Chủ đề này có 7 trả lời

[25 minutes]

Câu 1: Cho hàm số $y=x^4-6x^2$

a, Khảo sát và vẽ đồ thị đã cho

b, Tìm $m$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại $4$ điểm phân biệt $A,B,C,D$ sao cho $AB=BC=CD$

Câu 2: a, Giải phương trình $\tan x+ \tan 2x+ \tan 3x=\tan 6x$

b, Tìm GTNN và GTLN của $y=\frac{(x+1)^{10}(x^2+x+1)^3}{(x^2+1)^8}$

Câu 3: a, Tính nguyên hàm $I=\int \frac{\sin xdx}{(\sin x+\cos x)^3}$

b, Cho$P(x)=(1+x+\frac{1}{x^4})^{20}$

Tìm số hạng không phụ thuộc $x$ trong khai triển trên

c, Xét số $a=112233334444$, thay đổi vị trí các chữ số của $a$ nhận được bao nhiêu số mà $2$ chữ số $1$, $2$ chữ số $2$ không đứng cạnh nhau

Câu 4: a, Cho chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, $SA=SB=SC=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \widehat{BAD}=60^0$. Tính thể tích khối chóp

b, Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho $(C): x^2-2x+y^2+4y+2=0$. Viết phương trình đường tròn $(C')$ sao cho $(C')$ cắt $(C)$ tại $2$ điểm $A,B$ sao cho $AB^2=3$

c, Trong hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{3},d_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{4}$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ sao cho $(P)$ cách đều $2$ đường thẳng

Câu 5: Cho $a,b,c \geqslant 1$

Chứng minh rằng $\frac{1}{1+a^6}+\frac{2}{1+b^3}+\frac{3}{1+c^2}\geqslant \frac{6}{1+abc}$

[luuvanthai]

Câu 1 b:Đặt $x^{2}=t(t\geq 0)$ 

Đường thẳng y cất đồ thị tai 4 điểm phân biệt $\Leftrightarrow t^{2}-6t-m=0$ có 2 nghiệm t1,t2 dương phân biệt

Do A,B,C,D cùng thuộc 1 đường thẳng mà AB=BC=CD nên B là trung điểm của AC;C là trung điểm của BD

A,D đối xứng với nhau qua Oy,B,C cũng đối xứng với nhau qua Oy.

Giả sử $A(-\sqrt{t1};m),B(-\sqrt{t2};m),C(\sqrt{t2};m),D(\sqrt{t1};m)$.Khi đó $\sqrt{t1}=3\sqrt{t2}\Leftrightarrow t1=9t2$

Lại có $t1+t2=-6;t1.t2=-m$ $\Rightarrow t2=\frac{-3}{5};m=-9(t2)^{2}=\frac{-81}{25}$.

[luuvanthai]

Câu 2:DK $cosx;cos2x;cos3x;cos6x$ tất cả đều khác 0.

PT $\Leftrightarrow \frac{sinx}{cosx}+\frac{sin2x}{cos2x}=sin3x(\frac{2cosx}{cos6x}-\frac{1}{cosx})$

$\Leftrightarrow sin3x(\frac{1}{cosx.cos2x}-\frac{1}{cos3x.cos6x})=0$

$\Leftrightarrow sin3x=0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{3}$

hoặc $cosx.cos2x=cos3x.cos6x\Leftrightarrow cosx=cos9x\Leftrightarrow ...........$

[luuvanthai]

Câu3 $\frac{sinx}{(sinx+cosx)^{3}}=\frac{(sinx+cosx)-(cosx-sinx)}{2(sinx+cosx)^{3}}=\frac{1}{4sin(x+\frac{\pi }{4})}-\frac{cosx-sinx}{2(sinx+cosx)^{3}}$

$\Rightarrow I=\int \frac{1}{4(sin(x+\frac{\pi }{4})^{2})}dx-\int \frac{1}{2(sinx+cosx)^{3}}d(sinx+cosx)=\frac{-1}{4}cot(x+\frac{\pi }{4})-\frac{3}{2}(sinx+cosx)^{\frac{2}{3}}+C$

[luuvanthai]

Câu5:Bài này thì ta phải sử dụng 2 bổ đề đơn giản sau:Với $x,y,z\geq 1$ ta luôn có 

+,$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$ (1)

+,$\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}}\geq \frac{3}{1+xyz}$(2)

(1) thì cm đơn giản ,cm (2) qua (1) như sau:

$(\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}})+(\frac{1}{1+z^{3}}+\frac{1}{1+xyz})\geq \frac{2}{1+\sqrt{x^{3}y^{3}}}+\frac{2}{1+\sqrt{xyz^{4}}}\geq \frac{4}{1+\sqrt[4]{x^{4}y^{4}z^{4}}}$

Ta có $\frac{1}{1+a^{6}}+\frac{2}{1+b^{3}}+\frac{3}{1+c^{2}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^{6}.b^{3}}}+\frac{2}{1+\sqrt{b^{3}.c^{2}}}+\frac{2}{1+c^{2}}\geq \frac{6}{1+\sqrt[3]{\sqrt{a^{6}b^{3}b^{3}c^{2}c^{4}}}}=\frac{6}{1+abc}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

[Ispectorgadget]

b, Tìm GTNN và GTLN của $y=\frac{(x+1)^{10}(x^2+x+1)^3}{(x^2+1)^8}$

Nhìn vào chắc ai cũng biết là dụng đạo hàm vì chỉ có một biến...

