ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỈNH VĨNH PHÚC NĂM $2013-2014$
Câu 1: Giải hệ phương trình
a)$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+3=4x & \\ x^3+12x+y^3=6x^2+9 & \end{matrix}\right.$ b) $\left\{\begin{matrix} x^4+3=4y & \\ y^4+3=4x & \end{matrix}\right.$
Câu 2: Giải phương trình
$\sqrt{x^2-4x+3}=4x-x^2$
Câu 3: Tìm tát cả các số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn phương trình
$(x^2+1)(y^2+1)+2(x-y)(1-xy)=4xy+9$
Câu 4:
a) Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x+y+z=1$
Tìm Min $F=\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$
b) Cho $a,b,c>0$
CMR $\frac{a^2}{b^2c}+\frac{b^2}{c^2a}+\frac{c^2}{a^2b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Câu 5: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, gọi $D$ là trung điểm của cạnh $BC$. Lấy điểm $M$ bất kì trên $AD$ ( $M$ không trùng với $A$). Gọi $N,P$ theo thứ tự là hình chiếu của $M$ trên $AB,AC$, $H$ là hình chiếu của $N$ trên đường thẳng $PD$
a) CMR $AH\perp BH$
b) Đường thẳng qua $B$ song song với $AD$ cắt đường trung trực của $AB$ tại $I$. CMR $H,I,N$ thẳng hàng
Câu 6: Có điền được hay không $100$ số gồm $10$ số $-2$, $10$ số $-1$, $30$ số $0$, $40$ số $1$ và $10$ số $2$ vào bảng $10*10$ (mỗi ô điền một số và gọi số ở hàng $i$ tính từ dưới lên trên và cột $j$ tính từ trái sang phải là $a_{ij}$) sao cho thỏa mãn $2$ điều kiện
a) Tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột đều bằng $m$
b) Tổng các số $a_{ij}$ trong bảng thỏa mãn $(i-j)$ chia hết cho $2$ bằng $5m$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 26-02-2014 - 00:20