Chủ đề này có 5 trả lời

[lovemathforever99]

Số thực $x$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện $x^{2}+(3-x)^{2}\geq 5$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=x^{4}+(3-x)^{4}+6x^{2}(3-x)^{2}$

[buitudong1998]

Số thực $x$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện $x^{2}+(3-x)^{2}\geq 5$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=x^{4}+(3-x)^{4}+6x^{2}(3-x)^{2}$

Đặt y=3-x bài toán trở thành : Tìm GTNN của $x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}$ trong đó x, y thỏa mãn  : $x^{2}+y^{2}\geqslant 5;x+y=3$

Từ hai hệ thức trên ta có : $(x^{2}+y^{2})+4(x+y)^{2}\geqslant 41\rightarrow 5(x^{2}+y^{2})+8xy\geqslant 41$

Mà : $16(x^{2}+y^{2})^{2}+25(2xy)^{2}\geqslant 40(x^{2}+y^{2})(2xy)$ đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x^{2}+y^{2})=5(2xy)$

Cộng hai vế của bất đẳng thức trên cho $25(x^{2}+y^{2})^{2}+16(2xy)^{2}\rightarrow 41((x^{2}+y^{2})^{2}+2xy)\geqslant (5(x^{2}+y^{2}+8xy))^{2}\geqslant 41^{2}\rightarrow x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}\geqslant 41$.

[lovemathforever99]

Đặt y=3-x bài toán trở thành : Tìm GTNN của $x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}$ trong đó x, y thỏa mãn  : $x^{2}+y^{2}\geqslant 5;x+y=3$

Từ hai hệ thức trên ta có : $(x^{2}+y^{2})+4(x+y)^{2}\geqslant 41\rightarrow 5(x^{2}+y^{2})+8xy\geqslant 41$

Mà : $16(x^{2}+y^{2})^{2}+25(2xy)^{2}\geqslant 40(x^{2}+y^{2})(2xy)$ đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x^{2}+y^{2})=5(2xy)$

Cộng hai vế của bất đẳng thức trên cho $25(x^{2}+y^{2})^{2}+16(2xy)^{2}\rightarrow 41((x^{2}+y^{2})^{2}+2xy)\geqslant (5(x^{2}+y^{2}+8xy))^{2}\geqslant 41^{2}$\rightarrow x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}\geqslant 41$.

Chỗ này không được tự nhiên lắm nhỉ? Làm sao bác biết mà cộng vào?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 23-02-2014 - 10:56

[buitudong1998]

Chỗ này không được tự nhiên lắm nhỉ? Làm sao bác biết mà cộng vào?

Cộng vào cốt để sử dụng BĐT trước thôi không có gì lạ cả

[Forgive Yourself]

Đặt y=3-x bài toán trở thành : Tìm GTNN của $x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}$ trong đó x, y thỏa mãn  : $x^{2}+y^{2}\geqslant 5;x+y=3$

Từ hai hệ thức trên ta có : $(x^{2}+y^{2})+4(x+y)^{2}\geqslant 41\rightarrow 5(x^{2}+y^{2})+8xy\geqslant 41$

Mà : $16(x^{2}+y^{2})^{2}+25(2xy)^{2}\geqslant 40(x^{2}+y^{2})(2xy)$ đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x^{2}+y^{2})=5(2xy)$

Cộng hai vế của bất đẳng thức trên cho $25(x^{2}+y^{2})^{2}+16(2xy)^{2}\rightarrow 41((x^{2}+y^{2})^{2}+2xy)\geqslant (5(x^{2}+y^{2}+8xy))^{2}\geqslant 41^{2}\rightarrow x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}\geqslant 41$.

 

$41\left [ (x^{2}+y^{2})^{2}+(2xy)^2 \right ]$

[nxhoang99]

Đặt y=3-x bài toán trở thành : Tìm GTNN của $x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}$ trong đó x, y thỏa mãn  : $x^{2}+y^{2}\geqslant 5;x+y=3$

Từ hai hệ thức trên ta có : $(x^{2}+y^{2})+4(x+y)^{2}\geqslant 41\rightarrow 5(x^{2}+y^{2})+8xy\geqslant 41$

Mà : $16(x^{2}+y^{2})^{2}+25(2xy)^{2}\geqslant 40(x^{2}+y^{2})(2xy)$ đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x^{2}+y^{2})=5(2xy)$

Cộng hai vế của bất đẳng thức trên cho $25(x^{2}+y^{2})^{2}+16(2xy)^{2}\rightarrow 41((x^{2}+y^{2})^{2}+2xy)\geqslant (5(x^{2}+y^{2}+8xy))^{2}\geqslant 41^{2}\rightarrow x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}\geqslant 41$.

cho e hỏi cái biểu thức trên nó ở đâu ra vậy!!a tự nghĩ ra hay suy ra từ đâu ko ạ??