C1: Tính đạo hàm bằng công thức làm cách này xong chắc phải đi tập tạ cho tay trái cho nó bằng tay phải.

C2: Dùng phương pháp đạo hàm $loga$

Nhận xét $y=f(x)>0 \forall x\in \mathbb{R}$. Lấy logarith Napier 2 vế ta có:

 

$$\ln y =10 \ln|x+1|+3\ln(x^2+x+1)-8\ln (x^2+1)$$

$$(\ln y)'=\frac{y'}{y}=\frac{10}{x+1}+\frac{3(2x+1)}{x^2+x+1}-\frac{8.2x}{x^2+1}$$

$\Rightarrow y'=(x+1)^9(x^2+x+1)[10(x^2+x+1) +(6x+3)(x+1)-\frac{16.x(x+1)(x^2+x+1)}{x^2+1} ]$

 

$y'=0$

 

$\Leftrightarrow x=-1 \vee 10(x^2+x+1) +(6x+3)(x+1)-\frac{16.x(x+1)(x^2+x+1)}{x^2+1}=0$

 

$10(x^2+x+1) +(6x+3)(x+1)-\frac{16.x(x+1)(x^2+x+1)}{x^2+1}=0$

$\Leftrightarrow -\frac{(x-1)(13x^2+16x+13)}{x^2+1}=0$

$\Leftrightarrow x=1$

 

Từ bảng biến thiên ta có $f(1)=108; f(-1)=0$

 

Vậy $\max f(x)=108$ khi đó $x=1$; $\min f(x)=0$ khi đó $x=-1$. $\square$

[dotuananh1996]

Ai làm bài 1c đi!

[nghiakvnvsdt]

Nhìn vào chắc ai cũng biết là dụng đạo hàm vì chỉ có một biến...

C1: Tính đạo hàm bằng công thức làm cách này xong chắc phải đi tập tạ cho tay trái cho nó bằng tay phải.

C2: Dùng phương pháp đạo hàm $loga$

Nhận xét $y=f(x)>0 \forall x\in \mathbb{R}$. Lấy logarith Napier 2 vế ta có:

 

$$\ln y =10 \ln|x+1|+3\ln(x^2+x+1)-8\ln (x^2+1)$$

$$(\ln y)'=\frac{y'}{y}=\frac{10}{x+1}+\frac{3(2x+1)}{x^2+x+1}-\frac{8.2x}{x^2+1}$$

$\Rightarrow y'=(x+1)^9(x^2+x+1)[10(x^2+x+1) +(6x+3)(x+1)-\frac{16.x(x+1)(x^2+x+1)}{x^2+1} ]$

 

$y'=0$

 

$\Leftrightarrow x=-1 \vee 10(x^2+x+1) +(6x+3)(x+1)-\frac{16.x(x+1)(x^2+x+1)}{x^2+1}=0$

 

$10(x^2+x+1) +(6x+3)(x+1)-\frac{16.x(x+1)(x^2+x+1)}{x^2+1}=0$

$\Leftrightarrow -\frac{(x-1)(13x^2+16x+13)}{x^2+1}=0$

$\Leftrightarrow x=1$

 

Từ bảng biến thiên ta có $f(1)=108; f(-1)=0$

 

Vậy $\max f(x)=108$ khi đó $x=1$; $\min f(x)=0$ khi đó $x=-1$. $\square$

Riêng mình thì thấy cách này có lẽ dễ suy nghĩ hơn:

$y= \frac{(x+1)^{10}((x+1)^2-x)^3}{((x+1)^2-2x)^8}$

*Nếu $x=-1$ thì$ y=0$ là 1 giá trị của $y$

*Nếu $x \neq  -1$ thì chia 2 vế cho $(x+1)^{16}$ ta được $y=\frac{(1-\frac{x}{(x+1)^2})^3}{(1-\frac{2x}{(x+1)^2})^8}$

Đặt $1-\frac{2x}{(x+1)^2}=t$ Khi đó $t \geq \frac{1}{2}$ (côsi)

Và $y= \frac{(t+1)^3}{8t^8}$

Rồi chỉ việc xét hso là xong......