+9$ và 2 phần tử bất kì không đồng dư nhau $\pmod{2^{k}}$

Do $9\equiv 9^{9^{y}}\pmod{2^{6}}$ suy ra với mỗi $y=\overline{0;2^{k}-1}$ ở mỗi tập con $2^{k-6}$ phần tử thì tồn tại duy nhất 1 số $x$ sao cho $73^{73^{x}} \equiv9^{9^{y}}\pmod{2^{k}}$, mà có $2^{6}$ tập.

Vậy số cặp nghiệm $(x,y)$ thỏa đề là :

$$2^{6}.2^{x}=2^{x+6}\,\,\, \square$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 20-02-2014 - 04:58